几何概型课件

1、问题情境：问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心” 奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？122cm第1页/共35页问题情境：问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内（1）试验中的基本事件是什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.（3）符合古典概型的特点吗？第2页/共35页（1

2、）试验中的基本事件是什么？能用古典概型描述该事件的概率吗问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？3m（1）试验中的基本事件是什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.第3页/共35页问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率.（1）试验中的基本事件是什么？能用古典

3、概型描述该事件的概率吗？为什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.第4页/共35页问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从 (1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性 上面三个随机试验有什么共同特点？ 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到所述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用

4、这种方法处理随机试验,称为几何概型.第5页/共35页 (1)一次试验可能出现的结果有无限多个；上面三个随机试验有数学理论： 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型古典概型的本质特征：1、基本事件的个数有限，2、每一个基本事件都是等可能发生的几何概型的本质特征：3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 1、有一个可度量的几何图形S；2、试验E看成在S中随机地投掷一点；第6页/共35页数学理论： 将古典概型中的有限性推广到无限性如何求几何概型的概率？122cmP(A)=3m1m1mP(B)=P(C)=第7页/共35页如何求几何概型的概率？122cmP(A)=3m1

5、m1mP(B注意：D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等. 一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为:P(A)=第8页/共35页注意：D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别数学运用： 例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.解：设A=等待的时间不多于10分钟.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得答：“等待的时间不超过10分

6、钟”的概率为 第9页/共35页数学运用： 例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想 例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率30m20m2 m 解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见阴影部分） P（A） 答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.第10页/共35页 例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m的长方例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.解:记“豆子落入圆内”为事件A,则P(A)=答:豆子落入圆内的概率为 撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有

7、m颗落在圆内，当n很大时，频率接近于概率第11页/共35页例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正练一练练习2.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?解:取出10mL种子,其中“含有病种子”这一事件高为A,则P(A)=答:含有麦锈病种子的概率为0.01练习1. 在数轴上，设点x-3,3中按均匀分布出现，记a(-1,2为事件A，则P（A）=（ ）A、1 B、0 C、1/2 D、1/3C023-3-1第12页/共35页练一练练习2.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从 练习3：在正方形ABCD内随机取一点P，求A

8、PB 90的概率BCADPAPB 90？概率为0的事件可能发生！第13页/共35页 练习3：在正方形ABCD内随机取一点P，求APB 回顾小结：1.几何概型的特点：、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 、有一个可度量的几何图形S；、试验E看成在S中随机地投掷一点；2.古典概型与几何概型的区别.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. 第14页/共35页回顾小结：1.几何概型的特点：、事件A就是所投掷的点落在S回顾小结：3.几何概型的概率公式. 4.几何概型问题的概率的求解. 第15页/共35页回顾小结：3.几何概型的

9、概率公式. 4.几何概型问题的概率的几何概型（2）第16页/共35页几何概型（2）第16页/共35页复习回顾：1.几何概型的特点：、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 、有一个可度量的几何图形S；、试验E看成在S中随机地投掷一点；2.古典概型与几何概型的区别.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. 第17页/共35页复习回顾：1.几何概型的特点：、事件A就是所投掷的点落在S3.几何概型的概率公式. 4.几何概型问题的概率的求解. 第18页/共35页3.几何概型的概率公式. 4.几何概型问题的概率的求解. 第1、某公

10、共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等车不超过3分钟的概率.2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.巩固练习：第19页/共35页1、某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站3、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）. 甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多

11、少？ 第20页/共35页3、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定例题讲解：例1在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率CACBM解： 在AB上截取ACAC， 故AMAC的概率等于AMAC的概率记事件A为“AM小于AC”，答：AMAC的概率等于第21页/共35页例题讲解：例1在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一 “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的直径为 r）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为a的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖.例2.

12、抛阶砖游戏.问：参加者获奖的概率有多大？ 第22页/共35页 “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者设阶砖每边长度为a ,“金币”直径为r .若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域A内.问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内的概率.a aAS第23页/共35页设阶砖每边长度为a ,若“金币”成功地落在阶砖上，其圆心必位于是成功抛中阶砖的概率由此可见，当r接近a, p接近于0; 而当r接近0， p接近于1. 0ra, 你还愿意玩这个游戏吗？a aA第24页/共35页于是成功抛中阶砖的概率由此可见，当r接近a, p接近于0; 例

13、 3. (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 17点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响求二人能会面的概率.解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是 即 点 M 落在图中的阴影部分所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)第25页/共35页 例 3. (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 1二人会面的条件是： 答：两人会面的概率等于0 1 2 3 4 5yx54321y-x =1y-x =-1第26页

14、/共35页二人会面的条件是： 答：两人会面的概率等于0 1 送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?【变式题】假设你家订了一份报纸第27页/共35页送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家你父亲离 6:307:30之间 报纸送到你家 7:008:00之间 父亲离开家问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?提示： 如果用X表示报纸送到时间 用Y表示父亲离家时间那么X与Y之间要满足哪些关系呢？第28页/共35页 6:307:30之间 报纸送到你家提示：解:

15、以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以第29页/共35页解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标第29页/共35页例4.在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成锐角三角形的概率.ABC解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的三角形内角分别为A、 B、 C.它们构成本试验的样本空间 S.设Ax， By，则构成锐角三角形的(x,y)应满足的条件是：第30页/共35页例4.在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成锐

16、角三角形的概S由几何概率计算得所求概率为第31页/共35页S由几何概率计算得所求概率为第31页/共35页练一练2. 在一张方格纸上随机投一个直径 1 的硬币，问方格多小才能使硬币与线相交的概率大于 0.99 ？3.Bertrand 问题：已知半径为 1 的圆的内接等边三角形边长是 ，在圆内随机取一条弦，求弦长超过 的概率.1.在线段 AD 上任意取两个点 B、C，在 B、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率.4.一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在 8 小时内随机到达.顾客甲需要 1 小时服务时间，顾客乙需要 2 小时.计算有人需要等待的概率.第32页/共35页练一练2. 在一张方格纸上随机投一个直径 1 的硬币，问方格回顾小结：1.几何概型的特点：、事件A就是所投掷的点落在