也论形式主义与多宇宙观

1、也论形式主义与多宇宙观摘要：文章对裘江杰在集合论多宇宙观与形式主义中的若干观点提出挑战，试图论证:作为数学哲学的形 式主义是无法做到彻底地本体论中立的，一些形式主义者对元数学的特别关注就促进数学实践而言的作用是 有限的。特别地，作者结合对一些新进研究成果及其背后想法的梳理试图展示：形式主义在探究数学新公理 和关于集合论多宇宙观的研究中是缺席的；反过来，集合论多宇宙观的有关研究成果则显示出其明显超出形 式主义的价值。关键词：数学哲学；形式主义；集合论多宇宙观什么样的数学研究是值得做的，什么样的数学定理是好的数学研究成果?这显然不是一个数学问 题。但数学工作者对这个问题的看法无疑会影响他的研究志趣

2、，进而影响他的具体工作,而数学家共同 体对这个问题看法的分布则会影响数学这门学科的发展趋势。按照典型的形式主义数学哲学的解读， 所有的数学研究都可以被看作是在某个给定的形式化公理系统中做证明。而一般认为,该公理系统的 定理集是能行可枚举的(详见后文)，即，存在一个计算机程序来枚举该公理系统所有可能的定理。然 而,几乎没有人认为数学工作应该是这样的。即使利用程序辅助寻找证明，数学工作者也至少需要解 读、挑选有意义的结果。因此,这个并非数学问题的问题却与几乎所有数学工作者的研究工作密切相 关，难以回避。如果承认对该问题以及相关问题的回答并非完全主观任意,而是存在主体间就这些问题 相互交流、考量、评

3、判并形成共识的空间，那么数学哲学便是可能的了。从早期以希尔伯特为代表的经典形式主义到科恩等人关于公理化集合论的形式主义，形式主义在 现代数学哲学的讨论中一直在场。然而，自从哥德尔的两个不完全性定理的发现揭示希尔伯特形式主 义原版的研究纲领不可实现，形式主义在严肃的数学哲学讨论中始终处于相对弱势的地位。尽管如此, 形式主义对数学工作者仍然有着强烈的吸引力，尽管这一吸引力主要来自可以回避进一步的追问。正 如Reuben Hersh写道:“典型的数学工作者是工作日的柏拉图主义者，又是星期日的形式主义者。叩集合论多宇宙观(set-theoretical multiverse view)是近年来兴起的区

4、别于集合论单宇宙观(universe view)的集合论哲学观点。后者是数学柏拉图主义在集合论被广泛接受为数学基础这一语境下的具体 实现,即认为存在唯一典范的集合概念以及由满足这一概念的所有集合组成的集合论宇宙，集合论语言 中的任何一则命题关于这个集合论宇宙的描述要么是真的要么是假的。集合论多宇宙观则基于人们从 构造内模型、力迫扩张及非标准模型以及在这些模型中“工作”的强健经验，宣称存在许多不同的集合概 念或集合论宇宙。笔者曾在集合论多宇宙观述评中论证，集合论多宇宙观要么是一种形式主义，要么 是与传统柏拉图主义或集合论单一宇宙观相容的21裘江杰在集合论多宇宙观与形式主义中试图把形式主义重新诠释

5、为一种本体论中立的，并且有 助于推动数学实践的数学哲学立场31同时，裘江杰认为集合论多宇宙观可以被纳入这样一种形式主义 立场,并且正是在这种形式主义的框架下体现出其对数学实践的正面影响。由此,进一步佐证了这种本 体论中立的形式主义对数学实践是有益的。在本文中，笔者试图挑战裘江杰的上述观点。在第一节中，笔者拟论证数学哲学的形式主义是无法 真正做到本体论中立的。在第二节中，笔者将针对性地讨论形式主义就推动数学实践而言的局限性。 在除去结论的最后一节中，笔者将结合一些新结果再次审视围绕集合论多宇宙观的集合论研究与有关 数学哲学立场的关系，试图展现集合论多宇宙观独立于形式主义的价值。一、形式主义不是本

