2023届高三数学小题狂练-解三角形的实际应用3（含解析）

1、试卷第 =page 7 7页，共 =sectionpages 8 8页试卷第 =page 8 8页，共 =sectionpages 8 8页一、单选题1如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（）ABCD2如图，在中，点D在线段BC上，且，则的面积的最大值为（）AB4CD3设锐角的内角的对边分别为，已知，则面积的取值范围为（）ABCD4在中，D在线段上，且，若，则下列说法错误的是（）A的面积为8B的周长为C为钝角

2、三角形D5在平行四边形中，对角线与交于点，且，则的取值范围是（）ABCD6如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45，然后从点C处沿南偏东30方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（）A50B30C25D157如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为，测得

3、表影长之差为，那么表高为（）ABCD8在中，角，所对的边分别为，若，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形9彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得塔顶的仰角为60，则塔高（）A30mBCD10在中，已知为边上的一点，且满足，的面积是面积的两倍，则的面积为（）ABCD11如图，四边形ABCD四点共圆，其中BD为直径，则的面积为（）ABCD12在中，角所对的边分别为，则面积的最大值是（）ABCD13阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图

4、，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，并按这样的规律继续下去，给出下列两个结论：存在正整数的面积为2022；对于任意正整数为锐角三角形.则（）A错误，错误B正确，错误C错误，正确D正确，正确14滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为，此人往膝王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于（）（忽略人的身高）（参考数据：）A49米B51米C54米D57米15已知的三边长分别为、，有以下4个命题：（1）以、为边长的三角形一定存在；（2）以、为边长的三角形一定存在

5、；（3）以、为边长的三角形一定存在；（4）以、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（）A1个B2个C3个D4个16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosAbcosB，则AABC为等腰三角形BABC为等腰三角形或直角三角形CABC为等腰直角三角形DABC为直角三角形17已知中，角、所对应的边分别为、，且，若的面积为，则的取值范围为（）ABCD18如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先在A处看到山顶的俯角为，经过后，又在B处看到山顶的俯角为，则山顶的海拔约为（）（结果精确到0.1，参考数据：）ABCD19已知内角，所对的边分别为，

6、面积为.若，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形20在中，内角、所对的边分别为、，且，则面积的最大值为（）ABCD二、填空题21某海轮以海里/时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向上，向北航行分钟后到达点，测得油井在点的南偏东方向上，海轮改为北偏东的航向再行驶分钟到达点，则、间的距离为_海里22南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、为三角形的三边和面积）表示.在中，、分别为角、所对的边，若，且，则面积的最大值为_.23已知等腰

7、三角形ABC的面积为2，其中ABAC，点O，M，N分别在线段BC，AB，AC上，AOBC且，当点M，N在对应线段上运动时（含端点位置），的最大值为_24已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，a3，则ABC的周长的最大值为_.25欧几里得在几何原本中，以基本定义公设和公理作为全书推理的出发点.其中第卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，中，四边形都是正方形，于点，交于点.先证与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理可得证.在该图中，若，则_.26已知、分别为的三个内角、的对边，且，点

8、是边上的中点，若，则的面积最大值为_27如图所示，公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH，在路灯杆前的点A（BC，NH，点A在同一平面内）处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45和30.再朝小树正前方行走到点M，此时M，N，B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m，小树顶点N处的仰角为60，则路灯杆BC的长为_m.28为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距的两点A，B处分别测得，则间的距离为_.29锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是_30拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外

9、构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于单位圆，以，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，.若，则的面积最大值为_.答案第 = page 23 23页，共 = sectionpages 24 24页答案第 = page 24 24页，共 = sectionpages 24 24页参考答案：1B【分析】先根据题意解出长度，设，得到，再分析求值域，判断取等条件即可求解.【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，所以，且，所以，又，所以，解得，即，设，则，所以在中，有，令，所以，所以，因为，所以，则

10、要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令， ，所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为：.故选：B.2C【解析】设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值【详解】解：设，则，同理，其中，当时，故选：C【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题3D【分析】利用辅助角公式可求得；将三角形面积表示为，根据正弦定理边化角，结合即可求得的范围，进而得到所求三角形面积.

11、【详解】由得：，；，解得：，；由正弦定理得：；为锐角三角形，解得：，.故选：D.4D【分析】在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答.【详解】如图，在中，因，由余弦定理得，则有，即，而，解得，又由余弦定理得，在中，由余弦定理得：，显然，的面积，A正确；的周长为，B正确；显然AB是最大边，角为钝角，C正确；，D不正确.故选：D5D【分析】不妨设（其中）. 在中，由余弦定理得到，基本不等式得到；在中，由余弦定理得，即可求出的取值范围【详解】如图示：不妨设（其中）.在中，由余弦定理得：，所以，且（当且仅当时等号成立）.在中，由余弦定理得：，即，所以.

