全版微分方程课件

1、 第六章 微 分 方 程 6.1 微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程6.3 可降阶的二阶微分方程6.4 二阶线性微分方程6.5 微分方程的应用举例.精品课件.16.1 微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程66.1 微分方程的基本概念定义例 偏微分方程 . 常微分方程.精品课件.26.1 微分方程的基本概念定义例 偏微分方程 . 常微分方程微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶.一阶微分方程:高阶微分方程:注意:注意:.精品课件.3微分方程的阶: 微分方程中出现 线性与非线性微分方程：.精品课件.4 线性与非线性微分方程：.精品课件.4微分方程的解:

2、等式的函数称之为微分方程的解. 代入微分方程能使方程成为恒 .精品课件.5微分方程的解: 等式的函数称之为微分方程的解. 代入微微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解: 不包含任何任意常数的解.精品课件.6微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初始条件: 用来确定任意常数的条件.通解的图象: 微分方程的积分曲线族.解的图象: 微分方程的积分曲线.精品课件.7初值问题: 求微分方程

3、满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲解.精品课件.8解.精品课件.8所求特解为.精品课件.9所求特解为.精品课件.9注意：.精品课件.10注意：.精品课件.10思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.思考题.精品课件.11思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.思考题.精品课6.2 一阶微分方程.精品课件.126.2 一阶微分方程.精品课件.12一. 可分离变量的微分方程则称原微分方程为可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.精品课件.13一. 可分离变量的微分方程则称原微分方程为可分离变量的微分方解法：称为所给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解.精品课件.14解法：称为所

4、给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解.精品课例1 求微分方程解分离变量两端积分.精品课件.15例1 求微分方程解分离变量两端积分.精品课件.15例2 解.精品课件.16例2 解.精品课件.16二. 齐 次 方 程定义的微分方程称为齐次方程 .精品课件.17二. 齐 次 方 程定义的微分方程称为齐次方程 .精品课件解法:令 ,代入原方程，得可分离变量的微分方程 .精品课件.18解法:令 ,代入原方程，得可分离例 3 求解微分方程微分方程的解为解.精品课件.19例 3 求解微分方程微分方程的解为解.精品课件.19例 4 求解微分方程解微分方程的解为.精品课件.20例 4 求解微分方程解微分方程的

5、解为.精品课件.20三. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:(1) 称为齐次方程 .(1) 称为非齐次方程.例如线性的;非线性的.精品课件.21三. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:(1) 称1. 先求线性齐次方程 的通解：一阶线性微分方程的解法齐次方程的通解为用分离变量法.精品课件.221. 先求线性齐次方程 2. 再求线性非齐次方程 的通解：讨论非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比，不难看出：.精品课件.232. 再求线性非齐次方程 只要在齐次方程的通解 中，积分得.精品课件.24只要在齐次方程的通解 故一阶线性非齐次微分方程的通解为:称为常数变易法 . 把齐次方程通

6、解中的常数变易为待定函数的方法，对应齐次方程通解非齐次方程特解.精品课件.25故一阶线性非齐次微分方程的通解为:称为常数变易法 . 解例1.精品课件.26解例1.精品课件.26例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲线 与 截下的线段 之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .解两边求导得.精品课件.27例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲线 代入方程 ，得故 所求曲线为.精品课件.28代入方程 伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.四. 伯努里方程（Bernoulli，1654-1705，瑞士）.精品课件

7、.29伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程代入上式, 得.精品课件.30代入上式, 得.精品课件.30解例 3.精品课件.31解例 3.精品课件.31例4 用适当的变量代换解下列微分方程:解代入原方程，得故 原方程的通解为.精品课件.32例4 用适当的变量代换解下列微分方程:解代入原方程，得解所求通解为.精品课件.33解所求通解为.精品课件.331、分离变量法步骤:1）分离变量;2）两端积分-隐式通解.小 结2、齐次方程3.线性非齐次方程4.伯努里方程.精品课件.341、分离变量法步骤:1）分离变量;2）两端积分-6.3 可降阶的二阶微分方程.精品课件.356.3 可降

