最优控制习题参考解答

1、2.6习题2.2解:QrnSJ-+a必二J；+(x+aS)?+f(x+a必)a=odta=odt=2(x4-a3x)8x+t8xa=odt二J；(2x+f)5xdf己知=0.1Z,当必二0.,8J=QAt(2t2+tyit=当8x=0.2t,5/二J；0.2f(2尸+谢二右2.4解：=(flL=(flL(JfOx,x,t)dt欧拉方程宁一籍“横截条件：x(Zo)=xo5x(r/.)=x/d(Xdt1J1+乂273二OtXJl+严-CX二土VT7令-a讣1兀(0)二0Tb二讣1设X二m+m11TX(f)=xi)二1TQ二1x2dt=y/2,最短曲线为x*(r)=r2.5解：L=2x+丄尹，0()

2、二4,”1)=4,兀(。)=42/欧拉方程丄3冬=0&dt饭0(横截条件：x(fo)=xo,x(fJ=0(f/),L+0必*n帀=2Tf二2f+qTx*(f)二尸+cj+c?，x(r)=2t+q乂由横截条件得：x2()=16tF()=4x(l)=1+q+(?2二4tf=5r=V兀()二；+C/+C?二4Tq=6tx(tf)=ar*(r)=ax+bUtf)=aJ=Q=ax(0)=00-b/n/二J；(l+二1,极值轨线为(O=o第三章作业题1、解：由题意知末端状态乳2)=x=x+u=t/=a?-x将其带入J得丿=(.+x2-2xx+x2L=l+x2-2xx+x2因为因为x(0)=3,x(2)=0

3、因为因为x(0)=3,x(2)=0欧拉方程dLddL八dxdtdx因为因为x(0)=3,x(2)=0因为因为x(0)=3,x(2)=0 x-x=0因为因为x(0)=3,x(2)=0因为因为x(0)=3,x(2)=0从而得到(/x=cLe+c2e=一几=一几=一几=一几=一几=一几i-el-e/-6=W)=el-e再由无约束泛函极小值的充分条件d2Ldd2d2Ldd2Ldx2dtdxdx=20Fl=20=一几=一几=一几=一几故所求得()可使性能泛函取极小值2、解:丿=*1Ox2+*(2x2、解:=(px(tf)=5x2(l),.1.L=+tr2构造函数H：H=L+*/212212XHU+人2.

4、1.x+u2_21213?X+UAA+久1(22正则方程:oH1i=x+udA2=一几=一几=一几=一几=一几=一几控制方程:duW+Z=0u=兄由：1X=X+U212=_2_2x29=A=A43_3二Q(f)=c&2+c2e211/2x(t)=-cle2+c2e22”(f)=_c哥-c2e2横截条件：3骯几(f/)=10X(/y)边界条件：双)=219c.+c=22cy+c2e=q-c2e+c2e1方一924H+185=12，-9=u12/-912/93=u12/-912/93、解：由题意知L=-u22构造H：H=L+277=W+A,6)+2rIt2正则方程:A(0=-=0=21(Z)=c1

5、CC7dH入(f)=-=-A=入(/)=-c.t+Crdco控制方程：&H2n=H+入=0du状态方程:&(/)=刃)如)=w(0=0(t)=-|c2/2+c3t+c4z1.负/)=产广-0丿+c3A,.,(1)=e=0=q=c,横截条件：加边界条件：()=就)=h&(1)=1则4=10=111_n才厂产+幺+=0=c4=1矿(/)=r3-3r2+t+c4以(/)=3尸一6/+1/(/)=6f64、解：由题意知:/)，/=k-才+x2一2f厶弓讪0卜匕)=“(2)+5兀-15构造函数H：H=L+AIfu+兄X、+A,-,(X-,u)伴随方程:.dHA(0=-=0=A(0=cox&H入(f)=_