6、体论中立的在集合论多宇宙观与形式主义中，裘江杰承接科里(Haskell Curry)的形式主义立场，认为形式主 义应该是本体论中立的，它不在形而上学上做任何假设，并且形式主义并不拘泥于特定的形式化系统。 特别地，他们认为形式主义不应该受到希尔伯特所谓有穷数学的掣肘。但这种形式主义仍然要求形式 系统满足一定的可接受条件，其中包括一致性，却不要求一个一致性证明。此外，裘江杰和科里都认为 关于这些形式系统的“元数学”研究是重要的。在本节中，笔者首先试图论证任何有意义的形式主义都无法做到真正的本体论中立。同时,笔者也 试图解释，希尔伯特关于形式主义“元数学”必须是有穷数学的限制性立场为何不能任意放宽。

7、在后人的解释中，一般认为希尔伯特的形式主义不是本体论中立的。他将数学分割为可靠的有穷 数学(finitary mathematics)以及其一致性有待证明的经典数学，后者包括康托尔发明的集合论。的确可 以说，希尔伯特本人关于包括集合论在内的经典数学的本体论问题试图展现一种中立的立场，或者说试 图悬置抽象实体或无穷集合是否存在的问题。同时，希尔伯特捍卫数学工作者在“康托尔的乐园”中自 由探索的价值，其手段就是将这部分数学形式化，并在可靠的有穷数学中证明这个形式化了的公理系统 是一致的。这就是所谓的希尔伯特纲领(Hilberts Program)0我们知道，希尔伯特纲领因为哥德尔不完 全性定理而注

8、定无法在其原本意义上实现，但是希尔伯特形式主义乃至后哥德尔定理的希尔伯特形式 主义变种在本体论上对数学进行区分的做法是一以贯之的。希尔伯特式的形式主义可以悬置那部分需 要通过形式化方案来捍卫的数学的本体论问题,但要求对这部分数学的形式化给出一致性证明。这一 立场意味着他们必须认为其所期望的一致性证明是可靠的，或在某种意义上是真的。无论这种一致性 证明是基于有穷数学或其他构造主义数学的证明，他们必须或假设或尝试论证这部分数学是有意义的, 它们对应着某种可靠的信念或具体的客观概念。例如，竹内外史在证明论中为%下归纳原理所作的辩护。他定义了序数的可及性(accessible)概 念来描述人们可以“切

9、实地看到”或“构造性地证明”可及序数下的每个严格下降链都是有穷的。他试图 论证，可及性在序数加法、乘法甚至幂运算下保持不变，从而证明4下的序数都是可及的。竹内外史宣 称基于可及序数下的归纳原理相比完全的集合论是有穷主义的，相比直觉主义中抽象的“构造”“证明” 概念又更加具体。因而，这是所谓“希尔伯特一根岑有穷主义立场”可以接受的数学命题。再如,哥德尔对他的T系统的辩护。在论一种迄今未用过的有穷主义观点的扩张中，哥德尔描述 了一个扩张了有穷主义限制的系统T,并证明了直觉主义算术相对于该系统的一致性田。哥德尔试图让 读者相信,T系统基于的“自然数上的有限类型的可计算函数”概念是一个相比更具体的、“

10、意义清晰 的”概念。读者可以在哥德尔在构造主义数学方面的工作中找到简要的介绍50在希尔伯特形式主义及其变种中，数学被划分为可靠的部分与“理想”的部分。这种立场的支持 者有义务澄清划分的具体位置,并为这种划分辩护。对划分的辩护可能暗含在对可靠部分可靠性的 辩护中。这种“区别对待”本身揭示了形式主义者对关于“理想”数学的本体论地位的看法，它显然不是 中立的前希尔伯特的形式主义者或许可以声称他们对所有数学一视同仁。一些前希尔伯特的（往往是非 自觉的）形式主义立场的确没有对数学做类似的划分，它们断言所有数学都是无意义的。例如游戏形式 主义，认为数学工作者只是根据给定的游戏规则进行操作。但即使极端的游戏

11、形式主义者也不得不承 认,关于他们所玩的游戏规则是否和谐的问题是有意义的。人们显然不会认为，一个已知走某步就定胜 负（如证明出矛盾从而可以证明所有命题）的游戏是值得玩的。而在希尔伯特之后，人们逐渐厘清了那 些数学游戏的规则，形成了明确定义的数学公理系统，并借助于哥德尔编码等技巧,将关于游戏规则的 问题明确地翻译成了对应的算术问题。正如人们很难拒绝承认图灵机可计算是对能行可计算概念的正 确刻画。一旦这样的工具出现在眼前,人们就很难再拒绝承认这些翻译的正确性，这些关于游戏规则的 问题就是数学问题，而且这些数学问题是有意义的。因此，希尔伯特式的形式主义对数学基于本体论地 位的划分对一般的形式主义而言

