纸箱纸盒动静态力学分析

1、包装盒的静态受力分析折叠纸盒的抗压强度随着挺度、环压强度和厚度的增加而增大；结构不同， 抗压强度不同；而结构参数的影响作用表现为：抗压强度与高度成反比关系，与 周边长成正比关系，与长宽比近似成二次函数关系。将纸盒材纸的抗压强度以及一系列参数作为已知量，再通过实验拟合能够得 到计算纸盒极限静载荷的经验公式。目前研究者已经得出了很多这种经验公式， 其中美国纸盒纸板研究开发协会（BRDA）提出一种折叠纸盒抗压强度的经验公 式：al（1.1）式中：P一折叠纸盒抗压强度（N）；a一常数；二.一纸板的纵向挺度（mNm）；二.一纸板的横向挺度（mNm）；t一纸板厚度（mm）。由于BRDA公式仅考虑了纸板纵横

2、向挺度和厚度的影响，其最大误差达到了 21%，故可对其经行优化，找出较为精确地折叠纸盒抗压强度数学模型。锁底式纸盒是各个体板以每两个相邻体板的交线（即高度方向压痕线）为轴， 顺次旋转一定角度而成型的。在载荷作用下。4个侧板都是纵向承载。根据管式 折叠纸盒的结构及其受力状态，可知纸板的环压强度也是抗压强度的影响因素； 由于侧板是纵向承载，因而在公式中加入纵向环压强度；根据BRDA式，加入纸 盒结构影响因子，并考虑到纸板的纵横向挺度有一定关系，三可以看成常数，建立数学模型如下：?=己五一；二二：】言壬-二三一，上一幺；（1.2）式中：abefggg1常数；Z一纸盒周边长（mm）；H纸盒高度（mm）

3、；A纸盒长宽比；Pm一纸板的纵向环压强度（N/m）。通过实验及数据分析，在考虑纸板性能和结构参数的共同影响时，锁底式折 叠纸盒的抗压强度计算经验公式为：? = : _5五厂；二二七注上一：*（1.3）通过比较，模型的拟合度很好，最大误差仅为3%。失效准则在静载情况下，若不考虑包装件刚度对纸盒抗压强度的影响，只要纸盒实际 所承受的压力P0P，就不会有失效破损发生。包装箱的静态受力分析瓦楞纸箱的抗压强度是指箱体破坏时的最大荷重，可用破坏时的变形量来表 示。实际测量时，是在空箱条件下单个测定的，它代表了最稳定的强度。也可用 计算法评价瓦楞纸箱的抗压强度，计算法有堆码计算和经验公式计算法。所谓堆码法是

4、把纸箱进行多层堆叠，直至最底层纸箱压溃时，记录所堆叠的 层数和高度，然后用以下公式计算瓦楞纸箱的抗压强度：口 =】：（2.1）式中：P一瓦楞纸箱的抗压强度（N）；K安全系数；H一堆码高度（mm）；H一瓦楞纸箱单体高度（mm）；W一瓦楞纸箱的单体重量（kg）。安全系数K是关于原纸质量波动系数，制造工艺低劣系数，由长久保存、湿 度、堆放、运输、装卸引起的强度下降系数的函数。堆码计算法的因素很全面， 但要求实验及精确每项系数，这使堆码法的使用受到一定程度的限制。瓦楞纸箱设计的主要依据是抗压强度，如果能根据事先已知的条件，计算出箱的抗压强度，而不必一个个去测定，那就非常方便了。研究表明，瓦楞纸板的屈服

