人人都来掷骰子

1、人人都来掷骰子目录：一、概率论与数理统计的起源二、概率在医疗方法决策上的应用三、大数定律在保险学中的应用四、概率在中奖问题中的应用五、概率与选购方案的综合应用六、概率在风险决策中的应用七、总结摘要：概率和统计以各种各样的方式影响着普通百姓的生活，信息常 常是确切的，可总是会带有偏向性。不知你相不相信你的直觉，但在 这里我们将看到，在日常生活中，我们的直觉往往是靠不住的。在概 率论这门数学分支中，有许许多多的例子说明，直觉会导致错误的结 论，因此我们要学会如何在生活中应用概率与统计。关键词：概率论统计 生活 大数定律数学期望一、概率论与数理统计的起源概率论的萌芽源于十七世纪保险业的发展，但是真正

2、引发数学家 们思考的源泉，却是赌博者的请求。十七世纪中叶，法国贵族德美黑在骰子赌博中，有事急于抽身， 须中途停止赌博，需要根据对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但 不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数 学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论在历史的舞台迈出了第一步。帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德美黑提出 的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支一概率论登上了历 史舞台。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家 惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论机会游戏的计算一 书，这就是最早的概率论著作。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛

3、夫。1933 年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结 构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速 发展奠定了基础。二、概率在医疗方法决策上的应用2.1找到最好的治疗方法“如果你相信医生的话，那么世界上没有任何一样事物是能增进健康的。”，索尔兹伯里勋爵如是说。为什么会出现这种说法呢？其实在医学中感兴趣的概率是经验 概率，国家卫生总局与世界卫生组织这样的机构收集和比较不同来源 的信息，从而推导出不同疾病的经验死亡率和不同的临床治疗和外科 手术的成功率。为了在诊断过程中增加确定性，开发了许多基于计算 机的诊断系统，但由于某种症状对应许多种可能的疾病，还是存在着 误

4、差性的。尽管诊治有不确定性，但是当我们生病去看医生时，医生经常能 识别病症所在，并且知道最好的治疗方法。然而，就像我们已经指出 的那样，情况并不总是如此，有时候病症并不指向唯一的疾病，而是 指向一组带有不同概率的疾病中的一种或几种。我们假设有这样一个无法确诊的案例，这个案例指向三种可能的 疾病，其发生的概率分别为A 0.70 B 0.20C 0.10这些概率的依据是由医生和医学团队所收集的和已发表在研究 期刊上的大量信息。治疗这三种可能的疾病，我们有多种药物可用， 并且由于症状的类似性，这些药物很可能对每一种疾病都有效。假设有三种可用药物a、b和c，它彳门对这三种疾病的治疗成功概率如下表示药物

5、aA0.6B1.0C 0.4药物bA0.65B0.5C 0.9药物cA0.75B0.2C 0.5从疾病的发生概率来看，疾病A最有可能，而从药物的有效性来 看，药物c对于治疗疾病A最有效。那么我们是否可以做出这样的结 论，从病人的角度看，最好的治疗方式是服用药物c?答案是否 事实上这是最糟糕的决定。为了看出医生应该怎样开处方，让我们给出以下可笑的但是数值 上是有帮助的假设：假定他有1000个患有未知疾病的病人，让我们 计算出使用这三种药物治疗的可能结果。对于这1000名病人，我们 可以估计患有三种疾病的病人数分别是：A 700 B 200 C 100如果他使用药物a,那么：患有疾病A的700名病

6、人中有700 x0.6=420人能康复；患有疾病B的200名病人中有200 x1.0=200人能康复；患有疾病C的100名病人中有100 x0.4=40人能康复；因此，能康复的病人总数是420+200+40=660.现在我们对另外两 种药物重复刚才的计算。结果是对药物b,能康复的病人总数是700 x0.65+200 x0.5+100 x0.9=645,对药物c,能康复的病人总数是 700 x0.75+200 x0.2+100 x0.5=615。从计算结果可以看出，药物a是最好的。虽然对于最可能发生的 疾病A而言，药物a的有效性最低，但是对于另外两种疾病它最有效。从上面的例子可以发现，当我们碰到

7、各种互不相容事件时（例如,疾病A、B、C),这些互不相容事件有不同的概率，而且对于不同的 时间有不同的应对方法(例如，使用药物a、b、c)，这些应对方法 又有着不同的成功概率，此时非常有必要考虑所有时间所有应对方法 的各种组合的结果以优化获得成功的可能性。2.2疾病的群发已知一种青年罹患的疾病发生的频率为每100 000人中有2.2 人。一座拥有50 000名青年的城市中查出8位青年患有此病。是否 有理由认为这是显著的群发现象？50 000名青年对应的期望值是1.1，因此我们无疑要关注该平均 值下的泊松分布。为了检验结果超出期望值的显著性，我们求出实际 结果以及所有更加极端的结果出现的总概率一

8、一也就是，患者人数为 8, 9,10,11,直到无穷大的概率之和。由泊松分布总所有事件发生的概率之和为1,因此，我们可以从1中减去7人及少于7人患病 的概率之和，从而求得8人及多于8人患病的概率。这样得出P (三8) =1- F(0)-F(1)-F(2)-F(3)-F(4)-F(5)-F(6)-F(7)或PQ 8）二 1 -e亠（1 +1.1 + 竺 + 匕 + 匕 + 竺 +116 +1）2!3!4!5!6!7!=0.000020124因为这是一个很小的概率，所以我们现在可以得出结论：这是一 个显著的群发现象，因此某些地方因素对引发这种疾病产生了作用。 这可能是遗传的、文化的、饮食的或其他的

