苏教版数学高一苏教版必修3知识导引平均数及其估计

1、6.3总体特征数的估计前面我们学习了用图、表来表示样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率估计总体的分布.为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还需要通过样本数据对总体的数字特征进行研究.在数学中，通常把能反映总体某种特征的量（如：平均数、方差、标准差等）称为总体特征数.6.31平均数及其估计案例探究为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.518岁的男生的体重情况,结果如下（单位:kg）56.569.56561.564.566.56464.57658.57273556677057.565.56871756268.56256659.563564.

2、567.57368557266.574636055.57064.5586470.55762565697157362587671666355659.5635657074.568.56455.572566.5687657.5607155769.57464.5596156768635585965.562569.57264.575.568.5646265.558.567.570.5656666.5706359.5根据上述数据我们可以画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计.由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积反映了数据落在各个小组的频率的大小.在得到了样本的频率后，就

3、可以对相应的总体情况作出估计.例如从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，体重在（64.5，66.5）kg的学生比体重为其他值的学生数多，但他并没有告诉我们多多少.试问：怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征.应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.我们常用算术平均数（其中ai（i=1,2,n）为n个实验数据）作为体重的最理想的近似值，它的依据是什么呢？处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小，设这个近似值为x，那么它与n个实验值ai（i=1,2

4、,n）的离差分别为 xa1，xa2，xa3,xan.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|x-a1|+|x-a2|+|x-an|取最小值时x的值.但由于含有绝对值，运算不太方便，所以，考虑离差的平方和，即（xa1）2（xa2）2（xan）2，当此和最小时，对应的x的值作为近似值.因为（xa1）2（xa2）2（xan）2nx22（a1a2an）x+a12+a22+an2，所以当x=时离差的平方和最小，故可用作为表示体重的理想近似值，称其为这n个数据a1,a2,an的平均数（average）或均值（mean），一般记为=.这样，我们可以用计算器求得，该地区内1

5、00名年龄为17.518岁的男生的体重的最佳近似值为x65.5（kg）.这样我们就得到了样本平均数的求解方法：样本数据的算术平均数，即=.Excel中函数“AVERAGE（ ）”可直接用于计算给定数据的平均数.如求12，124，128，13，122，128，123，125，125的平均数，可直接把它们输到工作表中A1J1区域后，在某空白单元格中输入“AVERAGE（A1H1）”即可，即得它们的平均数为125（如下图）.自学导引1在频率分布直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数. 2下列数字特征一定是数据

6、组中数据的是（ ）A众数 B中位数C标准差 D平均数答案：A3数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（ ）A1或3，2 B3，2C1或3，1或3 D3，3答案：A4.频率分布直方图的重心是（ ）A众数 B中位数C标准差 D平均数答案：D疑难剖析【例1】 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下：（总分：150）甲班：112861068410010598102941078711294949990120 9895119 1081009611511110495108111105 10410711910793 1029811211299 92102938494 941009084

7、114乙班：11695109961069810899110103 949810510111510411210111396 10810011098107 8710810610397 107106111121 97107114122101107 107111114 10610410495111111110试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好些.思路分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可.解析：用科学计算器或计算机分别求得甲班的平均分为1011，乙班的平均分为105.4，故这次考试乙班成绩要好于甲班.【例2】 某教师出了一份共3道题的测试卷，每题

8、1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为0.3、0.5、0.1和0.1（1）若全班共10人，则平均分是多少？（2）若全班共20人，则平均分是多少？（3）若该班人数未知，能求出该班的平均分吗？思路分析：上述所占比例就是各数据的频率.解：由题意，平均分30.320.510.12答：全班的平均分为2分. 思维启示：各数据频率确定时，平均数不受样本容量的影响.【例3】 某工厂人员及工资构成如下表：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2 200250220200100人数16510123合计2 2001 5001 1002 0001006 900（1）指出这个问题中周工资的众数、中位

9、数、平均数；（2）这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？思路分析：根据众数、中位数、平均数各自的特点，选择合适的数据反映该厂的工资水平.解析：由表格可知：众数200，23的中间位置众数是12，中位数220.平均数=（2 200+1 500+1 100+2 000+100）23=300.虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.思维启示：平均数受数据中的极端值的影响较大，妨碍了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更能反映客观情况.拓展迁移【拓展点1】 以往的招

10、生统计数据显示，某大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分.你的一位校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先查阅一下这所大学招生的其他信息？解释一下你的选择.提示：应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均信息、最低录取分数线信息等，尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息.在已知最低录取分数线的情况下，很容易作出判断；在已知平均数的情况下，如果平均数小于中位数很多，则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息（如标准差的信息）来作出判断.【拓展点2】 在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘

11、员告诉你，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3.5万”.如果你希望获得年薪2.5万元，（1）你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？（2）如果招聘员继续告诉你,“员工收入的变化范围是从0.5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的中间0.5（即去掉最少的0.25和最多的0.25后所剩下的）的变化范围是1万到3万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？（4）你能估计出收入的中位数是多少吗？为什么均值比估计出的中位数高很多？答案：（1）不能，因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数.现在已经知道至少有一个人的收入为x50100万元，那么其他