线性空间试题

1、空间一判断题平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：k a=a,k e R,作成实数域 TOC o 1-5 h z R上 的向 量 空间.().。平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：k a= 0,k e R,作成实数域R上的向量空间.。(). 一个过原点的平面上所有向量的集合是七的子空间.(). 所有乃阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间Mn (R)的子空间. ().().(5) (x ,x , ,x )1 Y x = 1,x e R为Rn 的子空间.().12 ni ii=1().(6)所有.n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间Mn (R)的子空间. ().().(x ,0, ,0, x

2、 )1 x ,x e R为Rn 的子空间. 1n 1 n(8)若a ,a ,a ,a是数域F上的4维向量空间v的一组基，那么a ,a ,a +a ,a +a1234122334是 v的一组基().(9) n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基.( )(10)设a1,a2, ,a是向量空间V中n个向量，且V中每一个向量都可由aa2, ,a线性表示， 则a1, a2,，气是 V的一组基 (). (11)设a ,a , ,a是向量空间v的一个基，如果p, P ,p 与 a , a,a等价,12n12n12n则P , P , P 也是V的一. 个.基.12n( )(12)x 3关于基

3、X3, X3 + X, X2 + 1, x + 1的坐标为(1,1,0,0)().(13)设V1V2, ,V为n维空间V(12)x 3关于基X3, X3 + X, X2 + 1, x + 1的坐标为(1,1,0,0)().(13)设V1V2, ,V为n维空间V的子空间，且V = V +匕+ + V若dim V + dim V + + dim V = n ().+V 为 直 和(14)设匕,V, ,V为n维空间V的子空间，且V =匕+ V +匕 V = 0,( V + V ) V = 0, 和P12,(匕 + V + + 匕)V= 0, n).(15)设匕,V,V 为维空间V的子空间，V(Zin

4、用 ().V ) = 0,j -V1 + V2 + V(16E V1,V2, ,V维空间V的子空间，且 V = V1 + V2 +(17)设 V1V,匕为n维空间V的子空间,且V = V + V2 +零向量表法是).(18)，气是向量空间V的一个基， /是V到W的一个同构映射，则w的).(19)设V是数域F上的n维向量空间，若向量空间V与W同构,那么W也是数域F).(20)把同构的子空间算作一类，n维向量空间的子空间能分成n类.).答案(1)错误(2 )错误 正确 错误(5)错误(6)正确 正确(8)正正确正确(19)正确(20)错误二填空题全体实对称矩阵，对矩阵的作成实数域R上的向量空间.全

5、体正实数的集合R +，对加法和纯量乘法ab = ab, k a =贝,构成R上的向量 空间.则此空间的零向量为_全体正实数的集合R+,对加法和纯量乘法ab = ab, ka = ak,构成R上的向量 空间则a e R +的负向量为.全体实二元数组对于如下定义的运算：(a, b)(c, d) = (a + c, b + d + ac),k (k - 1) Xk (a, b) = (ka, kb + %a2),构成实数域R上的向量空间.则此空间的零向量为_.O全体实二元数组对于如下定义的运算：(a, b)(c, d) = (a + c, b + d + ac),k (k - 1) Xk (a, b

6、) = (ka, kb + 2a2), TOC o 1-5 h z 构成实数域R上的向量空间.则(a,b)的负向量为.数域F上一切次数 n的多项式添加零多项式构成的向量空间F x 维数等于 任一个有限维的向量空间的基的，但任两个基所含向量个数是,复数域C作为实数域R上的向量空间，维数等于,它的一个基为.复数域C看成它本身上的向量空间，维数等于,它的一个基为.(10)实数域R上的全体n阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间, 它的维数等于.向量E = (0,0,0,1)关于基 = (1,1,0,1),a2 = (2,1,3,1),a3 = (1,1,0,0)a = (0,1,T,1)

7、的坐标为.4x2 + 2x + 3 关于 F x的一个基 x3, x3 + x, x2 +1,工 +1 的坐标为.3三维向量空间的基a1 = (1,1,0),气=(1,0,1),则向量P = (2,0,0)在此基下的坐标为.(14) V和W是数域F上的两个向量空间，V到W的映射f满足条件,就叫做一个同构映射.(15)数域F上任一n维向量空间V都与向量空间 同构.(16)设V的子空间七W, W,有W W =直和.nW W3 n=W W = 0, n则 W + W2+ W答案(1)加法和数量乘法1 1 (4) (0,0)(5) (a, a2 b)(6) n +1 (7)不唯一，相等(8) 2;1,