12、也是难以避免的。或许,形式主义者可以声称所谓的本体论中立仅仅是指“理想元”部分的本体论中立。例如,作为哥 德尔定理之后的形式主义者,科里不要求对公理系统的一致性证明。因此，也不需要承认一个用以证明 一致性的具有更高本体论地位的“元数学”，尽管他仍然认为一致性是形式系统重要的属性。希尔伯特所强调的正是一致性标准。这样做的原因大概是他在寻找一个先天的合法性证明。但是，且不论对物 理来说，一个先天的合法性证明的问题是不相关的，我坚持认为一 一致性证明既不是可接受性的必要条件也不是充分 条件。它显然不是充分的。至于必要性，只要没有不一致性被认识到，一 一致性证明尽管带给我们关于系统的知识，但 并不改变

13、它的有用性。即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼因此， 希尔伯特在关于一致性方面的这一奇怪的立场并不是数学形式主义观念的一部分。6皿血科里不要求一个先行的一致性证明，这是对自弗雷格以来人们探索数学基础基本动机的忽视。人们希 望为数学寻找一个安全的基础,或是逻辑或是形式化的公理系统,以避免可能的谬误。弗雷格作为典型 的实在论者可以不像希尔伯特那样寻求一个有穷数学的一致性证明。因为在他看来:“公理不会彼此矛 盾，因为它们是真的;而这不需要一个证明。”圆这里的证明是指希尔伯特在几何基础中给出的相对一 致性证明或是基于有穷数学的一致性证明。显然,一则数学命题（在

14、弗雷格看来是这则命题所表达的思 想）作为公理仍然是需要辩护的，正如他在算术基础中所做的工作那样。无论希尔伯特的形式主义纲 领、布劳威尔及其后继者的直觉主义宣言还是引领当代集合论研究的哥德尔纲领都继承了自弗雷格以 来的这一诉求。科里诉诸物理学的比较来说明先天合法性证明是不需要的。然而在早已数学化了的物 理学中，对一致性的辩护显然是必要的。任何物理学理论被要求与其他理论和已知现象一致。例如，关 于量子力学标准模型一致性的讨论乳正是由于量子力学与广义相对论之间显然的冲突，人们清楚地意 识到一个涵盖所有四种基本力的万物理论尚付阙如。因此,寻找一个兼容量子力学与相对论的一致的 理论始终是理论物理学的核心

15、问题。的确，无论在物理学还是数学实践中，人们往往（甚至注定）是在 某个理论的一致性证明或其他“安全保证”尚未确立的情况下工作于其中的。但这不妨碍这类基础问题 始终是数学、物理及其哲学的核心关切。而只要直面这一数学基础问题，无论柏拉图主义者、直觉主义 者还是形式主义者（正如前文所分析的）都无法做到所谓的本体论中立。关于科里的形式主义立场，一个有趣的事实是，他非常重视关于形式系统的“元数学”,甚至以此为 数学的本质：“数学是关于形式系统的科学叩。他所关注的“元命题”主要是关于形式系统本身（诸如 “命题x是在形式系统X中可证的”），以及形式系统之间关系（诸如，一个系统是另一个系统的子系统） 这样的命

16、题。而“形式系统X是一致的”无非是某个具体的谬误（如0=1或aA-a）“不是在形式系统X中 可证的”。因此，无论科里对系统一致性证明持有怎样的看法，他对所谓“元数学”地位的特别关注使他 无法避免本体论上的二分立场。事实上，在关于数学的“形式主义”定义中，科里明确将“非构造性命题 排除在真正的数学的领域之外”。因为，“这些命题的真取决于与构造主义命题中所蕴涵的形式不同的 理想假设。”的56在结束本节之前，我们试图进一步厘清形式主义的“元数学”概念。科里声称他的“元数学”并不局 限于希尔伯特的有穷数学。而正如前文中提到的，科里所举的“元命题”的例子主要是关于公理系统可 证性以及公理系统之间证明论强

