空间向量与立体几何§立体几何中向量方法

1、 /133.2立体几何中的向量方法-典例剖析知识点一用向量方法判定线面位置关系例1设a、b分别是1、12的方向向量，判断12的位置关系：a=(2,3,1),b=(6,9,3).a=(5,0,2),b=(0,4,0).设u、v分别是平面a、卩的法向量，判断a、卩的位置关系：u=(1,1,2),v=(3,2,-2).u=(0,3,0),v=(0,5,0).设u是平面a的法向量，a是直线1的方向向量，判断直线1与a的位置关系.u=(2,2,1),a=(3,4,2).u=(0,2,3),a=(0,&12).解Va=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),1a二-b,ab、：、J312Ta二(5,0,

2、2),b=(0,4,0),:.ab=0,:.a丄b,：1丄21u二(1,-1,2),v二(3,2,-亍，:“v=3-2-1=0,:u丄v,：a丄卩.3二(0,3,0),v=(0,-5,0),：u=-v,：uv，:a卩.u二(2,2，-1),a=(-3,4,2),:ua二-6+8-2二0,:.u丄a,:a或a.u二(0,2,-3),a二(0,-8,12),1:u二-4a,:.ua,:.丄a.知识点二利用向量方法证明平行问题中，M、N分别是CC、B1C的中点.求证：MN平面ABD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1

3、,则可求得11M(0,1,2)，N(2丄1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN=(2,0,2)，设平面ABD的法向量是n=(x，y，z).n=(x,y,z).x+z0,则nDB=0,得sx+y=0,取x=1，得y=1,z=1.=(1,1,1).1又MN“=(2,o,2(1，1，1)=0，方法二MN=CN-C1M=2C皆2qc(DA-D宀2DA_一MNDA1,又MN平面ABD.MN平面A1BD.知识点三利用向量方法证明垂直问题例3在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是APAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE:EC=PF:FB=1:2.求证：平面

4、GEF丄平面PBC；求证：EG是PG与BC的公垂线段.证明(1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令PA=PB=PC=3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0).于是PA=(3,0,0),FG=(3,0,0),故PA=3FG,.PAFG而PA丄平面PBC,:.FG丄平面PBC,又FG平面EFG,平面EFG丄平面PBC.方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)EF=(0,-1,-1),EG

5、=(0,-1,-1),设平面EFG的法向量是n二(x,y,z),则有n丄EF,nPA,y+z二0,x-yz二0,1,x=0,即n=(0,11)而显然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.这样nPA=0,.n丄PA即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，平面EFG丄平面PBC.(2)丁EG=(1,-1,一1),PG=(1,1,0),BC=(0,3,3),EGPG=11=0,EGBC=33=0,.EG丄PG,EG丄BC,.EG是PG与BC的公垂线段二知识点四利用向量方法求角四棱锥PABCD中，PD丄平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60,在四边形ABCD中，ZD=ZDAB

6、=90,AB=4,CD=1,AD=2.建立适当的坐标系，并写出点B,P的坐标；求异面直线PA与BC所成角的余弦值.解(1)如图所示，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz,VZD二ZDAB=90,AB=4,CD=1,AD=2,A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0)由PD丄面ABCD得ZPAD为PA与平面ABCD所成的角.ZPAD二60.在RtAPAD中，由AD=2,得PD二2空3.卩(0,0,2、打).(2)vPA二(2,0,2空3),BC=(2,3,0)cosPA,BC=沁=屈PABC1313PA与BC所成角的余弦值为百.例、

7、正方体ABEFDCE，F中，M、N分别为AC、BF的中点（如图所示），求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值.解取MN的中点G,连结BG,设正方体棱长为1.方法一AMN,BMN为等腰三角形，AG丄MN,BG丄MN./.ZAGB为二面角的平面角或其补角.6.ag=bg=,4=e,AB=AG+GB,，设AG,GBAB2=AG2+2AGGB+GB2,66661二（）2+2XX丁0+（丁）2.COS0=3,故所求二面角的余弦值为3.方法二以B为坐标原点,BA,BE,BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz1111则m（2，0，2），n（2，2，o），TOC o 1-5 h z

8、 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 十111中点g（2，4，4），A（1,0,0），B（0,0,0），由方法一知ZAGB为二面角的平面角或其补角.111111GA=（-）GB=（-） HYPERLINK l bookmark46 o Current Document （2，4，4），（2，4，4） 13cosGA,GB=GAGBGAGB故所求二面角的余弦值为3二方法三建立如方法二的坐标系，am-n=o,AN-n1=0,11n一一x+z=0,22口取叫=(1,1,1)-x+y=0,22丿同理可求得平面BMN的法向量n2=(1,-1,-1).COS

9、“,n25兀2nn2一11故所求二面角的余弦值为3知识点五用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC丄平面ABCD,且GC=2，求点B到平面EFG的距离.解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)BE=(0,2,0),BF=(-2,4,0),设向量BM丄平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x,y,z，使BM=xBE+yBF+zBG,即BM宜(0,2

10、,0)+y(2,4,0)+z(-4,0,2)=(2y4z,2x+4y,2z).由BM丄平面GEF，得BM丄GE,BM丄EF, /13于是BMGE=0,BMEF=0,即J(-2y4x，2x+4y,2乙)-(4,2,2)=0,即J(-2y4z,2x+4y2z*2,2,0)=0,15x=,117Jy=-,113z=,11226、TTTTTT丿x-5z=0,即L+3y+2z+0,解得x+y+z=1,.BM=(-2y-4z,2x+4y,2z)二226()2+()2+()2=111111112石即点B到平面GEF的距离为厂.考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，