8、Z(9) 1；1(10)n(n +1)2(11) (1,0,1,0)(12) (0,0,1,2)(13)(1,11) (14) f 是 V 到 W 的双射；对任意 a, Pe V, f (a +。) = f (a) + f (P);对任意 a e F,ae V, f (aa) = af (a) (15) Fn (16)不一定是三简答题设V = M (R).问下列集合是否为V的子空间，为什么n所有行列式等于零的实n阶矩阵的集合W ;1所有可逆的实n阶矩阵的集合W ;2设L(R)是实数域R上所有实函数的集合，对任意f, g e L(R),人e R,定义(f + g)(x) = f (x) + g(

9、x),(人 f)(x)=人 f (x), x e R对于上述运算L(R)构成实数域R上向量空间下列子集是否是L(R)的子空间为什么所有连续函数的集合吗;所有奇函数的集合W ;3)吗=f I / e L(R f(0) = f;(3)下列集合是否为Rn的子空间为什么其中R为实数域.1)2),x ) I x + x + + x = 0, x e R;1)2)n12ni,x ) I xx x = 0,x e R;3),xn )13),xn )1每个分量x是整数;(4)设4 X, b分别为数域F上m x n, n x 1,m x 1矩阵，问AX = b的所有解向量是F上的向量空间吗说明理由.(5)下列子

10、空间的维数是几L(2, -3,1),(1,4,2),(5,-2,4) q R3 ;L(x -1,1 - x2, x2 一 x) q F x实数域R上m x n矩阵所成的向量空间M (R)的维数等于多少 写出它的一个 基实数域R上，全体n阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少若a1, a 2,，气是数域F上n维向量空间V的一个基，a. +a2,a2 +a3,a 1 +a ,a +a.也是V 的一个基吗 x 1,x + 2,(x 一1)(x + 2)是向量空间F2x的一个基吗 取R4的两个向量a1 = (1,0,1,0)巳=(1,1,2,0).求R4的一个含气巳 的基.在 R 冲求基a1 = (1,

11、0,1),气=(1,1,一1),气=(1,1,1)到基P1 = (3,0,1), P2 = (2,0,0), P3 = (0,2, 2)的过渡矩阵.在中 F4 求向量& = (1,2,1,1)关于基a1 = (1,1,1,1)a2 = (1,1,一1,一1)。3 = (1,-1,1,一1) a 4 = (1,1,1,1)的坐标.(13)设吗表示几何空间匕中过原点之某平面n1的全体向量所构成的子空间，吗为过原点之某平面n2上的全体向量所构成的子空间，则W 吗与w+ W2是什么w+ Wn能不能是直和(14)设 W = L (a,a , a ), W = L (P , P ),求 WW 和 W +

12、W .其中11232121212ai = (1,2,1,2),a2 = (3,1,1,1)气=(1,0,1,1) P = (2,5,6,5), P2 = (1,2,7,3).(15)证明数域F上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等(a b 设V = I a, b, e R, W = (d, e) d, e g R,都是实数域R的向量空间.问VIb c )与W是否同构说明理由.设a ,a , ,a为向量空间的一个基，令P =a +a + +a ,i = 1,2, ,n且12ni 12iW = L(P .).证明 V =.吗W 答案 W不是V的子空间.若A,B g W,I A + B

13、 I若未必等于零，W对加法不封闭W2不是V的子空间.因为A g W3,I A左0,则IAIW0,但I A + (A) I= 0,对加法不 封闭(2)W是L(R)的子空间.因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数1W是L(R)的子空间.因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数2W3是L(R)的子空间.因为W3非空，且对任意f, g g吧,人g R,有(f + g )(0) = f (0) + g (0) = f (1) + g (1) = (f + g )(1)；人 f (0)=从 f (0)=从 f )=(人 f )(1),故 f + g,人 f g W3.(3)是 因吗是齐次方程组气+

14、 % + + 乂广0的全体解向量.W不是Rn的子空间.因W对加法不封闭.22 W3不是子空间.因对数乘运算不封闭.(4)当b丰0时，AX = b的所有解向量不能构成F上的向量空间.因n维零向量不是AX = b的解向量.当b = 0时，AX = 0的所有解向量能构成F上的向量空间.(5)维数是2.因(2, 3,1),(1,4,2)线性无关，而(5, 2,4) = 2(2,-3,1) +(1,4,2).维数是2.因易证X-1,1-启线性无关，但3-1) + (1-x2) + (x2-x) = 0 .解令E表示i行顶列位置元素是1其余是零的m x n矩阵.那么易证E这m x nijij个矩阵是线性无