17、度的命题。一般认为，一个公理系统的公理集必须是能行可判定的。 也就是说，至少要有一个有穷的机械的程序，任给一则表达式，该程序能够在有穷时间内判断该表达式 是否是一条公理。进一步，我们要求该公理系统下的证明是能行可检测的。也即,原则上存在一个有穷 的机械程序,任给一个表达式序列，该程序能够在有穷时间内判断这个序列是否构成一个有效的证明。 上述这些要求恐怕是对公理系统最低的要求。事实上，数学家社区对公理系统及其证明的可检测性有 着更高的要求。例如，经验上可以被其他数学家所理解等。由于证明有效性是能行可检测的，原则上， 人们就可以设计一个计算机程序来枚举某个公理系统所有可能的数学定理。因此，关于公理

18、系统内部 可证性的问题，也就成了关于上述程序能否枚举到某个命题的问题。我们可以通过哥德尔编码和克莱 尼谓词（Kleenes Predicate）将它变成一个算术问题，更准确地说，它是一个珥的一阶算术问题。相对一 致性命题，如Con（Con（T）是关于公理系统间证明论强度的典型问题。一个相对一致性证明往往来 自具体给出一个统一的程序，将任何L中到谬误的证明转换为T1中到某个谬误的证明。绝大多数的相 对一致性证明，包括利用力迫法得到的关于集合论诸公理系统间的相对一致性证明甚至可以在原始递 归算术（PRA）中得到，即上述证明转换程序往往是原始递归的。按照一般理解，原始递归算术符合希尔 伯特对有穷数学

19、的要求。因此，科里所谓关于形式系统之间关系的“元数学”大多可以被希尔伯特有穷 数学覆盖。我们知道，任何珥的真命题都在皮亚诺算术甚至更弱的算术系统中可证明。哥德尔不完全 性定理告诉我们，任何一致的且足够的算术公理系统中总有不可证的n 0真命题。但无论如何，关于形 式系统的上述“元数学”命题不会超出一阶算术的范围。科里在关于什么是“元数学”的界定中，的确还留下了进一步解释的空间。他认为“涉及关系到外在 （extraneous，相对于形式系统本身而言）考量或无穷主义假设的元定理，例如对塔斯基和哥德尔关于一 阶谓词逻辑完全性证明的语义研究”10也可以被算作元数学。笔者未能在科里的著作中找到关于这类 元

20、定理的明确例子。我们知道哥德尔完全性定理需要至少在二阶算术语言中陈述，并且可以在二阶算 术公理系统WKL。中被证明。另一方面，我们不能无限扩大对这部分“元数学”的解释。一般被认为，下 行的勒文海姆-斯寇伦定理是哥德尔完全性定理证明的推论。但其证明中使用了某种形式的选择公理。 准确地说，在ZF基础之上，针对可数语言的下行的勒文海姆-斯寇伦定理与依赖选择公理(dependent choice,DC)是等价的；而针对任意基数语言的下行的勒文海姆-斯寇伦定理与选择公理等价叫。显然， 科里不会承认选择公理是否为真也是他所谓的关于形式系统“元数学”的问题。二、形式主义对数学实践的影响笔者在结构主义是一种有

21、效的数学哲学吗?中质疑结构主义是有效的数学哲学，21在同样的意 义上,形式主义无疑是有效的数学哲学。希尔伯特的形式主义纲领直面数学工作者的困惑。无论是希 尔伯特本人关于几何的公理化工作，还是一阶谓词逻辑和集合论的公理化,抑或前文提到的根岑和哥德 尔关于皮亚诺算术的一致性和相对一致性证明，都是在希尔伯特形式主义纲领启发下的数学工作。在 这个意义上，形式主义的确对数学实践有着积极的影响。裘江杰在集合论多宇宙观与形式主义中认为，元数学“作为对数学的反思性研究”是“形式主义的 重要组成部分”，并且形式主义,尤其是被纳入形式主义框架的集合论多宇宙观有助于为集合论搜寻新 公理。本节中，笔者则试图说明:形式

22、主义者尤其关注的元数学研究恰恰非常依赖超出形式主义的思想 和直观；而形式主义对探究集合论新公理的作用是有限的。的确，当代集合论研究中大量使用力迫法得到的结果都可以写成Co心一Cong)这样的形式。 这种相对一致性结果可以被看作是典型的元数学命题，并且本质上可以在弱如PRA这样的算术公理系 统中得到证明。但实际上,几乎没有集合论工作者是在算术公理系统中工作来发现这些证明的。一般 关于力迫法的直观是构造一个已有集合论宇宙中不存在的泛型(泛型,generic)对象，例如R个实数，来 得到满足某个命题的“更大的”集合论宇宙，并称之为力迫扩张(forcing extension)o按照朴素的单一宇 宙观