9、一些致病源，需要做进- 步调查来发现。三、大数定律在保险学中的应用大数定律和中心极限定理是近代保险业赖以建立的基础。一个保 险公司的盈亏，我们通过学习中心极限定理的知识都可以做到估算和 预测。下面以一保险业的实例来阐述大数定律和中心极限定理在保险 业中的重要作用。假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年 付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0. 006，死亡时， 其家属可向保险公司领得1 0000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少?保险公 司亏本的概率有多大?保险公司每年在这项险种中利润大于40万元 的概率是多少？保险公司亏本，也就是赔偿金额大于

10、10000X120=120（万元），即 死亡人数大于120人的概率。死亡人数YB（10000,0.006），E（Y）=60, D（Y）=59. 64,由中心极限定理，Y近似服从正态分布N （60，59. 64）， 则PY1200,这说明，保险公司亏本的概率几乎等于0。如果保 险公司每年的利润大于40万元，即赔偿人数小于80人。则 PY80=0. 9952。可见，保险公司每年利润大于40万元的概率接近 100%。在保险市场的竞争过程中，在保证相同收益的前提下有两个策略 可以采用，一是降低保险费，另一个是提高赔偿金，而采用提高赔偿 金比降低保险费更能吸引投保户。、概率在中奖问题中的应用集市上有一个

11、人在设摊“摸彩”只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有 号码（120号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交1元 钱且在120内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的 号码相同奖10元。（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元?分析：小红摸到红球与摸到同号球的概率均为是1。那么可能得21到得到是收益分别为：丄-19，或10-19。那么他平均每次将获利为丄21 21 21 21 2 （10 19519） 21 21 21 21解：（1） P （摸到红球）=P （摸

12、到同号球）=丄；故没有利21（2）每次的平均收益为丄（5H 0） 19 = 4 （E，列表如下:甲品牌 ABC乙品牌D E D E D E有 6 种可能结果：（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D）,（C，E）. 因为选中A型号电脑有2种方案，即（A，D） （A，E），所以A 型号电脑被选中的概率是13（3）由（2）可知，当选用方案（A, D）时，设购买A型号、D型号、x + y = 36,电脑分别为x，y台，根据题意，得6000 x + 5000y二100000.解得x = 解得x = -80, y = 116.经检验不符合题意，舍去;当选用方案（A, E）时，设购买A型号

13、、E型号电脑分别为 x, y台，根据题意，得| x + y = 36,6000 x+ 2000y =100000.fx 二 7,解得y = 29.所以希望中学购买了 7台A型号电脑.六、概率在风险决策中的应用决策是人们生活工作中普遍存在的一种活动，是为了解决当前 或未来可能发生的问题，在若干可供选择的行动方案中选择一个最佳 方案的过程。决策的正确与否会带来收益或损失、风险决策是指在作 出决策时，往往受某些随机因素的影响，存在一定的风险。风险决策 常用“期望值准则”如果把每个行动方案看做随机变量，在每个自 然状态下的效益值看做随机变量的取值,其概率为自然状态出现的概 率，则期望值准则就是将每个行

14、动方案的数学期望值计算出来，视其 决策目标的情况选择最优行动方案。即：如果决策目标为利润最大， 则采取期望值最大的行动方案；若决策目标是损失最小，则采取期望 值最小的行动方案。某邮局要求当天手机的包裹当天处理完毕，根据以往的统计记录，每天收寄包裹的情况见下表：收寄包裹41505160617071808190数/个占得比例1015302520/%已知每个邮局职工平均每小时处理4个包裹，每小时工资5元， 规定每人每天实际工作7小时，如加班工作，每小时工资额增加50%, 但加班时间每人每天不得超过5小时(不足一小时按一小时算)，是 确定该邮局最有雇佣工人的数量。假设 方案A表示“雇佣2人”方案B表示

15、“雇佣3人” N表示收寄包裹数位于(3+i)xl0+l,40+10i(i=l,2,.,5).因为每人每天最多处理的包裹数为4x(7+5)=48,正常处理4x7=28,而每天需处理的包裹数，最多为90个，故只考虑两个方案A和Bo 将在不同状态不同方案下邮局支付工人工资数列表如下：状态概率支付工资方案ABN1，0.105x7x2=705x7x3=105N2，0.155x7x2+7.5=77.55x7x3=105N3，0.305x7x2+7.5x4=1005x7x3=105N4，0.255x7x2+7.5x6=1155x7x3=105N5，0.205x7x2+7.5x9=137.55x7x3+7.5

16、x2=150根据期望值准则，若雇佣2个工人，则邮局的平均支付工资为(J) = 0.1x70+0.15x77.5 + 03x100+0.25x115+0.20 x137.5：=104.875 （元）若雇佣3个工人，则邮局的平均支付工资为E （B） = 0.1 x 105 + 0.15 x 105 + 0.3 x 105 + 0.25 x 105 + 0.20 x 120 = 108 （元） 因为E（A） E（B），故从邮局来看，最有雇佣工人为2人。七、总结通过以上介绍及讨论我们简要了解了概率论与数理统计学科的 起源和发展，以及概率论与理统计在生活中的广泛应用。在自然界和 人类社会中存在着大量的随机现象。概率论在许多方面都有应用，成 为经济等领域的最主要数学工具，为生产生活带来诸多便利。做为数 学学科的重要分