15、关的.它们作成M (R)的一个基，故M (R)的维数是m x n.气,司+ Eji, i, j = 1,2,3, n, i壬j,为全体n阶对称矩阵构成的向量空间的一个基，其中共有n +1 + 2 +(n-1)个向量，故此向量空间的维数一-. . 2(8)解由 (a +a ,a+a ,a +a ) = (a ,a , ,a )A.得I A1= 1 + (-1)n+1.当为偶数时，IAI= 0,故 +a 2, a 2 +以3。+%线性相关，它不构成基.当n为奇数时，IA& 0,故 +a2,a2 +a3,a+%线性无关，它构成一个基.(9)解在基1, x, x2之下有f-12-2 )(x -1, x

16、 + 2,( x - 1)(x + 2) = (1,x, x 2)111001 J因上式右方的3阶矩阵为可逆，所以x -1, x + 2,( x-1)(x + 2)线性无关，它是F x 的 一个基.(10)解取向量8 = (0,0,1,0), 8 = (0,0,0,1)，由于34110 00 -10 0=-1 w 0,12 100 0 0 1因此a ,a ,8 ,8线性无关，所以向量组是R4的一个基. 1234(11) 解由(a ,a ,a ) = (8 ,8 ,8 ) A,( P , P , P ) = (8 ,8 ,8 ) B123123123123推出(pp2, Pj = (a ,a ,

17、a )A-1B 因此所求过渡矩阵为推出0111102211-122JA-0111102211-122JA-i B =(3 2 0 )(1 0 0)0 0 21 11k 1 0 -2/k1 1 f(12)解取F 4的标准基 , , , .由 , , , 12341234(111111-1-11-11-1k 1-1-11A =J到%气,气的过渡矩阵为于是& = (1,2,1,1)关于基a ,a ,a3，a的坐标为A-i5 )414-14-1k 4)d3)解由于W1 ,七皆过原点，它们必相交，因此或重合，或不重合.若吗与七重合,w =吗,w + w = w .若W与W2不重合，则w w为一条过原点的

18、直线，而 w+ W2 = V,但吗+ W2不能是宜和.(14)解设 y = k a + k a + k a = t p +1 p g W11223311221W2为交空间的任意向量.由k a + k a + k a t J3 t J3 = 0,1 12 23 31 12 2得齐次线性方程组k + 3k - k - 2t +1 TOC o 1-5 h z 123122k + k 5t 2t = 01212k + k + k + 6t + 7t = 0123122k1 + k2 + k3- 5t1 3t2 = 0由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4,解空间的维数为1,且求得方程组的一般 解为,4

19、,8,9,6/、/k =_t ,k =t ,k =t ,k = t 因此维(WW ) = 1,维(W + W ) = 4.172 272 372 47 21212取t = 7，令& =6P + 7P 便有W W = L(&),另外显然W + W = L(a ,a ,a ,P ).21212121231(15)证明 设数域F上两个有限维向量空间V与W的维数均为n ,因V兰Fn , W兰Fn所以V三W .反之，若V三W ,设dim V = n0,且f是V到W的同构映射.取V的一个基a1，a2,，气，易证 f (a1), f (a2), f (气)是 W 的一个基，故dimW = n.V与W不同构.

20、因dim V = 3,dim W = 2, V与W的维数不相等. 证明任取a e V,若a = aa + a a + + a a ,那么1122nna = (a a a ) P + (a a a ) P + (a a ) P + a P 12n 123n2 n1n n1n n 因此V = W + W2 + W，并且V中向量依诸七表示唯一，故 V =吗WW 四计算题 设由a1 = (1,2,2, 2),a2 = (-1,3,0,-1),气=(2, 1,2,5),生成R4的子空间 W.试 从向量组 P1 = (3,1,0,3), P2 = (2, 1,0,3), P3 = (3, 4, 2,16)