23、，把集合论宇宙理解成所有集合组成的宇宙，就无法解释何以能够再造出一个在集合论宇宙中 不存在的泛型对象。对此,一般可以借助可数传递模型或力迫语言来解释。用可数传递模型来解释 Con(T)Con(T+(p)的力迫法证明，首先假设存在T的可数传递的玩具模型由于可数模型上的泛型对 象总存在，我们可以证明存在M的力迫扩张MG满足T+p。在这个解释下，我们处理的只是玩具模型， 无论玩具模型M、泛型对象G还是M的力迫扩张MG都真实地存在于我们的宇宙中。关于这个解释需 要注意的是，满足T的可数传递模型M的存在往往严格强于Con(T)这个假设。实际上，我们取的是集合 论公理集T的任意一个有穷部分T(ZF可以证明

24、任何ZF有穷子集都有可数传递模型)。由此，上述解释 本质上提供了一个证明转换的能行方法:如果T+p不一致，即存在一个有穷的T+p可以证明荒谬，那么 我们就可以从ConT这个假设出发证明出存在T+p的模型这个荒谬，因而T也是不一致的。通过力迫 语言的解释一定程度上可以避免这种曲折的处理方式。我们先定义力迫语言的“语义”一力迫关系： pl Ha (T)，其中T是一串“力迫名词”，“力迫名词”可以被理解为在原有集合论宇宙中指称可能的力迫扩张 中对象的名称，它们构成了原有集合论宇宙中的一个可定义的真类。因此，力迫语言的“语义”作为一个 关系也是原有集合论宇宙中的一个可定义的真类。在这种解释下，为了证明

25、Con(T)Con(T+p),一般假 设我们在T宇宙中定义了力迫语言，试图证明存在力迫条件。由此，如果T+p不一致,即Tp，可以 证明任何力迫条件都有pIH-p,从而我们得到了 T中的矛盾:pHp且plH-p(这与力迫关系的性质不符)。 我们还可以借助布尔值模型使得基于力迫语言的解释显得更直观。布尔值模型可以被理解为对通常 基于二值布尔代数的语义的推广，在其中每个语句的真值是B中的元素。我们从一个ZFC宇宙V出发 构造的布尔值模型V中,ZFC和ZFC的推论的“真值”都是B中的最大元，而如果一个语句在V中能取到 除最小元以外的真值，它就是与ZFC是一致的了。上述力迫法的解释无不涉及无穷模型，甚至

26、真类(布 尔值模型V和力迫关系都是V中的真类)。即使知道基于力迫法的相对一致性证明,要还原出其在PRA 中的版本也往往是一件非常困难的任务,很难想象对着ZF的形式定义就能够找到Con(ZF)Con(ZF+ 2s=2)所需要的证明变换程序。我们举一个极端的例子来解释为什么形如Con(T)的典型的形式主义“元数学”问题必须援引“外在 的”直观。我们通常只关心可公理化的理论T,也即T是递归可枚举的。由此,Con(T)可以被写成一则 的一阶算术语句。例如，Con(ZFC)就是一则即使在ZFC中也无法证明的n?语句(假设ZFC 一致)。甚 至，无论我们如何添加新的公理来扩张ZFC，只要所得到的仍然是一个

27、一致的集合论公理系统，其中就 仍然有不可证的真的n 1语句。这些是哥德尔第二不完全性定理告诉我们的。一般认为Con(ZFC)作为 对ZFC的扩张，并不是很强的命题。例如,ZFC+存在不可达基数就可以证明它。但下面的事实告诉我 们，在处理形如Con(T)的语句时，我们必须对T的具体编码方式保持谨慎。通过一些处理，我们甚至可 以把“ZFC是一致的”这则n语句变得任意强。事实固定对集合论语言的编码，令。,同是对集合论语言语句的能行枚举。对任意语句Vxp(x) (其中弦(x)是一个公式)，存在一个自然数e使得：Vxp(x)蕴含?: ieW=ZFC;ZFC+Con(、: ieW)lVxp(x)。这里我们

28、援引递归论中的术语，用W表示编码为e的图灵机的定义域，或“第e个递归可枚举集”。 我们说,ZFC是一个递归可枚举的(实际上是递归的)公理集，也即存在一个自然数d使得ZFC=&定 W,。所以事实陈述中的弓ieW=ZFC实际上是亿=仍这样一则一阶算术命题。此外，W,又可以被表 示为一个递归函数3的值域：Wd=3(i): i如。事实的证明假设ZFC=3(i): 3。我们可以构造一个部分递归函数e：3 (n ),如果Vxn(p (x),中 e(n )=,3(n)A0=1,否则。我们先验证(1):如果Vx(x)成立，那么W=ranQ=ZFC。此时,Con(W)等价于Con(ZFC)。验证(2)：我们在Z

