已经的文件信号与系统

1、 1F(j)Ff(t)Y (j) 1F(j)Ff(t)Y (j)H(j)F(j) (j1)(j2)(jf12312j1j1y (t)t f2y(t)= yx (t)+yf(t)=(7e2t y(t)= yx (t)+yf(t)=(7e2t 5e3t)U(t)零输入响 1U(t) 2e2t 3e3t22零状态响1-13e-e U(t)-U 瞬态响无失真传无失真传输为新的波形,若从频率来说,系统改变了原有信号的频谱结构,而组成了新的频谱.这种波形的改变或频谱的改变,将直接取决于系统本身的传输函数H(w).线性非时变系统的功能就像是一个滤波器,信号通过系统后,某些频率分量的幅度保持不变,而另外的一些

2、频率分量的幅值衰减了,信号的每一频率分量在传输以后,受到了不同程度的衰减和位移.也就是说,信号在通产生失真的产生失真的无失真无失真：h(t K(t t0 Ke-H Ke-H(j)H(j)ejH(j 即()-标落于信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒标落于信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒平面右半平面属于收敛收敛坐标落于原点，区。例如：正弦信号，ttn 按指数规律增长的信号eat，只有当按指数规律增长的信号eat，只有当 a才收敛，所以收敛坐标为0 a右边信号的收敛域在收敛轴以右 既 ss平面的带状区域，双边信号的收敛域 x(t) x(t) ea|t|，求出其拉氏变换 a0和a0 x(t) eat

3、u(t)eatu(t)x(0_) x(0) x(0)11eatu(t) Re(s) s1eatu(t)1eatu(t) Re(s) s1eatu(t)Re(s) s如果1）式和（2）式的收敛，收敛域为-aRe(s)a，因x(t)的双边拉氏变换11X(s)a Re(s) sss=as=-a as=as=-a af(t)的拉0 t 1 t otherf(t)的拉0 t 1 t other求下图所示三角函数斯变换tf (t) 2 0F(t)t012解：和解：和傅立叶变换类似，求拉氏变换时，往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简一些典型信号的拉氏变换的基础上就能直接写

4、出给定信号的拉氏变换。为比较起见本例将采用多种方法求解方法 1：按12F(s) dt dtf0011122)0 se t(方法 1：按12F(s) dt dtf0011122)0 se t(stdtdt1e0111es12s 2s1 e2ess1 e2s 1e1 es 1 (1es方法2：方法2：f(t)tu(t)2(t1)u(t1)(t2)u(t2sLf(tt0)u(tt0)F(s)1(12ese2s) 1(1esLd2 f(t)L(t)2(t1)(t2)e-dfs2dfs2F(s) (0_)sf(0f(0)f(0_)s2F(s) (1esF(s) 1 (1esF1(s)1(1es) F(s

5、) 1 (1es而拉斯反由F(s)求解拉斯反由F(s)求解原函数f(t)称为部分分式展开部分分式展开分式逐项进行反变换，最后叠加起来即sm1b smbsbF(s) sn1 a snasn10其中a,b为实数，m,n为正整数F(s)F(s)为假式，即当m n 时，利用长除法F(s)s应的逆变换是冲激函数及各阶导数之和m 时，F(s)即为F(s)真分式展开成为部分分式之和，然后逆变换即得原函数f(t)F(s) A(s) F(s) A(s) bm (s z1)(s z2) an(s p1)(s p2(s m)(s B(s)其中，z1z2, zm A(s)=0 的零点；p1, p2pn 是B(s)=0

6、m n 的情况下F(s)仅有一阶极F(s) m n 的情况下F(s)仅有一阶极F(s) N(s) n ns is 12s s 其中 (s pi )F(s)|si若F(s)的极点为k阶极点，N ( s N( s ( s ) F( s KD ( s p)B ( s 1若F(s)的极点为k阶极点，N ( s N( s ( s ) F( s KD ( s p)B ( s 1 (s p1(s p1(s B(s)设 F s) s (s pi)k F(ski， 则1di1(i 1,2,F1(s)|s 1,(i 1)! dsi1其余系数k2,k3的求法仍应用单阶极点情况下系数的求法当F(s)为有理分式时，可以