21、, P4 = (1,7,4, 15)中找出 W 的生成元. 解以a ,a ,a及P ,P ,P ,P为列做成矩阵A,在对A的行施行初等变换.12312341-123231、23-1：1-1-47T202:00-24-2-15：3316-15 )F100 11/20 2、010:0-1/2-1 1001:1 .1/21 01000:0-40 0)A =B由于行初等变换不改变列向量间的线性关系.由矩阵B知，P =a +a ,P =-a +a ,0 = 2a +a 从而 L(P ,P ,P )( W.但由 B 还知 P ,P ,P 113323412134134线性无关，故七% P4为W的一组生成元

22、.在向量空间R中，求由向量气= 口&小气=(4,5,3, -1) = ThTD，由右方矩阵知a1,气是一个极大无关组，因此a 4 = ，由右方矩阵知a1,气是一个极大无关组，因此F 2 4 -11、f 0 -6 -3 -915151515T33 -3-30 -12 -6 -18(-1 -1 11)0426F0 0 0 0、13 0 20000.10 2 13 )(2)解对下述矩阵施行行的初等变换T7此变换保持列向量间的线性关系L(a ,a ,a ,a )的维数实是2，而a ,a是它的一个基.123413在R4中求出向量组 a 2, a,气,a5的一个极大无关组，然后用它表出剩余的向量.这里a1

23、 = (2,1,3,1),气=(1,2,0,1),气=(-1,1,-3,0), a4 = (1,1,1,1)a5 = (0,12,-12,5).解对下述矩阵施行行的初等变换(21-110 )0-10-5 )121112T-101-1230-31-1230-31-121V110157V 11015 7(000-1-3(00013 )-101-12T-10105000-2-6000001V 11015 /1V 1100 2T是一个极大无关组,并且有由右方矩阵知气，气，气a =a -a ,a = 2a + 5a由右方矩阵知气，气，气求M3(F)中与矩阵A可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基，其中1

24、 0 0、A =010.3 1 2)(4)解设这个子空间为W,由于A = I + B,这里(0 0 0)B =0 0 0V3 1 17因此与A可交换的3阶方阵，就是与B可交换的3阶方阵，从而 W = X g M3(F)1 BX = XB.任取 C g W, C = (c ).由 BC = CB ,可得 c = c = 0,3 c + c + c = 3c , ij1323112131333c + c + c = c，于是C gW当且仅当C的元素为齐次线性方程组12223233f c = 3c c + 3cW3%-% &33的解.于是我们得到如下矩阵(1 0 0)(010)(0 0 0)-3 0

25、 0,0 -3 0,-1 0 0V 0 0 07V0 0 0?V 1 0 0 7它们构成W的一个基，故W的维数是5.求实数域上关于矩阵A的全体实系数多项式构成的向量空间V的一个基与维数.其中-1+七-1+七瓦2A = 00 0(5)解因 3 = 1,所以(1A(1A2 = 2,A3 =(1易证I, A, A2线性无关.于是任何多项式f (A)( fe R切皆可由I, A, A2线性表示,故I, A, A2为的一个基，dimV = 3.(6)设(x , x , x, x )为向量& 关于基以=(1,0,0,1)，以=(0,2,1,0), a = (0,0,1,1), TOC o 1-5 h z

26、1234123a = (0,0,2,1)的坐标；(y , y , y , y )是&关于基P , P, P , P的坐标，其中y = x ,1234123411y = x 一 x , y = x 一 x , y = x 一 x .求基 P , P , P , P .2213324421234(x 1(y 111(a ,a ,a ,a )x2=(P , P , P , P )y21234x1234y33Y y4 J且(6)解因& =(y 1(100101(x11(x11y-1100 xx2=2=P2y0-110 xx333y J40-101JV3x43x4Vx4 JI 1(a , (a , a

27、,a ,a=(p, p, p, p) P1234于是(a ,a , a ,a ) = (于是(a ,a , a ,a ) = (0 ,0 ,0 ,0 ) P,即12341234(0,0 , 0 , 0 ) = (a , a , a , a ) P-112341234故所求的基为01 = d243), 02 = (0242), 03 = (O1), 04 = (OO, 2D. 设a1,a2, ,a是n维向量空间V的一个基，aa1 +a2,a. +a2 +a 也是V的一个基，又若向量&关于前一个基的坐标为(n, n -1,2,1),求&关于后一个基的坐标.解基气,a到后一个基的过渡矩阵为那么=P-