29、FC中工作，如果-Vxp(x),那么W中就包含0=1。因而，-Con(W)。证毕。因此，对任何真的n 0语句(例如，“ZFC+存在任意大的武丁基数是一致的”)，我们都可以找到ZFC 的某个编码，使得Con(ZFC)蕴含这则语句。在弗雷格这样的实在论者看来,这并没有什么吊诡的地方， 因为它们都是真的。科里认为，当我们证明一个数学命题的时候，重要的是我们证明了这个命题在某个公理系统中可证 这一元数学事实。一度作为ZFC形式主义者的谢赫拉(Saharon Shelah)在已知ZFC关于正则基数为指 数的幂所知甚少的情况下,提议尽可能在ZFC中证明关于奇异基数为指数的幂的取值上限，并证明了著 名的不等

30、式：2。跖。证明使用了谢赫拉发明的相比基数幂运算更精细的共尾可能性理论(pcftheory), 涉及在各种超积模型中可能的共尾数。这依赖于相当深刻的集合直观。尽管所有在ZFC公理系统中的 证明自然都会有相应的元定理作为副产品，但即使在ZFC形式主义者看来,他所证明的是一则关于集合 的事实，而不是一则有穷的算术“元数学”命题。事实上，没有人真正给出过见证ZFC-2电童的形式化 证明的编码。裘江杰在集合论多宇宙观与形式主义中认为形式主义能够帮助探究集合论新公理。后者是哥德 尔纲领的核心议题,也被认为是柏拉图主义面对不完全性现象的标准回应。裘江杰写道“为获得具有 某种独立性的常规数学结果所必须的命题

31、可能可以作为新公理的候选。这一进路是形式主义的。叩对 这句话可以有两种解读。一种是，得到独立性结果这种“元数学”结果所必须的命题可以作为新公理的 候选;第二种是,要证明已知独立命题(如独立于ZF的CH)所必须的命题可以作为新公理的候选。已知 的独立性元数学结果(由一对相对一致性命题组成)往往是在弱如PRA这样的有穷主义公理系统中可证 的，并不需要什么扩张了现有集合论公理系统的新公理候选。因此，第一种解读可以排除。关于第二种 解读，来自形式主义对新公理的要求是证明目标已知独立命题所必须的命题。笔者认为，这是不合理 的。按照哥德尔纲领对新公理的标准的讨论,集合论新公理除了必须满足符合我们关于集合概

32、念的直 观这一内在性要求，还应该具有成果丰富性这一外在性要求，即可以加深我们关于集合论宇宙的理解。 除去丰富性要求，最“安全的”新公理无疑是将目标独立问题或其否定本身作为新公理，这恰好符合形式 主义者的上述要求。目前关于集合论新公理的主要候选理论(W. Hugh Woodin的终极L、力迫公理和内 模型假设)都有远超连续统假设问题的丰富后承。又或许形式主义者思考的对新公理的探究是类似反 推数学的工作，后者试图厘清被广泛接受的数学成果所需要的最小二阶算术公理系统是什么。由此，构 造主义者可以在选择他们所认可的公理系统之前就了解他们能够保留什么以及必须放弃什么。反推数 学的一些工作的确被宣称为希尔

33、伯特纲领的部分实现13。但笔者认为这类工作意义在于为部分怀疑论 者在选择可接受的极小系统时提供参考，所涉及的都是在柏拉图主义者看来显然成立的公理系统。它 与为集合论乃至全部数学寻找新公理的哥德尔纲领的志趣相去甚远。综上，形式主义思想对探究新公 理的作用十分有限。三、集合论多宇宙观与形式主义笔者曾在集合论多宇宙观述评中论证集合论多宇宙观要么就是一种形式主义，要么与集合论单 一宇宙观相容气近年来，围绕集合论多宇宙观的研究出现了更多的结果。这让我们有理由再次审视集 合论多宇宙观是如何推动有关数学实践的。本节中，笔者尝试通过展示这些基于集合论多宇宙观的新 进成果以显示形式主义的思想何以在其中缺位，相反