7、利用部分当F(s)为有理分式时，可以利用部分分式解法和查表法求的逆变换；如F(s)表达式有理分式与est相乘时，可借助延变换；F(s)为无理分式时，可以利用留数理求得逆变换，与部分分式法相比，留数法的处是直接求得了函F(s)的圆函f(t)而F(s)不论是有理函数还是无理函数都可以用留数定理求其逆变换5s2 9s2 F(s) f(5s2 9s2 F(s) f(t3ssD(s) s2 3s2 (s 1)(s2) 0的根（即F(s的极点p1 1,p2 2s2F(s) s2 s2s3sssf(t) (t)2(t)(2et e2t)U初值定理与终值定理的应用条件：初值定理的应用条件是：F(s必须是真分式

8、，则必须应用除法将 F(s初值定理与终值定理的应用条件：初值定理的应用条件是：F(s必须是真分式，则必须应用除法将 F(s化为一若不是真分式，f (t个整式与一个真分式F0 (s) 之和， 而函数f (0 ) 应是等于LF (s) 0的初值f0 (t的初f0。即值f0) lim sF0(f (0) F(s F(ss F(ss=0例f(t2ss（例f(t2ss（1）F(s) (s1)(s2)(s2s2s （2）F(s) s(s1)(s3s2 s2ss（1）f(0 ) lim f(t) lim2ss（1）f(0 ) lim f(t) lim(s1)(s2)(stf(t) p1=12s（2）f(0)

9、 lim f(t) lim3s2 st2s 2f() lim f(t) lim即3s2 t已知信号的拉氏变换函数如下，求原已知信号的拉氏变换函数如下，求原信值与2s1(1)Fs(s1)(s2)(ss2 2s1(2)F s(s1)(s2)(s1(3)F(s) s(s2s1f(02s1f(0)limsF(s) lim(s1)(s2)(ss(2)由于F(s)分子的阶次等于分母的阶次，故利用长除法，使得5s2 9s F(s) 11 F (s(2)由于F(s)分子的阶次等于分母的阶次，故利用长除法，使得5s2 9s F(s) 11 F (s)06s2 11s于是5s2 9s f (0 ) lim sF

10、(s) lim 06s2 11ssss如果不用长除法，而直接用 f (0 limsF(s) sf (0 ) 得到的错误结论。由于F(s)的结点全在左半s面，故可利用终值定理求终值。s(s3 s2 2s lim f (t) limsF(s) (s 1)(s 2)(s tss(3F(s)1f(0 )limsF(s) lim(3F(s)1f(0 )limsF(s) lims(s1lim f(t)lims(st1L(1et)u(t) s(sf (0 ) f (t) f (0 ) f (t) lim(1et)u(t) ttf () f (t) lim(1et)u(t) tt可见是正确的t 对于函数 f

11、(t) 然而，f (t) et 发散，但其拉氏变换为1LetRe(s) sf (t) 按上式计算的终值为1lim f(f (t) 按上式计算的终值为1lim f(t) limst很显然，这个结论是错误的。因为当0时在收敛域范围之外，F(s)是没有定例f1(t) (t例f1(t) (ty1(t(tetu(t) 当输入f2(t) u(t)时，系统的输出为y2(t) u(t)1t解：设全响应中， (t) 作为激励的零状态响应、零输入响应分别为yzs (t) yzi (t) y解：设全响应中， (t) 作为激励的零状态响应、零输入响应分别为yzs (t) yzi (t) y1(t) yzi (t) y

12、zs 考虑冲激响应h(t) yzs f (t) (ty1(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) y (t) (t)(y2 yzi (t)h(1)(t) yzi (t) y1(t) y2 (t) h(t)h(1)(t) (t)2etu(t)两边取拉氏变换， 得H(s) 1 H(s) 12两边取拉氏变换， 得H(s) 1 H(s) 12s H(s) 1所1s h(t) (t) etu(tty1(t) h(t) u(t(t) y由（ 1）由（2）得阶跃响应g(t) y2(t) (t) etu(tyf3 (t) u(t 1) u(t 3) 时当则y3(t) (t) g(t 1) g(t