28、1 (1=P-1 (1-0-110-1.0.0.0. 0故&关于后一个基的坐标为(1,1, ,1). TOC o 1-5 h z 已知 R 3的一个基为a (11,0),a2 = (0,0, 2),a3 = (0,3,2).求向量& = (5,8, -2) 关于这个基的坐标.解设E= x a + x a + x a ,的方程组112233x1=5 x + 3 x = 82 + 2 x3 =-2i 23解得气=5, x2 = -2, *3 = 1.故& 关于基,a2 a3 的坐标(5-2,1).已知a1 = (2,1,-1,1),a2 = (0,3,1,0), a3 = (5,3,2,1)% =

29、 (6,6,1,3)是 R4 的一个基.求R4的一个非零向量& ,使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同 解由标准基点点点 到基a ,a ,a ,a的过渡矩阵为12341234(2 0 5 6)13 3 6P =-112 1、1 0 1 3 /设&关于两个基的坐标为3, X , X, x ),则1234xx11xx2 =P2xx33xxlX4顷4 /即得齐次线性方程组x + 5 x + 6 x = 0 x + 2 x + 3x + 6 x = 0 TOC o 1-5 h z 1334x + x + x + x = 01234x + x + 2 x = 0解得气=x2 = x3 = -x4,

30、令 x4 = k 丰 0, k e R,则膳=(-k, -k, -k, k)即为所求.已知R4的一个基a1 = (2,1,-1,1),a2 = (0,3,1,0), a3 = (5,3,2,1) a 4 = (6,6,1,3).求& = (x , x , x , x )关于基a ,a ,a ,a的坐标.12341234(10)解由标准基到所给基的过渡矩阵为(2056 )1336P =-1121 1013JJ那么xx11xxg =任:点， , )2=(a ,a ,a ,a )P-121234x1234x33x4YV x4 J故&关于基a ,a ,a ,a的坐标为(y, y , y , y ),这

31、里123412341/3-1-11/9 )=P-11/274/9-1/3-1/3-1-11/9 )=P-11/274/9-1/3-23/ 271/3-2/3-7/27-1/91/326/27x1 x J3 八七7五证明题 设吗,吧为向量空间v(F)的两个子空间.证明：吗吧是V的子空间.吗 W 是否构成V的子空间，说明理由.e吗e吗吧,k e F ,易知1)显然0e吗 W2,即W W2W,任取气a +a e W W,ka e W W ,故W W是V的子空间. TOC o 1-5 h z 1212112122)不一定.直吗J W2或W 吗时，气 W是V的子空间.但当吗与W互不包含时,u时,W W不

32、是V的子空间.因为总存在a e W ,a史W及a e W ,a史W使1211122221ua ,a e W W ,而a +a w W W ,因为这时a +a史W,a +a史W ,否则与选12121212121122取矛盾.uu(2)设w,W2为向量空间V的两个子空间.证明：w+ W2是V的即含W又含W2的 最小子空间.(2) 证明 易知 W + W = a +a I a e W,a e W 为V的子空间，且12121122W J W + W , W J W + W .112212设W为V的包含W与W的任一子空间，对任意& e W,& e W，有& +& e W ,即12112212吗+ W J

33、 w ,故W + W是V的即含吗又含W2的最小子空间.(3)设吗,吧为向量空间V(F)的两个子空间.a, P是V的两个向量，其中a e W , 但a W吗，又P W W.证明：1)对任意 k e F, P + ka w W ；22)至多有一个k g F,使得6 + kaG W.1(3)证明1)任意 1)任意 k g F,若 6+ kaG W ,2则6= (g心-gW2矛盾，故D成立.2)当6 g吗时，仅当k = 0时，有6+ ka2)当6 g吗时，仅当k , k g F, k 丰 k 使得 a = 6+ k a g W, a = 6+ k a g W,则 a -a = (k k )a g W,

34、121211122112121因此a g W,矛盾，故2)成立.(4)设吗,吧为向量空间V的两个子空间.证明若吗+ W2 =吗 W2,则吗o吧或U(4)证明因W吧含W与W中所有向量, (4)证明因W吧含W与W中所有向量, ua1 +a2(a1 gW,a2 gW)的向量，12W1 + W2含一切形如a +a g W因为吗+ W =吗 W ,U若a1 +a2 g W,令a1 +a2 = 6 ,则气=6七故吧O Wi :若a +a2 g W2,a1 +a2 =y ,则叫=y -a2,故W o W .(5)证明：n维向量空间V中，任意n个线性无关的向量都可作为V的一个基.(5)证明设A，% ，a n是

