组合投资选择模型概述

1、组合投资选择模模型 金融微微观分析面临临着许多的不不确定性，对对于不确定性性通常有三种种研究方法：效用分析法；22、均值分析析法；3、无套利分分析法。第一节 组合投投资选择模型型一 、 证券组组合的收益与与风险组合投资理论基基本假设：已知投资收益率率的概率分布布风险用方差或标标准差度量影响投资结果的的因素仅有均均值、方差投资者为不满足足和风险厌恶恶型二、组合的收益益和风险 (多(N) 种资产产)投资组合：将全全部投入资金金按某种比例例分散投资于于两种或两种种以上证券而而构成的一个个组合。记：p=(x1,xN)T，设第I种证券的收收益为ri，其中Xi为投资于I证券的资金金比例，则。ri的标准差为

2、为，ri与rj的协方差为为，相关系数数为投资组合: 收益率率：期望收益率：方差：标准差：为的的协方差矩阵阵第二节 二次效效用函数与投投资证券收益益率关于二次效用函函数与投资证证券收益率服服从正态分布布的讨论。设投资者的期初初财富为w，个体通过过投资各种金金融资产来最最大化它的期期末财富、 带来的期望望效用。设个体的NMM效用函数为为u,对u在E（w）作Tayllor展开，=U(E(w)+ ( E(w) +( E(w)+R其中R=在假设U有很光光滑的条件之之下，可得EE()=U(E()（光滑的含义：存在N阶导、展开开的级数收敛敛、积分与求求导可交换）E()=U(EE()+U(E()（）+E(R)

3、（1）其中E(R)= )（2） 其中m表表示的n阶中心矩定理：1，如如果是二次函函数则，=aa+b+c，2，对任意NM效用函数U，如果期末末的财富服从从正态分布，则则期望效用仅仅是财富的期期望与方差的的函数。E() 证明：如果1成成立,则期望效用用E()= a + b EE() + c E()=a + b E() + c（）+ E()如果2成立，则则当期末财富富服从正态分分布时，则 E( E(ww)= 0 j为奇数 （） j为偶数可见定理成立期望效用最大化化在定理1的假设下，归归结为选择均均值与标准差差的最优组合合来实现。下面来证明在均均值、标准差差平面上，无无差异曲线是是凸的单调递递增的。

4、为此，由收收益率的定义义r= (11期收益率)知：N() rN()因此，资产（财财富）的收益益率服从均值值为，标准差差为的正态分分布。定理：当资产产收益率rN()时，则无差差异曲线是向向下凸的，风风险厌恶者的的期望收益与与风险之间的的边际替代率率是正的。证明：略第三节 关于组组合投资的有有效边界的讨讨论及性质定义：如果一个个证券组合在在所有的均值值收益率的证证券组合中是是具有最小的的方差值，那那幺这个组合合就是有效的的证券组合。Markowiitz模型： Minn s.t 构造Lagraange函数数：解得： 令 A=，B=，C=，D=。 继而得到： （） 最小方差集合性性质性质一 f, f+

5、h 是是0，1均值的两个个投资组合。在式中，取EE（R）=0 X=f ,取E（R）=1 X=f+h性质二 前沿面面上的所有证证券都是f 和f+h 的组组合。证明：做f和ff+h的组合合qE(r)）*ff+ E(rr)*（f+h）=f + h* E(r)=X性质三 证明：讨论证券券x与q的协方差Cov(r,rr)=E(rr- E(rr)( rr-E(r) =( E(r)-)( EE(r)-) + 特别的当x=qq,有：= + ( EE(rx)-) （抛物线） =1 （双双曲线）E(r) 当E(r)=时时，则有一全全局最小方差差的投资组合合性质四 有效证证券组合是一一个凸集。证明：假设证券券组合X

6、1, X2, XN 是n个有效的证证券组合 于是对对任意实数aa 0, =11 由性质2 , 是一个证券券组合且， = 因此它是有效的的。 性质五 对于除除mvp 外，任任一个有效证证券组合X，必有唯一一一个最小方方差集合上的的证券组合ZZC(X)，使使得。推论一 ZC(ZC(X)=X。推论二 对所有有的证券组合合X，。推论三，如果XX是有效组合合，则E(rr ZC(xx) , 否则ZC(XX)是无效的的证券组合。E(r) 证明：考察两个个有效的证券券组合的协方方差Cov(r,rr ZC(pp)=XVV X ZCC(p) =( E(r)-)( EE(r ZCC(p)-) + 令Cov(r,r

7、ZC(p)=00 解得：E(r ZZC(p)= 性质六 任意证证券Y的收益率均均值，均可表表示为任一个个最小方差集集合上证券组组合X(除mvp外)，与其对应应的ZC(XX)的收益率率均值的组合合：。投资组合降低风风险特例说明明：平均值为，平均均值为，取单个证券的风险险（方差） 称为不可化解解风险或市场场风险或系统统风险。称为可化解风险险或特有风险险或非系统风风险。证明性质六。设q是任意证券券组合，p是有效的证证券组合（pp+mvp）则Cov(rqq,rp) = XqVVXp =XXqV(Ve + V1)=Xqe + Xq1=E rp + 将、带入，整理理得到E rq = + Coov(rq,r

8、p) = * + + *=E r ZCC(p) +pq(Errp + )= E r ZZC(p) +pq(EErp E r ZC(p)=（1pq）E r ZZC(p) + pq Erp第四节、组合投投资理论存在n个风险资资产，构造投投资组合Xpp=(x1,xN),使得满足足：Min s.t Xee = Errp 此时，对任意一一个证券组合合q，有Erq =（11qp）*Erp + qp* E r zc(p)下面讨论当存在在无风险资产产时的证券组组合的有效集集合。设有n+1个证证券，n个风险资产产，一个无风风险资产，且且无风险资产产的收益率记记为r，设P是由n+1个证券券组成的证券券组合，且是是有效的，它它在有效集合合上。Xp就是由n个风险证券券构成的证券券组合的权重重，则Xp是下述问问题的解。由largannge乘数法法，可知Xpp满足关系式式由（1）Xp = =由此可解出Xp = VV = V 其中H= =BB2Ar+C r0考虑组合P的方方差 = （rp）= = -情形1：rf , 有效集集合LE(r) rff 卖空点 LL 情形3：rf = ，有效集合合为L、L (渐近近线，不相切切)E(r) L rff LL 考虑证券组合，使使其满足Maax s.t: XX 1 = 1 Max 可以求出其一阶阶条件：=V