13、 y 2etu(t) e(t1)u(t 1) e(t3)u(t 例已知LTI 系统的冲激响应为h(t) 5e5tu例已知LTI 系统的冲激响应为h(t) 5e5tu(t其零状态响应(t) u(t) 2e5tu(t) 5te5tu(ty求系统的输入信号 f (t解：LTI系统的系统函数为5Lh(t) H(s) s 零状态响应的拉氏变换为L(t) (s) 1 25s (s 5)sF(s) Yzs H125s(ss5s s5F(s) Yzs H125s(ss5s s5 2 1ss 311s5sf(t) 3(t)u(t)e5tu(t) sLTIH(ssLTIH(s2ssy(0) 0,y(0 ) 系统的

14、冲激响应h(t) f(t) (tf(t) u(t（1）因为系统函数sH(s) 2ss1sh(t) （1）因为系统函数sH(s) 2ss1sh(t) 2s521 12s5s12(s4 1(s 2)2 (s 2(t)2e2t costu(t)4e2t (t)e2t(2cost 4sH(s) sH(s) F2ss22得y(t) 2y(t) 5y(t) f(t) 5f s2Y(s)sy(0 ) y(0 )2sY(s)2y(0 )5Y F(s)(s2 y(0 0,y(0 2代入（1）sY(s) 2s2ssY(s) 2s2ssss2s2(ss1(s1)2 f (t) (t) y(t) (t)2et f (

15、t) (t) （3F(sLu(t 1 ) 0,y) （3F(sLu(t 1 ) 0,y) 2ssY(s) 2s2sss2sss(s2 2s 1 s2(s1)2 f (t) u(ty(t)12et sinx(n)=-2nu(-n-x(n)=-2nu(-n-1(3)x(n) ) u(n n31(4)x(n) ( 3zzzz如序列(1)(3)；对于左边序列如序列(2)z 变换和双边zz 变换一定要注明收敛域。例如(1)和z 变换及z2n z（1）X(z) x(n) 2n z（1）X(z) x(n) 2nzn0 2z2 时级数收敛，所 1，z当2n zX(z) 2 zz2zzn0 12 zX(z) x

16、(n)2nz 2 zX(z) x(n)2nz n zn1 2z221，即z当z zX(z) zn1 2n1u(n) u(n （3）x(n) 31X(z) x(n)u(n)u(n8)znn0n1u(n) u(n （3）x(n) 31X(z) x(n)u(n)u(n8)znn0 31771 z n0 3n0 3z 0z即1z11zn7 1 3X(z) 0z131n0 z1z7z3111x(n) 33u(n1) u(n)3111x(n) 33u(n1) u(n)311X(z) x(n) zzn 3n0 31zn1 3n0 zz当，z1 时，上式右边第二项收敛zz当，z1 时，上式右边第二项收敛3zz

17、z当，3133zn1 nzzX(z) z13zn1 3n0 z133zn1 nzzX(z) z13zn1 3n0 z8 1 3z(z3)z 13例（1）x(n) a例（1）x(n) anu(n)anu(n1n）x(n) u(n) u(n 2（3）x(n) u(n1)u(na anu(n)zazz anu(n a anu(n)zazz anu(n 1) a1an1u(n 1) zzaazanu(n)anu(n1)zz1nz122u(n) z12z1n16 1n61nz122u(n) z12z1n16 1n6u(n6) u(n2226z112zz 2211zz2u(n)u(n6) 1 21211z