35、V中线性无关的向量，的的单位向量匕，*，V = L(* ,* , ,* ),且a ,a , ,a中每一个可由* ,* , ,*线性表示.由替换定理知12n12n12na ,a , ,a与* ,* , ,*等价，所以V中每一个向量可由a ,a , ,a线性表示，又12n 12n12n aa2, ,an线性无关，故aa2,，气可作为V的一个基. 设V为n维向量空间，V中有m组线性无关的向量，每组含t个向量，证明：V 中存在nt个向量与其中任一组组成V的一个基.(6)证明设V中m组线性无关的向量分别为a气2,气(i = 1,2, , m), t n.令V = L(a ,a , ,a ),则 dim

36、V = t n .因存在七冬 V,(i = 1,2, , m),使 TOC o 1-5 h z ii1 i 2iti1 i a ,a , ,a ,&线性无关，若t +1 但A可逆，故X2 + x, X2 - x, X +1是F X的一个基.22 x 2 + 7 x + 3关于这个基的坐标(3, -1,3),因为2因为21A-13(11)若W1W2, W3都是E子空间，求证:吗(吗 W2) + W吗(吗 W2) + W)=(吗 W2) + (吗 W).(11)证明:任意 ae W (W W) + WJ)a =a +a ,a e W W% e W ,但a e W ,知a e W W ,131123

37、3ae (吗 W) + (W W).反之，任意Pe (Wi W) + (吗W3),W ) + W,故P eW,则ae W ,且 ae (W W) + W,因此A 23故P = P +P ,P eW1211(吗 w2)+w). n rv n P e 吗,且 P e (W2(12)设W,W2,W是n维向量空间V的子空间.如果W + W2 +w为宜和.证明：W. Wj = 0,i 丰 j,i, j = 1,2, ,s.zn证明：由W1+ W2 + + W为宜和，有W. (E W.) =0,，丰 j,i, . = 1,2, , s,而 TOC o 1-5 h z 1 2jW. Wg W. (Ew. )

38、 = 0,i 丰 j, i, j = 1,2, , s.故 rv” 7W. W. = 0,i 壬 j,i, j = 1,2, , s.n设W, W分别是齐次线性方程组% + % + + x = 0与x = x = = x的解空间.1212n12n证明：Fn =吗+ W . 证明 因%1 + %2 + %n = 0的解空间的维数为n-1 ,且一个基为% = (-1,1,0, ,0), a2 = (-1,0,1,0, ,0),a 1 = (-1,0, ,0,1),又 = %2 = % TOC o 1-5 h z 即方程组 %】.%2 = 0. . . . % 一 % = 0(19)证明 实数域R作

39、为它自身上的向量空间与全体正实数集R +对加法：ab = ab,与纯量乘法：k a = ak构成r上的向量空间同构.证明：定义b : xax (a 1)o显然b是R到R +的映敝x, y e R ,若x丰y,则a丰ay,所以b为单射；任意b e R + ,因b = a log? ,log二e R ,贝g (log a) = b,即b为满射.从而b为双射.任 x, y e R,b(x + y) = ax+y - axay - ax ay -b(x)b(y).任 k e R,b (kx) akx (ax)k k ax k b (x),于是b是R到R+的同构映射.故R = R+. oo(20)设V是

40、数域F上无限序列(a , a ,)的集合，其中a e F,并且只有有限a不 12ii是零.V的加法及F中的数与V中元的纯量乘法同Fn,则W构成F上的向量空间.证明: V与Fx同构.证明：取Fx的一个基1,x, x2,则Fx中任一多项式f (x) a + ax + + a xn 关于这个基有唯一确定的坐标(a0, a1, , a” ,0, ) e V . 定义b : f (x)(a0,a., ,a”,0,) 则b是Fx到V的一个同构映射，故Fx三V. 向量空间自测题一、单项选择题(每小题2分，共20分) 设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r 1B. r 0C.它有一个部分向量组线性无关D.它的所

41、有部分向量组线性无关设矩阵A为n阶方阵且| A | = 0,则（）A中必有两行或两列的元素对应成比例.A中至少有一行或一列的元素全为零；A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合.设有向量组和（口），线性相关，（口）也线性相关，且组可由组（口）线性表示，则（线性表示，则（）成立其中：a1a 2，a , (口): P1, P2,PA. r A. r sC. r 秩（口）D.秩 n是n维向量组a 1, a 2，a皿线性相关的（）条件A.充分B必要 C,充分必要D.必要而不充分二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由，每小题5分，共2

