年高考数学压轴题系列训练含及解析详解六

1、2009年高考数学压轴题系列训练含答案及分析详解六1（本小题满分14分）如图，设抛物线C:yx2的焦点为F，动点P在直线l:xy20上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.1）求APB的重心G的轨迹方程.2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x02)和(x1,x12)(x1x0)，切线AP的方程为：2x0 xyx020;切线BP的方程为：2x1xyx120;解得P点的坐标为：xPx0 x1,yPx0 x12所以APB的重心G的坐标为xGx0 x1xPxP，3所以yp3yG4xG2，由点P在直线l上运动，进而获取重心G的轨迹方程为：（

2、2）方法1：因为FA21x0 x1,x0 x11),FB21(x0,x0),FP(24(x1,x1).44因为P点在抛物线外，则|FP|0.FPFAx0 x1x0(x0 x11)(x021)x0 x112444,cosAFP1|FP|FA|FP|222|FP|x0(x0)4x0 x1x1(x0 x11)(x121x0 x11FPFB)同理有cosBFP2444,1|FP|FB|FP|x1222|FP|(x1)4AFP=PFB.方法2：当x1x00时,因为x1x0,不如设x00,则y00,所以P点坐标为(x1,0)，则P2d1;而直线BF的方程:y1x121x点到直线AF的距离为：4|x1|,2

3、4x1即(x121)xx1y1x10.44|(x121)x1x1|(x121)|x1|x1|所以P点到直线BF的距离为：d2424421)2212(x12(x1)2x144所以d1=d2，即得AFP=PFB.当xx0时，直线AF的方程：1x0211104(x0),即2)xx0y0,1yx00040441x121211直线BF的方程：40,y4x10(x0),即(x14)xx1y4x1所以P点到直线AF的距离为：21x0 x121x0 x121|(x04)(2)x0 x14x0|2)(x04)|x0 x1|，同理可获取P点d11)2x0212(x02x0244到直线BF的距离d2|x1x0|2，

4、所以由d1=d2，可获取AFP=PFB.2（本小题满分12分）设A、B是椭圆3x2y2上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直均分线与椭圆订交于C、D两点.（）确立的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断能否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明原因.（本题不要求在答题卡上绘图）本小题主要考察直线、圆和椭圆等平面分析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（）解法1：依题意，可设直线AB的方程为yk(x1)3,代入3x2y2，整理得(k23)x22k(k3)x(k3)20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个不一样的根，4

5、(k23)3(k3)20,且x1x22k(k3),由N（1，3）是线段AB的中点，得k23解得k=1，代入得，12,即的取值范围是（12，+）.于是，直线AB的方程为y3(x1),即xy40.解法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有依题意，x1x2,kAB3(x1x2).y1y2N（1，3）是AB的中点，x1x22,y1y26,进而kAB1.又由N（1，3）在椭圆内，3123212,的取值范围是（12，+）.直线AB的方程为y3=（x1），即x+y4=0.（）解法1：CD垂直均分AB，直线CD的方程为y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得4x24x40.又设C(x3,y3)

6、,D(x4,y4),CD的中点为C(x0,y0),则x3,x4是方程的两根，x3x41,且x01(x3x4)1,y0 x023,即M(1,3).22222于是由弦长公式可得|CD|1(1)2|x3x4|2(3).k将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程得4x28x160同理可得|AB|1k2|x1x2|2(12).当12时，2(3)2(12),|AB|CD|假定存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.|13|x0y04|4|32点M到直线AB的距离为d22.222于是，由、式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，|CD|为半径的圆上.2（

7、注：上述解法中最后一步可按以下解法获取：）A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，即(|AB|)2(|CD|d)(|CD|d).222由式知，式左侧12,2由和知，式右侧2(3)32)(22式建立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（）解法1及12,A为直角|AN|2=|CN|DN|，2(3)32)3912,22222CD垂直均分AB，直线CD方程为y3x1，代入椭圆方程，整理得4x24x40.将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程，整理得4x28x160.解和式可得x1,2212,x3,413.22不如设A(1112,3112),C(13,33),D(13,33)222222CA(312

