推理与证明复习用课件

1、推理与证明 返回目录 一、合情推理 1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是 、 .由部分到整体 由个别到一般的推理 考点分析返回目录 2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是 . 3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 二、演绎推理 1.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种

2、推理称为演绎推理.简言之，演绎推理 是 . 2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：由特殊到特殊的推理 归纳推理 类比推理 由一般到特殊的推理 返回目录 四、间接证明 反证法是间接证明的一种基本方法. 一般地，假设 不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 原命题 矛盾 返回目录 【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项考点一 归纳推理 在数列an中，a1=1,an+1= (nN+),猜想这个数列的通项公式.考点分析【解析】 an中，a1=1,a2=

3、a3= a4= ,所以猜想an的通项公式an= .证明如下：因为a1=1,an+1= ,所以 即 所以数列 是以 =1为首项,公差为 的等差数列.所以 .所以通项公式an= .返回目录 真题聚焦1(2010年高考山东卷)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：1323334353(12345

4、)2152.答案：1323334353(12345)2(或152)返回目录 在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求证: ，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明.考点二 类比推理 AE平面BCD.则如图，连结BE交CD于F，连结AF.ABAC，ABAD,AB平面ACD，而AF面ACD,ABAF.而RtABF中，AEBF, 在RtACD中，AFCD, 故猜想正确.返回目录 【评析】根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似

5、（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象. 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.返回目录 变式训练运用类比猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论

6、？用什么法证明？例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .变式训练2：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，

7、AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线 这是因为 （ ）证明:锐角三角形ABC中，A+B ,A -B.0 -BA .又在（0, ）内正弦函数是单调递增函数,sinAsin（ -B）=cosB.即sinAcosB. 同理，sinBcosC, sinCcosA. 由+得sinA+sinB+sinCcos

8、A+cosB+cosC.返回目录 【评析】（1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法. （2）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性.返回目录 返回目录 【证明】要证 只要证 a0,故只要证考点四 分析法证明 已知a0,求证:【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.返回目录 【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(

9、从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.分若a、b、c是不全相等得正数求证：lg lg lg lga+lgb+lgc 用反证法证明命题：若一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，假设假设至多有一个是偶数至多有两个是偶数下列假设中正确的是（）假设都是偶数都不是偶数假设 【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.考点六 反证法证明 若x,y都是正实数，且x+y2,求证： 或 中至少有一个成立.返回目录 【证明】假设 或 都不成立,则有 和 同时成立. 因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 两式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2. 这与已知条件x+y2矛盾. 因此 和 中至少有一个成立.返回目录 【评析】（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反