线性代数实践6章试点班

1、第二篇 线性代数实践第六章 第6章 行阶梯法解线性方程组6.1 MATLAB表示其中:等价于行号、列号和变量名可以看出，变量后圆括号中的第一个数是行号，第二个数是列号，不加下标的变量A自身代表一个矩阵。除了把下标放入圆括号中之外，MATLAB的表述与原来的算式是完全一致的，非常好记。不过在MATLAB中变量名和元素名是一致的，(6.3)中的矩阵A应该是a。但是为了使叙述文与一般的矩阵书籍相一致，我们还是把矩阵用大写字母表示，数组和元素则用小写字母，希望读者注意。欠定、适定和超定方程设m是独立方程的数目， n是未知数的数目，当nm时，未知数比方程数多，此方程组有无数个解，称为欠定方程；当nm时，

2、未知数比方程数少，此方程组无解，称为超定方程；只有当n=m时，未知数与方程数相等，因而有唯一的解x，称为适定方程。独立方程数m不能简单地看形式上的m，必须要剔除其中的虚假成分，所以要把系数矩阵简化为行阶梯形式，求它的秩r。 几种二元线性方程的解例6.1 求解下列四个线性方程组(a) (b)(c) (d)用图解法解例6.1(a,b,c)用ezplot(s1),hold on, ezplot(s2),命令可以解出结果如下图其中s1和s2分别为方程的字符串表达式用图解法解例6.1(d)用解析法解例6.1用代入法或消去法等中学方法求解；用矩阵求解的方法用MATLAB符号工具箱求解x1a,x2a=sol

3、ve(s1,s2)其结果当然是相同的：(a) 解为x1a=3,x2a=2(b) 解为x1b= ,x2b= , 表示无解(c) 解为x1c=2*x2-1,x2c=x2，表示有无数解(d) 解为x1d= ,x2d= , 表示无解求解三元线性方程组的例6.2 再由两式联立解得：x=1.4286 y=-1.8571 z=-5.4286用图解方法ezplplot3画此三个方程的平面，用的就是例5.3.3的程序，得到 ：按例6. 2画出的三个平面三元一次方程的几何意义这三个方程的几何意义为空间的三个平面，两两消去z，意味着求两者的交线，得到的两个二元一次方程对应于求得的两根交线，最后由交线得到交点，该交点

4、就是方程的解（见图6. 3）。当两个平面平行，没有交线，或者两根交线平行，没有交点时，方程组就不相容，因而无解；同样也可能有无穷个解的情况，读者可自行思考想象。6.2 初等行变换和高斯消元子程序执行以下三种行运算不会影响方程的相等关系，故不会影响方程组的解。矩阵C的行初等变换的MATLAB表示式为：(1)。行交换： c(i,j,:)=c(j,i,:) (2)。行乘数： c(i,:)=k*c(i,:) (3)。行相加： c(j,:) = c(j,:)+ k*c(i,:) 消元法的要点利用上述初等变换，在保持矩阵等价性和其它各行不变的前提下，把矩阵第j行中第q列的元素a(j,q)变换为零。做法：采

5、用第三种变换，并取k=-a(j,q)/a(i,q)。此时第j行的数组将成为:a(j,:) = a(j,:) + -a(j,q)/a(i,q)*a(i,:) （6.2.5）而其中的第q个元素的取值将成为：a(j,q) = a(j,q) + -a(j,q)/a(i,q)*a(i,q) = 0 其中的冒号：意味着要对全行的所有元素都做一次乘法和一次加法，相当繁琐。 消元子程序gauss.m。 function B=gauss(A,i,j,q)% A为输入矩阵，B为变换后的输出矩阵% i为基准行的行号% j为待变换行的行号% q为基准元列号，A(i,q)为基准元，A(j,q)为待消元%x = A(i,

6、:); y=A(j,:); % 取出A的第i,j两行命名为x,y，z = y - y(q)/x(q)*x; % 实现（6.2.5）式的运算A(j,:)=z; % 把结果赋值给A第j行，B=A; % 将A作为输出变元B6.3 行阶梯形式具有以下三个特点的矩阵称为行阶梯形式：1。所有非零行都处在全零行的上方；2。行领头非零(枢轴)元素的列号比它的上方所有各行的领头非零元素的列号都要大；3。各枢轴元素所处的列中，在枢轴元素下方的所有元素均为零。如果此矩阵还满足以下两个额外特点，4。各行枢轴元素是其列中的唯一非零元素；5。这些枢轴元素都等于1。则称之为简化行阶梯形式。 例6.3 行阶梯方程组的解法用逐

7、次回代法，可以由下而上依次求得x4=2, x3=2+x4/2=3, x2=-4-8x3=-28, x1=3x2-5x3+2x4=-39。 消元法生成行阶梯形式步骤1 把主对角线下方第一列元素消为零连续(n-1)次调用gause子程序来实现。即用a1=gause(a,1,2,1)a1=gause(a1,1,3,1).a1=gause(a1,1,n,1)步骤2 把主对角线下方第二列元素消为零a2=gause(a1,2,3,2)a2=gause(a2,2,4,2).步骤n-1消元法生成简化行阶梯形式与行阶梯形式反向进行步骤1 把主对角线上方第n列元素消为零a1=gause(a1,n,n-1,n).a