8、3,3312)22计算可得CADA0，A在以CD为直径的圆上.又B为A对于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）3（本小题满分14分）已知不等式1111log2n,此中n为大于2的整数，log2n表示不超出log2n的23n2最大整数.设数列an的各项为正，且知足a1b(b0),annan1,n2,3,4,nan1（）证明an2b,n3,4,5,2blog2n（）猜想数列an能否有极限？假如有，写出极限的值（不用证明）；（）试确立一个正整数N，使适当nN时，对随意b0，都有an1.5本小题主要考察数列、极限及不等式的综合应用以及概括递推的思想.（）证法1：当n

9、nan11nan1112时,0an,nan1an1,nan1ann即111,anan1n于是有111,111,111.a2a12a3a23anan1n全部不等式两边相加可得11111.ana123n由已知不等式知，当n3时有，111log2n.ana12a11112blog2nan2b.b,blog2n2b.2an2blog2n111证法2：设f(n)3，第一利用数学概括法证不等式2n（i）当n=3时，由a33a233b.3a232a1111f(3)ba232a1知不等式建立.（ii）假定当n=k（k3）时，不等式建立，即akb,1f(k)b则ak1(k1)akk1k1(k1)ak(k1)1f

10、(k)b1(k1)1akb即当n=k+1时，不等式也建立.由（i）、（ii）知，anb,n3,4,5,.1f(n)b又由已知不等式得anb2b,n3,4,5,.12blog2n1log2nb2（）有极限，且liman0.n（）22b2,令21,blog2nlog2nlog2n5则有log2nlog210,n2101024,n故取N=1024，可使当nN时，都有an1.54如图，已知椭圆的中心在座标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21()求椭圆的方程；()若点P为l上的动点，求F1PF2最大值本题主要考察椭圆的几何性质、椭圆方程、

11、两条直线的夹角等基础知识，考察分析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：()设椭圆方程为x2y21ab0，半焦距为c，则a2b2()设P4,y0,y005已知函数fx和gx的图象对于原点对称，且22xfxx()求函数gx的分析式；()解不等式gxfxx1；()若hxgxfx1在1,1上是增函数，务实数的取值范围本题主要考察函数图象的对称、二次函数的基天性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识剖析和解决问题的能力.满分14分.解：()设函数yfx的图象上随意一点Qx0,y0对于原点的对称点为Px,y，则点Qx0,y0在函数yfx的图象上yx22x，即yx22x,故gxx22

12、x()由gxfxx1，可得2x2x10当x1时，2x2x10，此时不等式无解.当x1时，2x2x10，解得1x1.2所以，原不等式的解集为1,1.2（）hx1x221x1当1时，hx4x1在1,1上是增函数，当时，对称轴的方程为11x1.）当时,1解得111,1.）当时,1解得111,10.6(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.对定义域分别是D、D的函数y=f(x)、y=g(x),fgf(x)g(x)当xDf且xDg规定:函数h(x)=f(x)当xDf且xDgg(x)当xDf且xDg1(1)若函数f(x)=x1,g(x)=x2,xR,写出函

13、数h(x)的分析式;求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+),此中是常数,且0,请,设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.x2解(1)h(x)=x(-,1)(1,+)x11x=1x2=x-1+1(2)当x1时,h(x)=+2,x1x1若x1时,则h(x)4,此中等号当x=2时建立若x1时,则h(x)0,此中等号当x=0时建立函数h(x)的值域是(-,014,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=4则g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,44于是h(x)=f(x)f(x+

14、)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+2sin2x,=,2g(x)=f(x+)=1+2sin2(x+)=1-2sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(1+2sin2x)(1-2sin2x)=cos4x.7(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),此中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0对于点P1的对称点,A2为A1对于点P2的对称点,AN为AN-1对于点PN的对称点.求向量A0A2的坐标;(2)当点A0在

15、曲线C上挪动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,此中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4上的分析式;(3)对随意偶数n,用n表示向量A0An的坐标.解(1)设点A0(x,y),A0为P1对于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),A1为P2对于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),A0A2=2,4.A0A2=2,4,f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位获取.所以,曲线C是函数y=g(x)的图象,此中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4时,g(x)=lg