大学物理课件：力学3刚体力学II-守恒律

1、科技大学物理学院 2012年3月26日力学VII 刚体力学Mechanics of Rigid Body守恒律第3节 刚体转动的功和能 1. 刚体的转动动能wOviviri mi刚体看作质点系，每个质元的动能为:所有质元，即刚体的动能为:注：刚体的转动动能本质上是所有质点的转动动能之和，非新能量。2.力矩的功力在这段元位移中所做的功是: 即:力矩所作的元功等于力矩和角位移的乘积!力臂3. 刚体绕固定轴转动的动能定理 在刚体的转动过程中, 合外力矩M对刚体所做的功为: 即：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量 刚体绕固定轴转动的动能定理刚体末状态转动动能4.刚体的重力势能yyiycxOM

2、Cmi质元mi的势能：整个刚体的势能：刚体的重力势能5. 机械能守恒定律对刚体的定轴转动，如果在运动过程 中只有保守内力做功,则 此系统的机械能守恒。它的全部质量都集中在质心时所具有的势能常数XOmgC例7.一根长为L,质量为m的均匀细直棒,一端有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。 解：在棒摆动过程中系统的机械能守恒。设棒在水平位置时重力势能为零，由机械能守恒知:与前面解得的结果一致! 常数刚体的角动量第4节 刚体的角动量定理和角动量守恒定律 1. 刚体绕定轴的角动量定理质点系的角动量定理为Jz不变Jz变化定轴转动定律由上

3、可得：刚体绕定轴的角动量定理微分形式质点系角动量定理分量形式合外力矩 M 对刚体绕定轴的冲量矩为：与动量定理比较：即: 在某段时间内外力矩对某一定轴的冲量矩等于刚体对同一转动轴的角动量的增量。(微分形式)刚体绕定轴的角动量定理：简写为角冲量角动量增量当合外力矩则刚体的角动量守恒讨论（A）若J=常量，则 =常量.即：刚体保持恒定的角速度 转动。(B) 若J 常量，则 常量。或J3. 角动量守恒定律常数举例：许多现象都可以用角动量守恒来说明。花样滑冰跳水运动员跳水常数（c）可适用于多个刚体的系统：若系统开始不旋转，后来存在转动，一部分旋转，另一部分朝相反方向旋转。0r解：外力矩为零, 系统对轴的角

4、动量守恒。角速度减到 =0 /2时：例8.转台绕中心铅直轴原来以0角速度匀速转动，转台对该轴的转动惯量为J0=510-5kgm2。今有沙粒以1g/s速度落入转台, 沙粒粘附在转台面上并形成一圆形,且沙粒距轴的半径r=0.1m，当沙粒落到转台时, 转台的角速度要变慢。试求当角速度减到0 /2时所需的时间。 整个系统绕轴的合外力矩=？t时刻转动惯量J=？OOuvmm碰前碰后例9.匀质细棒质量为m,长为2L,可在铅直平面内绕通过其中心的水平轴O自由转动. 开始时棒静止于水平位置,一质量为m的小球,以速度u垂直落到棒的端点,且与棒作弹性碰撞.求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解: 以棒和小球为系

5、统. 在碰撞过程中, 对轴O的外力矩只有小球的重力矩mgL .因碰撞时间极短, 冲量矩可忽略。 系统对转轴O的角动量守恒:什么是弹性碰撞？若为质点则动能守恒、动量守恒；在碰撞过程中, 外力矩=？小球的重力矩mgL动能损失为零，动能守恒。因作弹性碰撞,故在碰撞过程中动能守恒 :OOuvmm碰前碰后由(1) (2)解得:刚体定轴转动与质点一维运动的对比位移角位移速度角速度加速度角加速度质点一维运动刚体定轴转动质量转动惯量力力矩运动定律转动定律动量动量角动量角动量动量定理角动量定理动量守恒定律角动量守恒定律质点一维运动刚体定轴转动力的功力矩的功动能转动动能（平动动能 ）动能定理转动动能定理重力势能重