42、0分）设a 1, a 2是AX = 0的基础解系，则a1 +a2,a1 -a2也是它的基础解系.若x , x , , x是AX = b的解，则它的任意线性组合也是AX = b的解. TOC o 1-5 h z 12nW = a x3 + a x2 + a x + a I a e R且a = a ,a = -a 的维数等于2.3210 i3120F上向量空间V若含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量.三、简答题（每小题5分，共10分）设x ,x ,x 是 AX = b 的解其中 A 为 5乂 4矩阵（A） = 3.。若x = （1,2,0,1），1231x 2 + 3x3 = （2,1,5,试

43、写出该方程组的全部解.已知P可由a 1，a 2，a线性表出，那么，在什么情况下，表示 法唯一四、计算题（每小题8分，共32分）1.试将P1.试将P用向量组以，a2，a3，a4线性表出，其中a1 = （1,5,4,1）r，a =(-1,0,1,1)，a =(2,4,2,1)， a a =(-1,0,1,1)，a =(2,4,2,1)， a =(1,2,0,1)，234P = (1,3,1,0).2.已知W = I a, b e R, W = 20 I a ,c e R,是M (R)的两个子0)1 12空间，求WC W2,W + W2的一个基和维数.3已知a关于基吧,P2, P3的坐标为（1，0，

44、2），由基aa2,a3到基P ,6 ,6 的过渡矩阵为31 2 3224，求 a关于基a1 0,a2,a3的坐标.x + x - 3x - x = 2、 、. ，卜卜x x + 2x x = 1上,人.一4.求非齐次线性方程组234.的全部解.4 x - 2 x + 6 x + 3 x - 4 x = 8123452 x + 4 x - 2 x + 4 x - 7 x = 9五、证明题（每小题9分，共18分）1A1 .设A是任一矩阵，将A任意分块成A= .2 ,证明：n元齐次线性. TOC o 1-5 h z 方程组AX = 0的解空间V是齐线性方程组A工=0的解空间U的交，Z = 1,2,.

45、,s. ii2.设向量组a , a ,，a线性无关，向量0可由它线性表示，而向12m1量B不能由它线性表示.证明：m+l个向量a , a ,，a ，/P+P必线212m12性无关.线性空间习题一、填空题/ 00 a1、已知u = 是R 3x3的一个子空间，则维(V )=,oc + bojV的一组基是. TOC o 1-5 h z 2、在 R 中，若 a =(1,2,0,1),a = (1,1,1,% =(1人,l,l),a = (0,1/,1)线性无关，1234则化的取值范围3、已知。是数域P中的一个固定的数，而W = (q,x,)|x e P,z = 1,2, ,1 n i是Pn的一个子空间

46、，则。,而维(W) =. . 4、设月是数域P上的维列向量空间，Ae尸 x 且A2 =A，记W =AX|X gP, W =XX ePnAX =0. TOC o 1-5 h z 则w、w都是月的子空间，且w +w =, w w =.1212125、设上，8是线性空间V的一组基，+x +xs P则由基8点点到基123112233123 土 土的过渡矩阵T=，而a在基8 ,8 ,8下的坐标是.123123二、判断题1、设U = Rx，则W = A|AePx，|A| = 0是V 的子空间.2、已知V = 0 + bi,c + di) Q,b,c,d cR)为R上的线性空间，则维(V ) =2.3、设A

47、, B e P心,V是：j X = 0的解空间，V 1是AX =0的解空间，V 2是k B )(A + B) X=0的解空间，则V=匕匕.4、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组，气线性表出，则维(W ) = s .5、设W是线性空间V的子空间，如果a, P e V,但辱 W且0任W，则必有a + 务任W.三、计算题1、在线性空间P2x2中，1 2-1 12 -11 -1、A =,A =,B =,B =1J 0)，223 7 )求L(A1,A2)L(B1,B2)的维数与一组基.求L(A1, A2) + L(B1,B )的维数与一组基.2、在线性空间P4中，求由基a ,a ,a ,a到基0 ,0,0 ,0的过渡矩阵，并求 12341234a = (1,4,2,3)在基ai,a2,a3,a4下的坐标，其中ai = (1,0,0,0), a2 = (4,1,0,0),气=(-3