18、z2u(n)u(n6) 1 212zz21z20z51z z220z1（3） u(n 1)1zzzu(n2)1（3） u(n 1)1zzzu(n2)1zz11 z u(n1)u(n2)zz(z0z可见，有一个零、极点 z 10z限序列在n0限序列在n0z0z n 0z 0，但不包括存在，则 zn1 n n20和n2 0zz z 例1 z1（1）X(z) z512zz例1 z1（1）X(z) z512zz1667z（2）X(z) 2z3z zX (z)的分子多项式的根有一个零点为 z0在这种情况下可写成X(z) 的X (z)的分子多项式的根有一个零点为 z0在这种情况下可写成X(z) 的形式，使

19、其变为真分式zX(z) z z 1 5 z zzz6623 z 1 X(z C11z2z2式中 z 1 X(z C21z3z39 z 1 X(z C11z2z2式中 z 1 X(z C21z3z398X(z) 则1213z z 所以原序列为11nx(n) 8123 X(zu(n)（2）1：长除法2x(n) Xz) z由于收敛域为分子、分母多项式按 z 的降幂排列后用长除法展成幂级数z（2）1：长除法2x(n) Xz) z由于收敛域为分子、分母多项式按 z 的降幂排列后用长除法展成幂级数zzz 3 2z3z2 7zz3z 3 2z39z1 6z7z7z6z 21z14z15z2 14z即X (z

20、) 7z7(z即X (z) 7z7(z13z7z )3z z7(2n )zx(n) 7(2nX(z) 77AB(z 1)(zzzzX(z) 77AB(z 1)(zzzz3z zA (z 2) X(z) zB(z 1) X(z) zz77X(z) 这样得到z z 2，故z由于收敛域 777X(z) 这样得到z z 2，故z由于收敛域 72nu(n)7 7u(n)7x(n) 7(2n 当然，也可以用围线积分法求逆z 例描述某离散系统的差分方例描述某离散系统的差分方程y(n)3y(n1)2y(n2) y(00,y(12。设激x(n) 2nu(n)y(n，求响应序零输入响应与零状响应用 z 变用 z

21、变换差分方程两端取单z变换（应用移位性质Y(z)3z1Y(z)Y(z)3z1Y(z)2z2Y(z) z1y(1) y(2) X(z) 3y(1) 2y(2) 2y(1)zX(z)Y(z) 2z13z12z13zYzs (z) Yzi (z)X(z)Yzs (z) 13z12z式只与激励有关，称为零状态响应的变换式(z)只与激励有关，称为零状态响应的变换式(z)3y(1)2y(2) 2y(1)zY13z1 2z仅仅与初始状态有关，称为零输入响应的变换式y(1), ，而已知条件是（1式表明需要条件y(0) x(0)3y(1)2y(1) x(1)3y(0)2y(1)0,y(2) 2解X(z)Yzs

22、(z) 13z由2zzzzX(z)Yzs (z) 13z由2zzzz Yzs (z) 13z2z(z 2)(z2 3z Yzs (z)zzzz11求的系数A1 31,A3 3(z) zzz11求的系数A1 31,A3 3(z) zzz3 zz3 z则系统的零状态(2)n 1(1)n (z) 1(n) 13y(1)0,y(2) 1代入2(z) zY (y(1)0,y(2) 1代入2(z) zY (z) 13z12zz3zzzY (z) zzy (n) (z)2n(2)n1(1)n1(2)n1(1)n1y (n)n232(2)n (1)nn33z已知系统函数H(z) 的离例11zz已知系统函数H(

23、z) 的离例11zz66散系统， 设系统输入 x(n) 4u(n) ，输出为y(ny(10y(2) 12，零状态响应和零输入响响应和强迫响应解H(z)的定义4z零状态响应可以(z) X(z)解H(z)的定义4z零状态响应可以(z) X(z)H(z) 11z(z z664zz 1z1(z 23(z) 2.4z Y1213zzz(z) 2.4z Y1213zzz11nu(n)u(n)3yzs (n) 2求零输入响应，可以先建立差分方程，由zY(H(z) 1616X(求零输入响应，可以先建立差分方程，由zY(H(z) 1616X(z)z z 1 z6 1 z6Y(z)1X(得则系统的差分方程为y(n

