角和角的比较知识归纳及经典习题

1、文档编码 : CG6U9N7V5F8 HR5P7M3U6M6 ZK4M7O4S10J3角（基础）学问讲解 【高清课堂：角 397364 角的概念】 要点一,角的概念 1 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶 点,这两条射线是角的两条边如图 OB 1 所示,角的顶点是点 O,边是射线 OA, 图 1 图 2 （2）定义二：一条射线围着它的端点旋转而形成的图形,射线旋转时经过的平面 部分是角的内部如图 2 所示,射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时,形 成的图形叫做角,起始位置 OA 是角的始边,终止位置 OB 是角的终边 要点诠释：

2、（ 1）两条射线有公共端点,即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的 长短无关 （ 2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点 O 旋转,当终止位置 OB 和起始位 置 OA 成一条直线时, 所形成的角叫做平角, 如图 2 所示连续旋转, OB 和 OA 重 合时,所形成的角叫做周角 1.以下语句正确选项 C 第 1 页,共 12 页A两条直线相交,组成的图形叫做角 B两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角 C两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角 D过同一点的两条射线组成的图形叫做角 【答案】 【解析】依据角的定义判定 【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线,角的两种描述

3、中都隐含 了组成角的一个重要元素,即两条射线间的相对位置关系,这是角与 “有公共端点 的两条射线 ”的重要区分 举一反三： 【变式】判定以下说法是否正确 1 两条射线组成的图形叫做角 2 平角是一条直线 3 周角是一条射线 2.角的表示法：角的几何符号用 “ ”表示,角的表示法通常有以下四种： 第 2 页,共 12 页要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时, 要在靠近角的顶点处加上弧线, 且注上阿拉 伯数字或小写希腊字母 写出图中 1 能用一个字母表示的角； 2 以 B 为顶点的角； 3图中共有几个角 小 于 180【答案与解析】 解： 1能用一个字母表示的角 A,C 2以 B 为顶点的角

4、ABE , ABC , CBE 3图中共有 7 个角 【总结升华】 1 顶点处只有一个角时,才可以用一个字母表示； 2一般数角时 不包括平角和大于平角的角 已知：如图,在 AOE 的内部从 O 引出 3 条射线,求图中共有多少个角？如 果引出 99 条射线,就有多少个角？ 分析：在 AOE 的内部从 O 点引出 3 条射线,那么在图形中,以 O 为端点的 射线共 5 条；其中,任意一条射线与其他 4 条射线都必构成一个角（小于平角的 角）；数角的时候要按确定的次序,从 OE 边开头数,这样可得到 4+3+2+1 个角, 所以,这 5 条射线共组成角的个数为 10 个角； nn 1 公式为： 2

5、；同理,假如引出 99 条射线,那么,以 O 为顶点的射线共 101 第 3 页,共 12 页条,构成的角的个数为 5050 个； 已知：如图,在 AOE 的内部从 O 引出 3 条射线,求图中共有多少个角？如 果引出 99 条射线,就有多少个角？ 分析：在 AOE 的内部从 O 点引出 3 条射线,那么在图形中,以 O 为端点的 射线共 5 条；其中,任意一条射线与其他 4 条射线都必构成一个角（小于平角的 角）；数角的时候要按确定的次序,从 OE 边开头数,这样可得到 4+3+2+1 个角, 所以,这 5 条射线共组成角的个数为 10 个角； nn 1 公式为： 2；同理,假如引出 99

6、条射线,那么,以 O 为顶点的射线共 101 条,构成的角的个数为 5050 个； 3.角的画法 （ 1）用三角板可以画出 30,45,60,90等特别角 （ 2）用量角器可以画出任意给定度数的角用量角器量角和画角的一般步骤： 对中 角的顶点与量角器的中心对齐 ；重合 一边与刻度尺上的零度线重合 ； 读数 读出另一边所在线的度数 （ 3）角的和,差关系：利用三角板除了可以做出 30, 45, 60,90外,依据 角的和,差关系,仍可以画出 15,75, 105, 120,135,150, 165的角 要点四,方位角 在航行和测绘等工作中,常常要用到表示方向的角例如,图中射线 OA 的方 第 4

