苏教版数学高一苏教版必修4自主训练2.2向量的线性运算

1、自主广场我夯基我达标1.正方形ABCD的边长为1，则|+|为( )A.1 B. C.3 D.思路解析：|+|=2|=.答案：D2.如图2-2-11，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )图2-2-11A.+= B.+=C.+= D.+=思路解析：结合向量加法的几何意义再充分利用三角形法则和平行四边形法则,知+=.答案：C3.已知向量ab，且|a|b|0，则向量a+b的方向( )A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同 D.与向量b方向相反思路解析：ab说明两个向量是共线向量.当向量a与b共线且方向相同时，则a+b的方向与a(或b)的方向相同，当向量a与b反向且|

2、a|b|0时,则a+b的方向与a的方向相同(与b方向相反).答案：A4.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于( )A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b思路解析：根据向量加法的几何意义，由平行四边形法则及平行四边形的性质，可得+=2,所以=(a+b).答案：C5.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则( )A.ab，且a与b方向相同B.a、b是共线向量C.a=-bD.a、b无论什么关系均可思路解析：当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=

3、|a|+|b|；向量a与b反向且|a|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.答案：A6.若三个向量a、b、c满足abc=0，则a、b、c可以组成( )A.一条直线 B.三个点C.三角形 D.不确定思路解析：当a、b、c共线时，不能构成三角形，当a、b、c不共线时，由向量加法的三角形法则，知能构成三角形.答案：D7.设a表示“向东走了2S km”，b表示“向南走了2S km”，c表示“向西走了2S km”，d表示“向北走了2S km”，则(1)a+d表示_向走了_ km；(2)b+c表示_向走了_ km；(3)a+c+d表示_向走了_ km；(4)b+

4、c+d表示_向走了_ km； (5)若a表示向东走8 km，b表示向北走8 km，则|a+b|=_ km，a+b的方向是_；(6)一架飞机向北飞行300 km后改变航向向_飞行_ km，两次飞行位移之和的方向为北偏西53.1，大小为500 km，飞行路程为_ km.（cos53.1=）思路解析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.答案：(1)东北 S (2)西南 S (3)北 2S (4)西 2S (5) 东偏北45 (6)西 400 7008.已知|=|=，且AOB=120，则|+|=_.思路解析：以OA、OB为邻边作OACB，则=+，因为|=|=，且AOB=120，所以OAC

5、是正三角形.所以|+|=|=|=.答案：9.已知非零向量a、b，且a+b平分a、b的夹角，则向量a、b的关系是_.思路解析：在平行四边形OACB中，=a，=b，则对角线=a+b，因为a+b平分a、b的夹角，所以OACOBC.所以|a|=|b|.答案：|a|=|b|我综合我发展10.已知两个不共线向量e1和e2，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2.求证：A、B、D三点共线.思路分析：欲证A、B、D三点共线，只要证明与共线即可.证明：=+=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6.向量与共线.又与有共同的起点A,A、B、

6、D三点共线.11.求证：对任意向量a、b，都有|a+b|a|+|b|.思路分析：对向量a、b，按照共线与不共线分类讨论来研究其长度问题.证明：(1)当a、b不共线时，如图2-2-12，设=a,=b，则a+b=,图2-2-12OAB中,|+|,|a+b|a|+|b|.(2)当a、b不共线时，a、b同向则|a+b|=|a|+|b|；a、b反向则|a+b|a|+|b|.对任意向量a、b，都有|a+b|a|+|b|.12.用向量方法证明：梯形中位线平行于两底且等于上、下两底和的一半.思路分析：用向量法证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行向量线性运算，最后作出运算结果的几何意义解释即可.答案

7、：已知如图2-2-13，梯形ABCD中，E、F是两腰AD、BC的中点，图2-2-13求证：EFABCD，且EF=(AB+CD).证明：E、F分别是AD、BC的中点，.,=(+)=(+).又DCAB，设=.=(+)=(+)=.E、F、D、C四点不共线，EFCD.同理,EFAB，且|=(|+|).EF=（AB+CD）.13.在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30、60(如图2-2-14)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.图2-2-14思路解析：作出向量图，由图可知合力与分力的关系，向量的模即为力的大小.解：如图2-2-15，作OACB，使AOC=30

8、，图2-2-15BOC=60，在OAC中，ACO=BOC=60，OAC=90，|=|cos30=300=(N)，|=|sin30=300=150(N)，|=|=150(N).答：与铅垂线的夹角为30的绳子拉力是1503 N，与铅垂线的夹角为60的绳子拉力是150 N.14.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10 n mile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9 n mile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18 n mile/h，要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用时间.思路分析：根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，结合勾股定理，实质是解决几何问题即可.解：如图2-2-16，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇.设所用时间