6、力势能机械能守恒定律机械能守恒定律刚体的非定轴的运动1. 滚动S=2RAcccRAA0可看成轴平动刚体绕定轴转动合成运动方程质心平动定轴转动注意：10 角量是对质心而言的，可以证明：b=w=RaRvcc30 S = R20 切点的速度 v0 = 0 ！是瞬时静止的。这个点称为瞬心。2.进动：陀螺在绕本身的对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖直轴 OZ 转动,这种回转现象称为进动。进动产生的原因：重力对 0 点的力矩为 ，的方向：的方向与 一致Ldr 重力矩只改变 方向故陀螺的自转轴改变方向，绕一竖直轴进动根据角动量定理：即 始终与角动量 垂直大小不变（类比：当向心力始终与质点速度垂直，只改变速度

7、方向不改变大小）进动的角速度：LOpw进动角速度与自旋角速度成反比讨论：可否增加，只考虑重力矩进动的应用举例：枪弹、炮弹在飞行时能绕自身的质心旋转,在空气阻力的作用下翻“筋斗”；(2)*原子中电子除绕原子核转动外，在外磁场中的进动（拉莫进动）来复线使其产生进动，使运动基本保持原方向。例14. 一个质量为m半径为 R 的均匀圆柱体，从倾角为 的斜面上由静止开始无滑动地滚下，求质心的加速度。cR解法一：研究对象：圆柱体建立坐标、受力分析：如图运动方程：平动：转动：联立，求得：将 ac 代入（1）可得维持圆柱体滚动的最小静摩擦力动画解法二：研究对象：圆柱体、三角块、地球组成的系统。圆柱体受力：N ，

8、f ，m gcR零势面 0注意解法一可以求力，解法二则不能 ，说明运动定律的作用 。N ，f 都作用在瞬心上，无滑动，不作功。只有重力作功，机械能守恒。设圆柱体滚过的距离为今日科学家：哈密顿(William Rowan Hamilton)哈密顿(Hamilton)哈密顿力学/几何光学的创立人数学四元数微分几何雏形光学几何光学物理学哈密顿力学哈密顿的轶事 哈密顿的家庭生活是不幸福的早在1823年，他爱上了一位同学的姐姐卡塞琳狄斯尼（Catherine Disney），但遭到她的拒绝，哈密顿却终身不能忘情在恋爱生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海伦贝利（Helen Bayly）结婚虽然生育

9、二子一女，终因感情不合而长期分居哈密顿经常不能正规用餐，而是边吃边工作他去世后，在他的论文手稿中找到不少肉骨头和吃剩的三明治等残物。 哈密顿还精通多种语言。除了欧洲语言之外，他还懂得波斯语、希腊语、拉丁语、希伯来文、古代巴勒底的巴比伦文、印度梵语、佛教原典所用的巴利语、意大利语、法语、阿拉伯语、孟加拉语、巴基斯坦语、马来语、梵文和中文等。主因是他在十三岁前都受其叔父语言学家詹姆斯哈密顿照顾。今日笑话An engineer, a physicist, and a mathematician, and a statistician are all staying at a hotel. In th

10、e middle of the night the engineer wakes up to find that his trashcan is on fire. He runs to the sink, fills his ice bucket with water and douses the flames. Then, just to be sure, he runs back to the sink, refills the bucket and dumps more water into the trashcan. With the fire out, he goes back to

11、 sleep.A little while later, the trashcan in the physists room spontaneously breaks into flame, waking the physicist. He whips out his slide rule, does some calculations, then runs to the sink, fills his bucket with exactly .75 liters of water, and douses the flames. Having put out the fire, he goes back to sleep.A few minutes later, the mathematician wakes up to see that his trashcan is on fire. He whips out a piece of paper, scrawls out some