8、1=gause(a1,n,1,n)步骤2 把主对角线上方第n-1列元素消为零a1=gause(a1,n-1,n-2,n-1).把各行均除以主对角元素之值例6.4 用行阶梯求方程组的解逐步消元得到行阶梯形式：简化行阶梯形式例再变为简化行阶梯形式它对应的方程为：也就是得出了方程的解。6.4 MATLAB的行阶梯解 上节所介绍的方法比起一个一个元素地计算，效率是高多了。但仍然很麻烦，头脑中要记各个步骤中的很多细节，而实际上这些步骤仍然是刻板而有规律的，容易机械化。MATLAB已经把简化行阶梯形式(reduced row echelon form)的计算过程集成为一个子程序rref.它的输入变元是线性

9、方程组的增广矩阵，键入U0=rref(A,B),输出的结果就是增广矩阵C的精简行阶梯形式。上例的计算程序可以简化为：A=1,4,7;8,5,2,;3,6,-2; B=1;3;5; C=A,B; U0=rref(C) 例6.7 高阶方程更高阶的情况举例6.6ag606 输入矩阵A,B后，键入U0=rref(A,B) ,可得可见只要方程是适定的，用rref函数就能解出方程。6.5 用rref求解欠定方程组当mn时，方程数小于未知数数，属于欠定方程，方程将有无数解，需要找出其解的一般形式。即使m=n，也有可能是假象。用行阶梯形式就可以分清真假。欠定方程的行阶梯形式如下 欠定方程的行阶梯形式系数矩阵的

10、下方出现全零行，原来的 m行中只有r行有效，即系数矩阵成为rn阶的。 原来的m个方程中有(m-r)个是相依的。部分行的最左端元素（称为枢轴元素）处于主对角线的右方，枢轴行和枢轴列都是r个。等式右端的常数列应该也只有r个非零元素。非枢轴列的变量为自由变量，任设它们为零，则剩下的矩阵成为rr阶的适定方程，可解出r个枢轴变量作为一组特解(ag607)。其下标ip由rref函数的第2输出变元给出U0,ip=rref(A)用rref函数求欠定方程的通解把rref函数生成的系数矩阵恢复为方程，并将自由变量移至等式右端，求出枢轴变量的解，解中应包含括自由变量。在解的变量列中补上非枢轴变量的恒等式x(is)=

11、x(is),其中is是非枢轴变量的列号。将左端解写成列向量形式，其右端整理成常数列向量加各自由变量乘以常数列向量的形式。也可以用程序ag607a来实现，但不提倡。例6.7 求线性方程组的解用ag607输入方程系数A和b，然后键入B=A,b, UB,ip=rref(B);U0=UB(1:5,1:5), d=UB(:,6) ag607运行的结果恢复为方程形式，移项求解ip=1,2,4 例6.7解的最后形式可以把x3和x5写成任意常数c1和c2，使其意义更加明确。自动求欠定方程解的程序ag607asyms c1 c2 c3 c4 c5 m,nsize(A);isother(ip,n),cc1;c2;

12、c3;c4;c5x(is,1) c(1:length(is)lplength(ip)x(ip,1)-U0(1:lp,ip1:n)*x(ip1:n)U0(1:lp,end)6.6.1 平板稳态温度的计算 整理为程序ag661及运行结果A=1,-0.25,-0.25,0;-0.25,1,0,-0.25;-0.25,0,1,-0.25;0,-0.25, -0.25,1b=7.5;15;10;17.5U=rref(A,b)6.6.2 化学方程的配平确定x1,x2,x3,x4，使两边原子数相等称为配平，方程为写成矩阵方程程序ag662及运行结果A=3,0,-1,0;8,0,0,-2;0,2,-2,-1U

13、0=rref(A)如先键入format rat，再运行此程序，得整数比6.6.3 电阻电路的计算 设定三个回路电流ia,ib,ic，回路压降的方程为：程序ag663及运行结果A=18,-12,0; -12,28,-12; 0,-12,18; b=10;0;0; U=rref(A,b)右端即为三个电流ia,ib,ic的解。好的编程(用变量,集中赋值)R1=2;R2=4;R3=12;R4=4;R5=12;R6=4;R7=2;us=10;A(1,:)=R1+R2+R3,-R3,0;A(2,:)=-R3,R3+R4+R5,-R5;A(3,:)=0,-R5,R5+R6+R7;b=us;0;0;U=rref(A,b),I=U(:,4)6.6.4 交通流的分析 节点A: x1+450 x2+610节点B: x2+520 x3+480节点C: x3+390 x4+600节点D: x4+640 x2+310矩阵方程为：程序ag664及运行结果A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1b=160;-40;210;-330U0=rref(A,b)