12、又且，所以（当且仅当时等号成立）.即.所以的取值范围是.故选：D6B【分析】计算得到，在中利用余弦定理计算得到答案.【详解】设塔高的高度为，在中，因为，所以；在中，因为，所以；在中，根据余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故选：B.7C【分析】由题意画出图形，找出线面角，设，然后求解三角形得答案.【详解】如图，设表高，在中，由正弦定理有，所以，在直角三角形中，即.故选：C8A【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状【详解】因为，由正弦定理可得：，整理可得：，即，所以或者，所以或，而当时则，所以三角形为直角三角形，所以，则中，这时，

13、分母为0无意义所以，故选：A9D【分析】在中有，再应用正弦定理求，再在中，即可求塔高.【详解】由题设知：，又，中，可得，在中，则.故选：D10C【分析】由可得是的平分线，再由的面积是面积的两倍，可求出，结合角平分线的性质可得，由于，所以利用余弦定理化简可求出的长，再在中利用余弦定理求出，再由同角三角函数的关系求出，从而可求出三角形的面积.【详解】因为，所以，因为的面积是面积的两倍，所以，所以，又由题意是的平分线，所以，不妨设，结合已知得，由余弦定理得，解得，负值舍去，所以，所以，因为所以，所以，故选：C.11C【分析】先在利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出直径，进而利用直角三角形求出、，再

14、利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在中，因为，所以由余弦定理，得，由正弦定理，得；在和中，又，所以的面积为.故选：C.12A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得；利用余弦定理可构造等量关系求得，进而得到；利用三角形面积公式，将表示为以为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.【详解】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，即，则当时，.故选：A.13C【分析】由题设可得，中最大边为且，即可判断结论的正误.【详解】由题设知：且，而，所以不存在使的面积为2022，错误；又中最大边为，且，所以，故对于任意正整数为锐角三角形，正确.故选：C14D【分析】设滕

15、王阁的高度为，由题设可得，即可求滕王阁的高度.【详解】设滕王阁的高度为，由题设知：，所以，则，又，可得米.故选：D15B【分析】的三边长分别为、，不妨设，则，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案.【详解】的三边长分别为、，不妨设，则，对于（1）： ，所以，所以以、为边长的三角形一定存在；故（1）正确；对于（2）：不一定成立，因此以、为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；对于（3）：，因此以、为边长的三角形一定存在；故（3）正确；对于（4）： 取，因此、，能构成一个三角形的三边，而，因此以、为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，所以正确

16、的命题有个，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是设不妨设，则，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.16B【分析】首先利用余弦定理角化边，然后确定ABC的形状即可.【详解】由及余弦定理得，整理得，或，为等腰三角形或直角三角形.本题选择B选项.【点睛】判断三角形的形状有两种方法，一是把角化为边后进行判断，另一种方法是把边化为角后再进行判断.17B【解析】由三角形的面积公式可得，由余弦定理可得，利用可求得，可得出，并求得，利用三角恒等变换思想得出，结合正弦函数的基本性质可求得结果.【详解】由三角形的面积公式可得，

17、可得，由余弦定理可得，由，可得，解得，可得，则，所以，则，因此，故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.18B【分析】由解三角形知识求到的距离，

18、然后计算山顶海拔【详解】如图，过C点作直线的垂线，垂足为D.由题意得，因为，所以，又因为，所以.故山顶的海拔约为.故选：B19C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.【详解】因为，所以，即，由正弦定理可得：，因为，所以，因为，所以，所以，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.20B【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的

19、面积公式可求得结果.【详解】，所以，由正弦定理可得，即，、，则，则，由余弦定理可得，即，当且仅当时，等号成立，故.故选：B.21【分析】根据题意，画出草图，在中由正弦定理解出，在中，根据勾股定理求得.【详解】如图，在中，（海里），,由，得，解得海里在中，（海里），由已知得，所以（海里）,所以、间的距离为海里故答案为：.22【分析】由条件结合余弦定理可得出，然后利用二次函数的基本性质结合公式可求得面积的最大值.【详解】，则，可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，面积的最大值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本

20、不等式或二次函数的基本性质来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.23#【分析】过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为D，G，在OND与OMG中，通过解三角形表示出、再求最值即可.【详解】依题意，AB2，设，则，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为D，G，则ODOG1，在OND与OMG中，易得，则，当，即时，取得最大值故答案为：249【分析】由余弦定理可求得A，再由正弦定理得b2sin B，c2sin C，代入三角形的周长表示中，由三角恒等变换和正弦函数的性质可求得ABC的周长取得最大值.【详解】解：a2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A，A(0

21、，)，A.a3，由正弦定理得2，b2sin B，c2sin C，则abc32sin B2sin C32sin B2sin33sin B3cos B36sin，B，所以，当B时，ABC的周长取得最大值9.故答案为：9.25【解析】设AB=k，AC=m，BC=n，由勾股定理可得，由同角的基本关系式求得，在中，求得AE，分别运用余弦定理和正弦定理，计算可得所求值.【详解】设AB=k，AC=m，BC=n，可得，又，可得，在中，又，解得，由，化为，解得，又，可得，在中，即，可得，故答案为：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理

22、，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围26【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为，所以，即，所以，.，解得.，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，所以，.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理