24、) 1 y(n 1) 1 y(n 2) x(n)66设 xn) 0z1112(z) (z) y(1) Yzz(z666011y(1) y(2z66y(设 xn) 0z1112(z) (z) y(1) Yzz(z666011y(1) y(2z66y(0, y(2 把2222Y(z111 1 2 z zz 662 3 部分分式展开，得1.2 0.8(z) 1213z z 所以， 零输入响应为 1 1(n) 1.2部分分式展开，得1.2 0.8(z) 1213z z 所以， 零输入响应为 1 1(n) 1.2 0.83n y 2总响应为y(n) (n) yy(n 1 1 1.21.2 n 23(2)

25、由系统的差分方y(n)1 y(n1)1(2)由系统的差分方y(n)1 y(n1)1 y(n2) 66Y(z)1z1Y(z)1 y(1)1z2Y(z)6661z1y(1)1 y(2)z166化简为z2(6z 1.2z 1.26Y(z) z 2z 3z 化简为z2(6z 1.2z 1.26Y(z) z 2z 3z 1 z 1(z1)266强迫响应和激励函数的极点相对应，函数的极点相对应，所以系统强迫响应为yp (n) 6u(n)响应和系统系统响应111.23yh (n) 1.2n 2例y(n例y(n1) 5 y(n) y(n1) 2的zz1Y(z)5Y(zz1Y(z)5Y(z)zY(z) X(z)

26、2Y(z)zH(z) 则z 1(z X(z)2。012。0122z21n23h1(n)u(n)(2)n322z21n23h1(n)u(n)(2)n3212 z收敛域21n23h2(n) u(n)(2)nu(n 321z221n2h3(n) u(1z221n2h3(n) u(n 1) (2)nu(n 332对于上述各hi (n) ，若将它们代入差分方程出x(n(n，则hi(n例如对于h1 (n) ，代入差分方程2123x(n) u(n例如对于h1 (n) ，代入差分方程2123x(n) u(n1)(2)n1u(n 322151n53u(n)2nu(n) u(n32322(2)n1u(n1) n

27、n n 时，x(1时，x(0)时，x(n) h1(nx(n(n，h3n) 例其输入x(n)和输y(n) 的关系y(n1)10 y(n) y(n1) 3样值响确定解：对差分方程两端取z1Y(z)10Y(z)zY(z) X(z)3zzY解：对差分方程两端取z1Y(z)10Y(z)zY(z) X(z)3zzY(z)H(z) 13X(z)zzz1(13z1)1333 11z313z，013，01331n3h(n)31n3h(n) (3)nu(n 1)u(n)883H(z)的零极例：一线性时不H(z)的零极例：一线性时不变离散时分布如j10解: (1)由零极点土可以写出H(z)zH(z) (z 0.5)

28、(z 解: (1)由零极点土可以写出H(z)zH(z) (z 0.5)(z 0.5)由初始定理可知zh(0 ) lim H (z) lim (z 0.5)(z 0.5)zz解得A=1,代入H(z)的表达式,zH(z) (z 0.5)(z 0.5)z=0.5, z=-0.5，以系统是稳定的。它们都在圆内，所(2)样值响1 4H(z) z(z 0.5)(zzzzz(2)样值响1 4H(z) z(z 0.5)(zzzzzH(z) 4故zzh(n)4(n) 5(1)nu(n) 5(1)n所2211z2H(z) Y(z11z2H(z) Y(z)1 (z 0.5)(zX(z)4Y(z)(1z2 X(zz2 4则系统的差分方y(n2)1 y(n) x(n2)4例已知各系统的差分方程如下， 求各系统的岭输入响应yxk（1y(k 例已知各系统的差分方程如下， 求各系统的岭输入响应yxk（1y(k 3)6y(k 2)12y(k 1)8y(k) U(k)y(1) 1,y(2) 2,y(3) 23初始值为5y(k)6y(k 1) f (k)，f (k) 10U(k) y(0) 16y(k)5y(k 1) y(k 2) f (k) y(0) 15,y(1) 9f (k) (1)k2U(k 2)