11、OA丄底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.求异面直线AB与MD所成角的大小；求点B到平面OCD的距离.解作AP丄CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y角坐标系.兀ZABC=4z轴建立平面直A(0,0,0),B(1,0,0),22P(0，亍，0)，D(丁,O(0,0,2),M(0,0,1)(1)设AB与MD所成角为0,TAB=(1,0,0),2迈MD=(计七，-1)，0)，cose=AB-MDAG-MD兀r_兀AB与MD所成角的大小为一.3(2)TOP=(0，-2)，设平面OCD的法向量为n=(x,y,z)，则nOP=0，nOD=0.M220卡y-2z=0,OD=(-逼耳，

12、-2),|-Try-2z=0,取z/2，解得n=(0,4,迈).设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n上的投影的绝对值.OB-nOB-(1,0,-2),:.d=2点B到平面OCD的距离为3,1.已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(A3込3B(丁，-丁，丁)C333T，T，丁)答案DAB=(_1,1,0)，是平面OAC的一个法向量.AC=(_1,0,1)，BC=(0，_1,1)设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark54 o Current Document -

13、x+y=0,_,-x+z=0,令x=1，则y=1，z=1n=(1,1,1)_-单位法向量为：士+=(,) HYPERLINK l bookmark115 o Current Document n3332.已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A勺中心，则EF和CD所成的角是()A60B45C30D90答案B3设1的方向向量a=(1,2，_2)，12的方向向量b=(_2,3，m)，若1】丄l2，则m=()11212A.1B.2C.乂D.32答案B解析因1丄12，所以ab=0,贝I有1X(-2)+2X3+(-2)Xm=0,2m=6-2=4，即m=2.4若两

14、个不同平面a，p的法向量分别为“=(1,2，_1)，e=(_3，_6,3)，贝9()A.apB.a丄pC.a，p相交但不垂直D.以上均不正确答案A解析因v=-3u,Av#u.故ap.5.已知a、b是异面直线，A、Bea，C、Deb，AC丄b，BD丄b，且AB=2，CD=1,则a与b所成的角是()A.30B.45C.60D.90答案C解析设AB，CD)=0，ABCD=(AC+CD+DBCD=|CD|2=1，AB-CDCOS0=ABCD=60。1=2，所以02*6.若异面直线11、12的方向向量分别是a=(0，_2，_1)，b=(2,0,4)，则异面直线l】与l2的夹角的余弦值等于(2/5A.-5

15、B.5C_D.2厉答案B解析设异面直线11与12的夹角为O,a-b|(-1)x4|则cosO=a|b+162x57.已知向量n=(6,3,4)和直线1垂直，点A(2,0,2)在直线1上，则点P(4,0,2)到直线1的距离为答案旦，61解析PA=(6，0,PA-n0),因为点A在直线1上，n与1垂直，所以点P到直线1的距离为62+32+4261618.平面a的法向量为(1,0,1)，平面卩的法向量为(0,1,1)，则平面a与平面卩所成二面角的大小为冗2兀答案?或丁，解析设“1二(1,0,-1),n2=(0,-1,1)1x0+0 x(-1)+(-1)x1_1则COSn1，n2=22_-22兀_0)

16、,由已知DH,DA=60由DA-DH=|DA|DH|cosDHDA可得2m=2m21解得m斗，所以DH二(寻，孚1),(1)因为cosDH,CC=琴XX0+叹1=返-212所以DH,CC=45即DP与CC所成的角为45平面AADD的一个法向量是DC=(0,1,0).2x0+2x0+1x1因为cosDH,DC=221xQ2所以DH,DC=60,可得DP_与平面AADD所成的角为3012.如图，四边形ABCD是菱形，PAL平面ABCD,PA=AD=2,zBAD=60.平面PBD丄平面PAC,求点A到平面PBD的距离;(2)求异面直线AB与PC的距离.(1)解以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、B

17、D所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3,0,0),B(0,1,0),C(-3,O,O),D(0,-1,0),P(3,0,2).设平面PBD的一个法向量为n1=(1,y1,z1).由叫丄0B，叫丄0P，可得n1=(1,0,-.(1)OA=(,0,0),点A到平面PBD的距离，OA-n上1713.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以zABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D为A的中点，在线段AA、上是否存在点F,使CF丄平面B1DF?若存在，求出IAF|;若不存在，请说明理由.解以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F

18、,使CF丄平面BDF,并设AF=入AA=A(0,0,3a)=(0,0,3入a)(0入1),D为AC的中点，0),B1F二B1B+BA+AF=(0,0,-3a)+(j2a,0,0)+(0,0,3九a)CF丄平面B1DF,CF丄B1D,CF丄B1F,CF-B1D二0,*CF-BF二0,1九ax0=0,即2,9九29九+2=0,21解得九二3或3存在点F使CF丄面B1DF，且当入=q时，IAFI=3,IAA11=a22当入=,IAFI=,IAA丨=2a.下底边长分别为2和6,高为eqr(3)14.如图所示，已知四边形ABCD是上、的等腰梯形证明：AC丄BO1；求二面角OACO1的余弦值.(1)证明由题设知OA丄OO,OB丄OO.所以ZAOB是所折成的直二面角的平面角,即OA丄OB.故以O为原点，OA、OB、OO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建