34、它们的灵感仍然主要来自多宇宙观与柏拉图主义 单一宇宙观的对话。近年来，与集合论多宇宙观密切相关的成果中最引人注目的是薄蕖季路在2017年证明的下述定理。 定理假设V满足ZFC，那么V的地基是强向下直的(strongly downward directed) 0即对任意索引集I 和V的地基“集”N,K,存在V的地基NC,N,假设集合论宇宙V中存在超巨基数(hyper-huge cardinal)，那么V的地幔(mantle)就是V的地基 ground )14其中，我们称V的一个内模型M是V的地基，当且仅当V是M的一个集合力迫扩张，也即存在一个 偏序 PwM 以及一个(M, P)-泛型滤 G使得，

35、V=MG。Richard Laver 和 Woodin-Joel D. Hamkins 独立证明 了V的地基可以被统一地在V中参数定义。V的地幔被定义为V的所有地基的交。由于地基们可以被 统一的参数定义，地幔也是V的一个可定义的子类。但地幔是一个ZFC内模型或进一步是V的地基并 不是一个平凡的事实。集合论地质学(set-theoretic geology)由 Gunter FuchsHamkins 和 Jonas Reitz 提出15，目的是研究 V 的地基组成的结构，它可以被看作包含V的整个泛型复宇宙(generic multiverse)的一段向下的锥形 (downward cone)子结

36、构，因而也是多宇宙观框架下研究的一部分。其中的一个重要的问题是V的地基 们是否是向下直的(downward direct，即V的任何两个地基的交包含一个V的地基)或强向下直的。地基 是向下直的对整个泛型复宇宙是很重要的性质。如果V的地基是向下直的，那么V地幔就是一个力迫 不变的概念，即，V的任意集合力迫扩张VG的地基仍然是V的地基。例如，可构成集类L和Woodin设 想的终极L都是力迫不变的。并且V的地幔也是V的内模型(V中可定义，V中传递，与V等高的ZFC模 型)。事实上，V的地幔是V的最大的力迫不变的内模型。此外，V的地幔是V所在泛型复宇宙中任何一 个宇宙的地幔，也是包含V的整个泛型复宇宙

37、的交。由向下直性可以证明，泛型复宇宙中的任何两个宇 宙No, N、之间可以通过先取一次地基再做一次力迫扩张从而两步连接起来。注意,我们仍然需要足够强的大基数假设，也即在上述薄蕖季路的第二个定理下，才能得到V的地 幔也是V的一个地基,从而属于包含V的泛型复宇宙。薄蕖季路的第二个结论来自假设V中存在足够强 的大基数花,那么V的任何地基都是通过一个花的力迫得到V的。因此，V的地幔可以通过一步集合力 迫得到V。他将这里的大基数假设进一步削弱为存在一个可扩张基数(extendible cardinal)160每个超 巨基数是可扩张基数的极限，它本身也是可扩张基数。在整个大基数强度层谱中，可扩张基数相比超

38、紧 基数并没有强很多。Woodin的终极L计划来自他的下述发现:对V中的存在的任何已知的大基数x(可 能远强于超紧基数)，如果N是V的一个超紧基数的弱张子模型(weak extender model)，那么k大基数性 质相对于N是绝对的。因此，如果我们能找到一个包含超紧基数的具有精细结构的类似L的弱张子模 型(终极L),那么它也兼容任何V中存在的大基数。由此，假设V=终极L在大基数层谱上不会损失任何 解释力强度。注意，薄蕖季路的结果表明,如果存在可扩张基数k,那么k以上的大基数在整个泛型复宇 宙中(相对地幔)是绝对的(无法通过Levy力迫坍塌k及以上的基数)。地幔的这个性质与上述终极L的 性质相呼应。加之，地幔本身是最大的力迫不变的(作为一种类似L的性质,Woodin要求终极L也是力 迫不变的)内模型，无怪乎Woodin为这一结果欢呼并声称:“任何V=终极L的公理候选都蕴含V就是 泛型复宇宙的那个极小元。”叫需要注意的是，根据Fuchs等人的证明15，任何一个ZFC模型可以是某 个ZFC模型的地幔。所以假设V=V的地幔并不能直接带来多少有价值的推论，这与V=终极L仍然相 去甚远。另一个值得注意的有关多宇宙观的进展来自Hamkins等人关于集合论潜在主义系统的模态逻辑刻 画。Hamkins和Bened