8、阶的二阶微分方程.精品课件.35解.精品课件.36解.精品课件.36.精品课件.37.精品课件.37解.精品课件.38解.精品课件.38.精品课件.39.精品课件.39例 3解1.精品课件.40例 3解1.精品课件.40解2.精品课件.41解2.精品课件.41例 4解1解2故通解为.精品课件.42例 4解1解2故通解为.精品课件.42解3两边积分,得故通解为.精品课件.43解3两边积分,得故通解为.精品课件.436.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式方程为齐次方程；方程为非齐次方程 .n 阶线性微分方程.精品课件.446.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式方程为齐次一.

9、 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构问题:1.二阶齐次方程解的结构:定理1（齐次方程解的叠加原理）.精品课件.45一. 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构问题:1.二阶齐次证代入方程（1）的左端，得证毕.精品课件.46证代入方程（1）的左端，得证毕.精品课件.46定义例如线性无关.线性相关,.精品课件.47定义例如线性无关.线性相关,.精品课件.47定理2证明略推论例如：线性无关，线性无关，线性无关 .精品课件.48定理2证明略推论例如：线性无关，线性无关，线性无关 .精品定理3（齐次线性方程通解结构）证.精品课件.49定理3（齐次线性方程通解结构）证.精品课件.492.二阶非齐次线性方程

10、的解的结构:定理4（非齐次线性方程通解的结构）证.精品课件.502.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理4（非齐次线性方程通解.精品课件.51.精品课件.51定理5（非齐次方程解的叠加原理）证明略.精品课件.52定理5（非齐次方程解的叠加原理）证明略.精品课件.52二. 二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的标准形式.精品课件.53二. 二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的标 特征根法.精品课件.54 特征根法.精品课件.541* 特征方程有两个不相等的实根.精品课件.551* 特征方程有两个不相等的实根.精品课件.552* 特征方程有两个相等的实根此时，只得到方程

11、 (1) 的一个特解=0=0.精品课件.562* 特征方程有两个相等的实根此时，只得到方程 (1) 的一3* 特征方程有一对共轭复根.精品课件.573* 特征方程有一对共轭复根.精品课件.57.精品课件.58.精品课件.58.精品课件.59.精品课件.59解特征方程为解得特征根故所求通解为例1解特征方程为解得特征根故所求通解为例2.精品课件.60解特征方程为解得特征根故所求通解为例1解特征方程为解得特征根解.精品课件.61解.精品课件.61二阶常系数线性非齐次方程对应齐次方程非齐次方程通解结构关键：方法：待定系数法.三. 二阶常系数线性非齐次方程的解法.精品课件.62二阶常系数线性非齐次方程对

12、应齐次方程非齐次方程通解结构关键：代入原方程得.精品课件.63代入原方程得.精品课件.63综上所述.精品课件.64综上所述.精品课件.64解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程, 得故 原方程通解为例1.精品课件.65解对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程, 得故 原方程作辅助方程.精品课件.66作辅助方程.精品课件.66.精品课件.67.精品课件.67注意：.精品课件.68注意：.精品课件.68解作辅助方程代入（*），得例2对应齐次方程的通解（取虚部）原方程的特解为原方程通解为.精品课件.69解作辅助方程代入（*），得例2对应齐次方程的通解（取虚部）原例3解1对应齐次方程的通解作辅助方程代入辅助方程，得.精品课件.70例3解1对应齐次方程的通解作辅助方程代入辅助方程，得.精品课原方程的特解为原方程通解为（取实部）.精品课件.71原方程的特解为原方程通解为（取实部）.精品课件.71解2对应齐次方程的通解代入原方程，得原方程的通解为.精品课件.72解2对应齐次方程的通解代入原方程，得原方程的通解为.精品课件6.