一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用

1、-. z.一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用周红卫(万里国际学校 315040)带电粒子在磁场(或复合场)中的运动是高考的常考题型，在各省市的高考中都处于主角的位置。在诸多的带电粒子在磁场中的运动问题中，有一类平行运动的等速粒子的平面磁聚焦问题很受青睐，在竞赛中也得到了表达。现对此进展一个举例分析。Y*0V图1A5Y*0V图1A5A4A3A2A1一 突出对粒子运动径迹的考察例1 (09年卷)如图2，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：图

2、31次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；图32此匀强磁场区域的最小面积。AABACBADCBA图2解析1设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力大小为，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为，按照牛顿定律有 联立两式得2由1中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边

3、界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为不妨设的情形。该电子的运动轨迹如图3所示。图中，圆弧AP的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由知，圆弧AP的半径仍为，在以A为原点、AB为*轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为消去参数得这意味着，在围，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界限，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为点评这是一个典型的利用磁场进展平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径

4、迹。从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考察了学生对于带电粒子在磁场中运动的综合分析能力，这类题目也是几乎所有高考题目的选择对象。但对于平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题有过深入分析和研究，对带电粒子的运动做过分类研究的学生而言，他们就属于“有备而来，遇到类似题目会有“游刃有余，一切尽在掌控中的自信和豪情。二 突出对粒子运动“会聚点的考察例2 09年卷如图4所示，*轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在*Oy平面有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆还有与*Oy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿*轴正方向发射出一束具有一样质量m、电荷量qq0和初速度v

5、的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0y2R的区间。重力加速度大小为g。y*y*图42请指出这束带电微粒与*轴相交的区域，并说明理由。3略.解析此题考察带电粒子在复合场中的运动。P*yoRQPoy*O图6*Cy*vCy*ovCy*P*yoRQPoy*O图6*Cy*vCy*ovCy*y图5得，方向垂直于纸面向外。2这束带电微粒都通过坐标原点。方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图6所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点。方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运

6、动。如图b示，过P点与O点的连线与y轴的夹角为，其圆心Q的坐标为-Rsin，Rcos,圆周运动轨迹方程为得*=0，y=0；或*=-Rsin，y=R(1+cos)点评对于2的答复，很多学生当时觉得不好处理，最后经过一番思考和推理才形成了以上结果。需知道考场上的时间是多么珍贵，长期对一个也许并不明白的的问题进展思考时，所带来的情绪影响更大。其实这里是不需要说明理由的，则如果我们已经知道了空间一束平行带电粒子经过和自己轨道半径等大的圆形磁场区域后会聚焦在一个点，则由1就马上可以知道，这些带电粒子最后全部会聚于原点，下来的解答只是按照几何原理进展结果的描述的一个数学“技术工作了。三 突出对磁场自身设定

7、的开放性考察图7例3(28届全国物理竞赛预赛卷)图7中坐标原点O (0, 0处有一带电粒子源，向y0一侧沿O*y平面的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v，质量均为m，电荷量均为q有人设计了一方向垂直于O*y平面，磁感应强度的大小为 B 的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿*轴正方向运动试求出此边界限的方程，并画出此边界限的示意图图7图8解析：根据以上的磁聚焦模型研究，很快构造出可能存在的第一种运动模型：磁场方向垂直于*y面向外，磁场的区域半径和带电粒子的轨道半径大小一样，则磁场的边界限为如图8示的半圆，此种情况以上的研究已经很明确了，磁场区域的边界限的

8、方程为图8*2+(yR)2=R2 1 )或 2要求带电粒子水平射出，所以只对右边界做出约束即可，因为磁场的上、左、下侧对问题的解决没有任何影响，所以不用考虑起边界问题。如果磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直*y平面向里，且无边界考察从粒子源发出的速率为v、方向与*轴夹角为的粒子，在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，假设圆轨道的半径为R，有 1得 (2) 圆轨道的圆心O在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图9所示通过圆心O作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿*轴正方向，故P点就在磁场区域的边界上对于不

9、同人射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界限P点的坐标为图9*Rsin (3 ) 图9y一R + Rcos (4) 这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数，得图10*2 +(y+R)2=R2 (5)图10由2、5式得 (6)这是半径为R圆心 O的坐标为0，一R ) 的圆，作为题所要求的磁场区域的边界限，应是如图10所示的半个圆周，故磁场区域的边界限的方程为 (7)点评作为竞赛题，从知识的熟练运用和综合能力的考察上来说，要求要高于一般的高考题目。要能够顺利解出此题，首先要确定的是粒子的运动轨迹，而粒子的轨迹所在区域必须有偏转磁场的存在。题目中粒子发出于同一点