5、应力与原纸的比例极限有紧密的联系，其值等于其中:抗压强度的2/3，纸箱平均失效压力P、原纸抗压强ffiPu、极限应力Pcr、纸板边压 强度Pp可以用如下方程表示：其中:（2.2）（2.3）式中：a瓦楞纸板的宽度；H一瓦楞纸板的弯曲刚度系数；A一瓦楞纸板的横向剪力刚度系数。将（2.3）代入（2.2）得：（2.4）需要找出m值来反映其对数增长率。通过实验可以作出瓦楞纸箱尺寸与最大载荷的关系图，如图2.1所示，通过实验可以作出瓦楞纸箱尺寸与最大载荷的关系图，如图2.1所示，店皇 nod- H12M-IILIZ皇 JQ H 罡 05 着至*W，d在图中找出三点，A （a , P）、B （a., P/、

6、C （a , P ）其中A、C表示 a ab bc c纸箱纵向屈曲曲线部分的极值，B纸箱纵向屈曲曲线部分的极值，B在AC之间，且飞三。则:（2.5）（2.6）通过此方法求得的m平均值为0.376。对于载荷垂直于瓦楞方向的情况，m平 均值为0.253。可以分别用1/3和1/4来近似表达，简化计算。瓦楞纸板横向剪力刚度系数A可以用下式表达：(2.7)式中：n一瓦楞纸板在应力条件下的半波数量，其取值需使D：三一三三的值最小；D1，D2一分别为瓦楞纸板垂直、平行于加载方向弹性模量与惯性矩的 剩积EI；二、“二一分别为垂直、平行于加载方向的剪切模量。其中：（2.8）式中：P一使瓦楞纸板表面产生0.001

7、英寸位移所加载的剪力；三一瓦楞纸板表面与剪力之间的夹角；W一瓦楞纸板的宽度；瓦楞纸板的长度；c-瓦楞厚度；d-表面位移。通过式（2.6）和（2.7）可以得出H的表达式：(2.9)H = nD】丢+ %鲁+ 2K(2.9)D1或上=D1或上=fEt）TMeOt志食点al.】-宿卷(2.10)式中：EI一瓦楞纸板弹性模量与惯性矩的剩积，：.口;为平行或垂直于瓦楞 方向的弹性模量与惯性矩的剩积，由P的方向决定；K一瓦楞纸板弯曲刚度系数；二一1减去垂直、平行卡纸纤维方向泊松比剩积的值，等于1（0.328* 0.219） = 0.928；L纸板跨度。也可以通过如下公式可以确定D三的取值：=三三注 上=三

8、二：.一三二，其中三二.土（2.11）式中：三二一瓦楞原纸横向弹性模量；寻.一瓦楞原纸纵向弹性模量；E:一瓦楞芯纸成型前在瓦楞方向的弹性模量；二.一芯纸成型后纤维方向弹性模量；-.一宽度方向上每英寸的横截面面积；c一楞高。=艾三：壬：（2.12）（2.13）式中：S一楞长的一半；t 一瓦楞芯纸厚度;= ：?-.当K已知时，通过椭圆积分求得。通过以上公式求得m、H、A之后，可以通过下列公式表示Pp：i-m 111H 亍=寸三二三=w=-三（2.14）也可以通过实验得出Pp的表达式：乙=弓二二二三-三二（2.15）式中：兰一瓦楞芯纸成型前后的长度比；土一面纸抗压强度实验值；三3一芯纸抗压强度实验值

9、。将各已知量带入式（2.14）和式（2.4）并引入瓦楞常数*二、瓦楞纸箱周边 长Z、纸箱常数J，可得瓦楞纸箱抗压强度表达式:口 =号 3（2.16）式中：P一瓦楞纸箱抗压强度，N；三；一瓦楞纸板原纸的综合环压强度，N/cm； 芸；二一瓦楞常数；Z瓦楞纸箱周边长，cm；J一纸箱常数。其中瓦楞纸板原纸的综合环压强度计算公式如下:（2.17）式中：Rn一面纸环压强度测试值，N/0.152m；,：.一瓦楞芯纸环压强度测试值，N/0.152m；Cn一瓦楞收缩率，即瓦楞芯纸原长度与面纸长度之比。式（2.2）中二=二.二-三：；，其中L-、.分别代表纸箱长宽外尺寸。多瓦楞纸板的q：二、J值计算公式如下:（2