6、人+/U=入(/)=+Cdx.控制方程:dH控制方程:dHdu=u-A2=0=u(t)=c2e!+q状态方程:x2=-x2一u)=+c4e,-ex2(t)=-c4ee，初始状态：兀(0)=疋()=7-訂由目标集：兀+5兀(2)=152c2c3-8cr7-lc2e2=30横截条件：tj=2A(2)-JI+/-i(2)5+y-O去(2)去(2)人一耳什+/一耳2+5卩-c尹dx2(2)dx2(2)=-&+Lc”-5c+23=02则由：5=52c3-8c4e_2-7cc.=7-2023丁+6,则得到/(/)=90,+92/(/)=90,+9220-23+6，3-5已知受控系统x(t)=u(t),x(

7、0)=1,试求”(/)和厂使系统在匚时刻转移到坐标原点x(tf)=0,且使J=t2f+u2t)dt为最小。解：由题意得：H=u2+AudH而A(t)=0二/(/)=adxTOC o 1-5 h zdH,1a=2“+2=0=u(/)=/)=dx22再由条件i(O=u(t)=J,t/r=-adt=x(t)=1一*m12由x(tf)=0=f/=H(/)=_纠=一2/nu，()+兄(匚)u(tf)=-2tfna=/16所以，心）一乎爲3-6已知线性系统的状态方程=+其中给定Z(O)=(L1),给定Z(O)=(L1),不(2)=0,求叩),使泛函丿=*最小。解：H=-(Mf+2)+x2解：H=-(Mf+

8、2)+x24-如S+心2入=_亦=0=人=4八-竺产-心入=s+bdx.duYoH仁=u2+22=0=w2=一人=at-b系统状态方程:xt)=x2(t)+ul(t),x2(t)=u2(t)a.b/.=xA=tr+(c-a)t+d62ci-jm=广一如+c2代入初始条件得：c=d=lx/2)=0二2a+6b=9入(2)=0n-2d+Z?=0八冬p110、Si(1),B=9X=,u=Aysin8=Aycos0=人sin0=cos0两边同时对r求导可得:入sin0+人cos0-0=A2cos0-A2sin00=0(人cos0+血sin0)=Xcos0-siii0TOC o 1-5 h zdvdVc

9、(人cos0+A.sin0)cos0+(久icos&+入sin0)sin0dydxdVdV=0=sin。-cos0得证dx勿41解：本题为末端时刻固定，末端状态自由，控制受约束的最优化问题。L=(w-l)x,H=(u-l)x+AUX=-X+(Zx+x)udH/=Au(ii1)(1)dxfOAx+x0w=1Ax+x0j/0、.x=ux0,x0,fO2-l/.u=12-1若=1,由得,2=加，又；l(T)=0,/.2=0-1只能取0u=0,x=XqJ=x0T4-4解：本题为末端固定，控制有约束的最优化问题。TOC o 1-5 h zL=xk+u；H=X+w;+/;+人+22(召+)=(1+人)為+

10、w;+2/1+u;+心三入=_=0=入=c.dx2dH“久=(1+入)A.=(1+)/+C-y%2c2c3-8cr7-lc2e2=302c2c3-8cr7-lc2e2=30/JvnoA+1-21-2兀=-(l+cjr-c2t+c3TOC o 1-5 h z113x1(0)=0.x1(l)=l=c3=0,-=-4241.111-(l+cjt-“11,1_(1+G)广cJ+_c1412-4121Z111(1+cjr_产-c/+c4X-y=c4=0151Cx2(l)=l=1212x2(l)=l=人伙+1)=入(k)削伙)入(k)=伙)+几伙+1)+入伙+1)=久伙+1)=入伙)一久(k)一伙)dx2(k)6H=2u伙)+人伙)=0=伙)=一0.5人伙)du(k)21(3)=oa2(3)=/X伙+1)=x2伙),x2伙+1)=一人伙)+x2伙)+u(k)兀(0)=1=兀(1)=1解得：/(0)=05,u(1)=0.5昇(2)=0.54-7解：本题为末端时刻固定，末端状态自由，控制受约束的最优化问题。厶=伙)+伙几4H=-x伙)+伙)+久伙+1)13x(k)-0.3伙)=0.25+1.3久伙+l)x(k)+0.2