10、原点，要求出磁场时和轴平行，很好的符合了以上的平面磁聚焦模型，第一时间第一反响马上会构造出以上解答中的第一中情况。作为一个竞赛题目，在磁场方向不确定的情况下，需要细心、严密、周全，经过磁场的反向研究很容易顺藤摸瓜找到第二种情况。2522分如下列图，在坐标系*Oy所在平面有一半径为a的圆形区域，圆心坐标O1a , 0，圆分布有垂直*Oy平面的匀强磁场。在坐标原点O处有一个放射源，放射源开口的角为90，*轴为它的角平分线。带电粒子可以从放射源开口处在纸面朝各个方向射出，其速率v、质量m、电荷量+q均一样。其中沿*轴正方向射出的粒子恰好从O1点的正上方的P点射出。不计带电粒子的重力，且不计带电粒子间

11、的相互作用。1求圆形区域磁感应强度的大小和方向；2a判断沿什么方向射入磁场的带电粒子运动的时间最长，并求最长时间；aBPb假设在yaaBP2522分解答：1设圆形磁场区域的磁感应强度为B，带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力提供向心力：其中R=a则：由左手定则判断磁场方向垂直于*Oy平面向里 6分2沿与*轴45向下射出的带电粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图，根据几何关系粒子离开磁场时速度方向沿y轴正方向，OO3Q=135。设该带电粒子在磁场中运动的时间为t，根据圆周运动周期公式得： 所以： 8分3设*带电粒子从放射源射出，速度方向与*轴的夹角为，做速度v的垂线，截取OO4=a，以O4为圆心a为半

12、径做圆交磁场边界于M点。由于圆形磁场的半径与带电粒子在磁场中运动的半径均为a，故OO1MO4构成一个菱形，所以O4M与*轴平行，因此从放射源中射出的所有带电粒子均沿y轴正方向射出。带电粒子在匀强电场中做匀减速直线运动，返回磁场时的速度与离开磁场时的速度大小相等方向相反，再进入磁场做圆周运动，圆心为O5，OO4O5N构成一平行四边形，所以粒子在磁场中两次转过的圆心角之和为180，第二次离开磁场时都经过N点。故收集器应放在N点，N点坐标为2a，0。 62522分如下列图，直角坐标系的y轴左方为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B；垂直*轴竖直放置一个足够大接收屏PQ，它离原点距离为og=L

13、/2；直角坐标系的第一象限和第四象限的abco、ocdf均是边长为L的正方形，各有一垂直纸面方向的半径为L的1/4圆形匀强磁场区域, 磁感应强度的大小均为B。bd为一线状发射装置，射出一束质量为m、电荷量为e的电子，以一样的初速度沿纸面垂直于bd边射入两个正方形区域，电子从bd边上的任意点入射，都只能从原点o射出进入y轴左方磁场。不考虑电子之间的相互作用，不计重力求1第一象限和第四象限中匀强磁场区域的磁感应强度的方向2电子沿纸面垂直于bd边射入初速度大小3电子打到接收屏PQ上的围4打在接收屏上的电子在磁场中运动的最长时间t2522分1从bd进入的电子都从o点射出，考虑电子带负电，根据左手定则判

14、断，第一象限的磁场方向为垂直纸面向外2分，第四象限的磁场方向为垂直纸面向2分2考虑从b点射入的电子从o点射出，轨迹如图红线所示，其圆周运动的半径R=L(1分)3所有进入圆形区域的粒子经磁场偏转后，都从原点o射出，进入y轴左方磁场，且在磁场中都做匀速圆周运动，半径仍为L，其中从o点沿-y方向进入磁场的电子打在屏上最低点h，圆心为2分，由图可知：而从o点沿*方向进入的电子，其圆轨迹在i点恰与圆相切，该i点为屏最高位置，如图蓝线所示，圆心为，交y轴为j点。2分接收屏被电子打中围从位置到位置。4在所有到达屏上的电子中，只有从b点射入的电子在磁场中运动时间最长，它在圆形区域的运动时间它在y轴左侧区域运动时间为2522分如图甲所示，直角坐标系中直线AB与横轴*夹角BAO=30，AO长为a。假设在点A处有一放射源可沿BAO所夹围的各个方向放射出质量为m、速度大小均为v、带电量为e的电子，电子重力忽略不计。在三角形ABO有垂直纸面向里的匀强磁场，当电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，电子恰好从O点射出。试求：从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间t；磁