线性代数综合测试1

1、单选题 TOC o 1-5 h z 2 -10若行列式1 工-2=0，则x=.(5分)3-12: I: I:参考答案：B对任意同阶方阵&R，下列说法正确的是.(5分):上-:：:三二三二参考答案：C设可逆，则AX = B-E的解是M=.(5分):厂三一三:三-=:不存在参考答案：B若向量组线性相关，则它的部分向量组是.(5分):线性相关:线性无关:或者线性相关，或者线性无关:既不线性相关，也不线性无关参考答案：C若阶方阵H不可逆，则必有.(5分)(A):(B) : 0为了的一个特征值 (C):秩竟(D):工参考答案：B6.，且，则(1).(5 分)填空题6.，且，则(1).(5 分)(10 分

2、(10 分).(10 分).参考答案：-47.祖阶方阵的上个特征值互不相同是与对角矩阵相似的(2)条件(5分)(1).参考答案：充分问答题8.计算行列式:参考答案： 先提出各列的公因子，再利用展开法则得到原式 解题思路9.解矩阵方程AXB=X，求贯，其中-1 1 1参考答案：解答成一日=应=(A )=一乏应=一以)一碧= X = -(A-E)1B =解题思路:设，.阶方阵满足关系式- .- = u，证明一，可逆，并写出.的表 达式.(10分)参考答案：因为 ，通过移项与提取公因子得A3 A2 A = E = AA1 A = E4J = J 41- J F从而由可逆定义知可逆，并且，解题思路：论

3、线性方程组的解的结构与计算无论是在科学研究领域，还是在工程技术应用中，大量的问题可以归结为线性方程组的求 解，因此研究线性方程组的求解问题是线性代数的一个重要内容.请描述齐次线性方程组AX=0的解的结构定理(即什么条件下只有唯一的零解？什 么条件下有无穷多组非零解，此时的非零解由什么组成？)请描述非齐次线性方程组AX=b的解的结构定理(即利用系数矩阵与增广矩阵的 秩的关系，给出在:什么条件下无解？什么条件下有唯一解？什么条件下有无穷多组解，此 时的解由哪两部分组成？)请利用齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构定理讨论：若齐次线性方程 组AX=0有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b是否

4、也必有无穷多组解？(15分) 参考答案：(1)设有n元齐次线性方程组AX = 0，则它的解的结构定理是：当秩R(A)=n时，方程组只有唯一的零解；当秩R(A)=rn时，方程组有无穷多组非 零解.此时所有的解构成解空间，解空间中存在着nr个线性无关的解向量，构成基础 解系，方程组中的每一个解均可表为基础解系的一个线性组合.对于n元非齐次线性方程组AX=b而言：当系数矩阵的秩R(A) =增广矩阵的秩R (Ab)时，方程组有解；当R(A)去R(Ab)时，方程组无解.且R(A) = R(Ab)=n时有惟 一解，R(A) = R(Ab)n时有无穷多解；此时AX=b的通解由齐次通解与非齐次特解相 加构成.

5、答案是不一定必有无穷多组解.由解的结构定理可知，AX=0有无穷多解，则其秩 必有R(A)=rn，但仅此并不能保证AX=b有无穷多组解，因为不能保证R(A) = R(A b )，所以非齐次线性方程AX=b也可能无解.解题思路：由线性方程组的解的结构定理，描述及应用论特征值与特征向量设A为n阶方阵，.是A的特征值，x是A的关于.的特征向量，则A、.、x必须满足什么条件？ 应如何求得?则这n个特征值必须满足哪两条性n阶方阵A必有n个特征值：. .一.；.则这n个特征值必须满足哪两条性质？两个n阶方阵A与B相似的定义是什么？它们的特征值之间有什么关系？方阵A与 一个对角矩阵相似通常需要满足哪些条件(条件不止1个，任意写出1条即可)？ (20分) 参考答案：解答要点特征值与特征值向量必须满足关系式-三=:；并且是通过解特征多项式=求出所有的特征值人，通过解线性方程组”一五)工二0求出所有的特征向量-；竖阶方阵必有王个特征值，这盐个特征值必须满足两条性质：儿+% + .+& = % +知+ + %，及。两个n阶方阵A与B相似的定义是：如果存在n阶可逆矩阵P，使得(P逆)AP =B， 则称A与B相似。相似矩阵有相同的特征值。相似对角化的条件不止一条，例如：矩阵A 的