10、.18）(2.19)式中:d二二一多瓦楞纸板的瓦楞常数;d二一单瓦楞纸板的瓦楞常数；二二一多瓦楞纸板的纸箱常数；n瓦楞层数；L一瓦楞楞缩率；L-.一单瓦楞纸板的纸箱常数。aXz和J的值如表2.1所示。楞型ABEABaXz8.365.006.1013.36J0.590.680.680.66表2.1 瓦楞常数与纸箱常数实践证明，用凯里卡特公式计算所得的纸箱抗压强度值总小于纸箱 的实际测量值，两者之差大体在5%左右。为了减少这一误差，寻求出 一个更加合理的计算公式，可先分析瓦楞纸箱三个主要结构因素与纸箱 抗压强度之间的关系。纸箱高度在25cm以下，高度对其抗压强度影响较大；当超过25cm 时，则几乎

11、没有影响；纸箱纵横比（即长、宽比）对抗压强度的影响较大， 纵横比与抗压强度成二次函数关系；纸箱抗压强度与其周长近似成正比 例关系，即随着纸箱周长的增大，纸箱的抗压强度也增大。凯里卡特公式采用的箱形系数J，反映了周长的影响因素，但它作 为常数，不能反映高度和纵横比的影响。假定所研究的纸箱高度大于25 cm，高度的影响可以忽略，则影响凯里卡特公式计算精度的另一主要因素便是纵横比。沃福公式是以瓦楞纸板的变压强度和厚度作为瓦楞纸板的参数，以 箱体周边长、长宽比和高度作为纸箱结构的因素来计算瓦楞纸箱的抗压 强度的。公式如下：口 =二一羊二三二三二（2.20）式中：P纸箱抗压强度，N；Z纸箱周长，mm ；

12、t纸箱厚度，mm ；P 一瓦楞纸板的边压强度，N/m ； mH0纸箱的高度，mmR 纸箱的长宽比。 L沃福公式引人了一个因子二-。=* 乂一 - _*，这个因子近似 地反映了纵横比与抗压强度的二次函数关系。可以采用了沃福公式中二次式因子的曲线形状，并根据纸箱最大抗 压强度来确定修正因子的常数项，达到修正凯里卡特公式的目的。考虑 到凯里卡特公式总是比实测值小5%，可以在修正因子中加入5%，化简 后的修正因子为：k =。3二温二一二亍二一，.SF.（ 2.21）即可得到修正后的凯里卡特公式：口 =:/ Zf： 2-: 二关乂一 -。（2.22）实验证明，经过修正后的凯里卡特公式绝对误差的平均值为1

13、.65%，比修正之前更加精确，而且适用于各种纵横比。失效准则在静载情况下，若不考虑包装件刚度对纸箱抗压强度的影响，只要纸纸实际 所承受的压力P0P，就不会有失效破损发生。瓦楞纸箱力学模型的建立在瓦楞纸箱的准静态压缩过程中，加载的速度很低，因此可以忽略阻尼力的 影响。瓦楞纸箱的弹性恢复力具有较明显的非线性，而对于非线性弹性力，只要 选择合适的一次项和三次项系数，三次非线性函数可适合于现实中的大部分振动 系统，对于瓦楞纸箱的非线性弹性力可用位移的三次多项式函数表示，记弹性力 为Fk，一次项系数为k，三次项系数为r。F = kx -F rx3对于多层堆码瓦楞纸箱，底层的瓦楞纸箱受到了最大的静压力，在

