2023年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

1、PAGE PAGE 92023年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间：5月14日上午8：3011：00一、选择题每题6分，共36分1集合，那么集合中所有元素的和为 A B0 C2 D3【答案】 B 【解答】由，得。又。因此。所以，集合中所有元素的和为0。2正三棱锥的三条侧棱、两两互相垂直，假设三棱锥外接球的外表积为，那么三棱锥的体积为 A BCD【答案】 C 【解答】设，那么三棱锥外接球的半径。第2题图由第2题图，三棱锥的体积。3为实数，假设存在实数，使得，且，那么的取值范围为 ABCD【答案】 C 【解答】 由，得，即，解得或。的取值范围为。4、是两条不重合的直线，、是两个不重合

2、的平面，那么以下命题中，正确的命题的个数是 1对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线；2假设，那么；3假设，且，那么；4假设，那么。A1 B2C3D4【答案】 B 第4题图【解答】1不正确。如图，在正方体中，取为直线，为直线。过点的直线如果与直线相交，那么在内，此时与直线不相交。第4题图2、3正确。4不正确。如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直线与，那么有，但与面相交而不平行。5函数，假设对任意实数均有，那么的最小值为 A BCD【答案】 A 【解答】 依题意，的图像关于直线对称。，。于是，解得。，时，。，即。此时，符合题意。，即时，取最小值。6，假设，且，那么的最小值为 A

3、BCD【答案】 D【解答】 由，得。设，那么。，解得，即，。，即。，即。由，知，。，解得。因此，。又当时，代入前面解得，。符合题设要求。的最小值为。二、填空题每题6分，共36分7定义在上的函数，且的值域也是，那么的值为。【答案】 【解答】当时，在上为增函数，依题意有，方程组无解。当时，在上为减函数，依题意有，解得。所以，。8如图，在三棱锥中，。设与所成的角为，那么的值为。【答案】 【解答】如图，取中点，连接，。，。，。第8题图又由第8题图作于，那么，且。是与所称的角。第第8题图9，点在线段内，且平分，那么点的坐标为。【答案】 【解答】如图，方程为，设。又直线方程为，方程为，平分。 点到直线、距

4、离相等。第9题图解得，第9题图因此，点坐标为。10设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。假设，那么不等式组的解集为。【答案】 【解答】是偶函数，且在区间上单调递减。在区间上为增函数。又是以2为周期的周期函数，在区间上为增函数。又，以及是以2为周期的偶函数。，。又， 不等式组的解集为。11，定义，那么。【答案】 【解答】 依题意，有，一般地，有。所以，。12，且，那么的最大值为。【答案】 【解答】由，知，当且仅当，且，即，时，等号成立。所以，的最大值为。三、解答题第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，总分值78分13，且当时，恒成立。1求的解析式；2、是函数图像上不

5、同的两点，且。当、为整数，时，求直线的方程。【解答】1依题意，。，且。 4分此时，可见在区间上的最小值为。的对称轴为，即，。 8分2由1知，。同理。，。 。12分又、为整数，且，或，或。结合，得，。、坐标分别为、。 直线的方程为。 16分14过直线：上一点作圆：的两条切线、，、为切点。1在上是否存在点，使得？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由；2假设直线过原点，求点的坐标。【解答】1假设符合条件的点存在。那么由，知。，。 4分另一方面，由圆心到直线的距离，知。即，矛盾。因此，假设不成立。 符合条件的点不存在。 8分2设为直线上一点。那么。 点、在以为圆心，半径为的圆上，即点、在圆上

6、，即圆上。又点、在圆：上，即圆上。将上述两圆方程联立，消二次项，得。 直线方程为。12分由直线过原点知，。联立，解得，。 点的坐标为。 16分15如图，为锐角三角形，于，为的垂心，为的中点。点在线段上，且。1求证：；2求证：。【解答】1由条件知，、四点共圆。4 分为的中点，。延长交于点。由为的垂心知，。第15题第15题图。又，。8分2由1知，。又，。12分又，第15题图第15题图又，。16分16为定义在上的奇函数，且当时，。1假设函数恰有两个不相同的零点，求实数的值；2记为函数的所有零点之和。当时，求的取值范围。【解答】1如图，作出函数的草图。第第16题图由图像可知，当且仅当或时，直线与函数的图像有两个不同的交点。所以，当且仅当或时，函数恰有两个不相同的零点。因此，或。 4分2由的图像可知，当时，有6个不同的零点。8分设这6个零点从左到右依次设为，。那么，是方程的解，是方程的解。 12分时，。时，的取值范围为。 16分17设集合是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质： 对任意，在中去掉后，剩下的数的算术平均数都是正整数；，且是中最大的数。求的最大值。符号表示集合中元素的个数【