14、运输中最 易受到损坏。可将底层的瓦楞纸箱简化为一个三次非线性弹簧和一个线性阻尼 块，位于上层的瓦楞纸箱包装件简化为一个质量块，瓦楞纸箱自身的重量相对瓦 楞纸箱包装件可以忽略不计，如图1所示。底层瓦楞纸箱的内装产品应该是不受 力的，为了研究方便，也为了研究最严酷的条件，不考虑底层瓦楞纸箱的内装产 品。图3.1图3.1瓦楞纸箱简化力学模型在静止状态下，底层瓦楞纸箱受到来自上层瓦楞纸箱的压力而发生变形，假 设瓦楞纸箱的形变量为x，则瓦楞纸箱所受的力F可表示为：（3.1）F = Fk + F。= kx + rx3 + 或=mg（3.1）瓦楞纸箱振动模型的建立瓦楞纸箱在运输过程中所受到垂直方向的振动激励

15、主要来自于运输工具，属 于基础位移激励。设在某一时刻，瓦楞纸箱系统受到的激励位移为x2,瓦楞纸箱 包装件的响应位移为，如图3.2所示。则上层包装件除受到自身的重力外还受到 了惯性力F1和下层纸箱对它的支持力F2,鸟同时也是振动过程中下层瓦楞纸箱受 到的动态载荷，如图3所示。图3.2图3.2瓦楞纸箱的振动模型图3.3瓦楞纸箱包装件受力分析其中，惯性力二=】二，设系统静止状态下，下层纸箱受到上层瓦楞纸箱的 压力产生的变量为x0，则支持力1 = K： - 1二：-二:-二:-K：.：-二：:-1：.二-二二，即可得受力平衡方 程：rnx-L + kx0 + 空项 + c（x-l 女 S + k（x-

16、L x2） + r（x-L x2）3 = mg（3.2）又由式（3.1）可知：- r二：=】二，所以对方程（3.2）两边经行化简可得 瓦楞纸箱的非线性振动方程：mXi +劾）+ k（xi x2） + r（X x2.）3 =0（3.3）式中：m包装件质量（kg）；x1包装件响应位移（m）：x2基础激励位移（m）；令简谐位移激励二：=上.心；，其中A2表示简谐振动的位移幅值，表示 简谐振动的圆频率。将其带入方程（3）得：mx-L + c（女 1 o）A2 cos （rat） + k（xx A2 sin（st） + r（x1 A2 sinfot）3 = 0（3.4）为了简化计算和便于分析，对方程（3

17、.4）进行无量纲化：令方二% ： = 土，=二，日=亍，=，：=勇捉，将之带入方程（4）可得:ji + 2亳（口乳cds（M） + （p sin（Xi） + s（p sin（Xi）3 = 0（3.5）式中：一振动系统的阻尼比；汕一振动系统的固有圆频率；E一振动系统的非线性系数；.一振动系统的频率比；一无量纲化的激励位移；无量纲化的振动时间。式（3.5）描述的是强迫振动下的单自由度非线性振动系统，其中:的大小表 示非线性的强弱。非线性系统在振动过程中的响应情况依赖于对方程（3.5）的 求解。然而，对于形如式（3.5）存在外部激励的三次非线性微分方程，不能求 得其严格精确的解析解，故通过谐波平衡法

18、求式（3.5）的近似稳态周期解。令=J - sir.-：.:（3.6）将之带入式（5）做如下化简- 2?.- - :： -si】：.*（3.7）在弱非线性N】）条件下，对方程（3.7）中参数取不同值的情形进行大 量数值积分，求得稳态响应并作傅立叶变换，结果表明，方程（3.7）具有稳定 的与激励等周期的稳态周期解，而且不论如何变化，响应的基频幅值远远大于 其它频率（次谐波和超谐波）处的幅值：并且由于阻尼的存在，此稳态周期解与 激励之间有一定的相位差。故可设方程（3.7）稳态周期解的形式为： ;= ir.：,.:-._：，将之带入方程（3.7）并做等价变换得：X2B sin （Xi） + 2B cosXt -h B sin（M） -|- sB3 sin3 （Xi） = X2B sin（XT 一时（3.8）对式（3.8）进行化简，忽略三次谐波