7、 页,共 12 页向是北偏东 60；射线 OB 的方向是南偏西 30这里的 “北偏东 60和”“南偏西 30” 表示方向的角,就叫做方位角 要点诠释： （ 1）正东,正西,正南,正北 4 个方向不需要用角度来表示； （ 2）方位角必需以正北和正南方向作为 30；” “基准 ”,“北偏东 60一”般不说成 “东偏北 （ 3）在同一问题中观看点可能不止一个,在不同的观测点都要画出表示方向的 “十 字线 ”,确定其观看点的正东,正西,正南,正北的方向； （ 4）图中的点 O 是观测点,全部方向线 射线 都必需以 O 为端点 A 看 B 的方向是北偏东 30,那么 B 看 A 的方向是 A南偏东 60

8、 B南偏西 60 C南偏东 30 D南偏西 30 【答案】 D 【解析】依题意画出示意图由图可知,图中 1 即表示从 A 看 B 的北偏东 30, 2 是从 B 看 A 的方位角由此可确定从 B 看 A 是南偏西 30 【总结升华】 从本例的分析与结果来看, 从 A 看 B 与从 B 看 A 正好是一对对立的 第 5 页,共 12 页观看过程,其方向是一种 “相反 ”的对应关系方位角的确定第一以什么点为基点 （即 人站在此处观看）要弄清晰,再由正南或正北到视线夹角测量出来 举一反三： 【变式】 小王从家动身向南偏东 30的方向走了 1000 米到达小军家, 此时小王家 在小军家的方向 【答案】

9、北偏西 30 要点五,钟表上有关夹角问题 钟表中共有 12 个大格,把周角 12 等分,每个大格对应 30的角,分针 1分钟 转 6,时针每小时转 30,时针 1分钟转 0.5 ,利用这些关系,可帮忙我们解决 钟表中角度的运算问题 4 时 15 分时针与分针的夹角 . 【答案与解析】 如图（ 1）,AOC 301 30, BOC 15 所以 AOB 即 4 时 15 分时针与分针的夹角为 【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分 针的每分钟转速求解,比如解法一；其次种方法直接依据图形求夹角,如解法二 举一反三： 【变式】 2 时 48 分时针与分针的夹角 【答案】

10、 解法 2：如图 2 第 6 页,共 12 页BOD 304120, COD 2612, AOB 4824, 所以 AOC BOD+ COD+ AOB 156 即 2 时 48 分时针与分针的夹角为 156 要点二,角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度,分,秒,把一个周角平均分成 360 等份,每一份就是 1 1 1 的角, 1的 为 1分,记作 “ 1,1”的 为 1秒,记作 “ 1这”种以度,分,秒为 60 60 单位的角的度量制,叫做角度制 1周角 360, 1平角 180,1 60, 1 60 要点诠释： 在进行有关度分秒的运算时, 要按级进行, 即分别按度, 分,秒运

11、算, 不够减, 不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或 相加时,当低位得数大于 60 时要向高一位进位 1把 分别用度,分,秒表示 2把 45 12 3化0度 【思路点拨】第 1题中 中含有两部分 25和 ,只要把 化成分, 秒即可第 2题中, 45 12含3有0三部分 45, 12和 30,其 45已经是度, 中 只要把 12和 30化成度即可 【答案与解析】 解： 604,1 6012, 所以 25 4312 30 10.5 , 2 30 60 60 第 7 页,共 12 页所以 45 12 30 45.21 【总结升华】 无论由高级单位向低级化仍是由低级单

12、位向高级化, 都必需逐级进行, “越级 ”化单位简洁出错 举一反三： 【变式】 1把 转化为度,分,秒表示的形式； 2把 33 24 3转6化成度表示的形式 【答案】 2626 6206 26 +17 +0.4266017 +2246 17 24 233 243633 +24+36 1 33+24 6033 +24.633 1 60 【总结升华】在角度的和,差运算中应先统一单位,都化成度或分,秒表示,然 后再进行运算； 3,已知： A=50o24, o, C=50o14 24,”那么以下各式正确的 是（ ） B, A B=CC, BCA D, A, AB CB=C A 2.角的比较：角的大小比

13、较与线段的大小比较相类似,方法有两种 方法 1：度量比较法先用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小 方法 2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较 如比较 AOB 和 A O的大 B小： 如下图,由图（ 1）可得 AOB A O； B 由图 2可得 AOB A O；由 B图 3可得 AOB A O B 第 8 页,共 12 页3.角的和,差关系 如以下图, AOB 是 1 与 2 的和,记作：AOB 1+ 2；1 是 AOB 与 2 的差,记作： 1 AOB- 2 4.角平分线 从一个角的顶点动身,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平 分线如以下图, OC 是 AOB 的角

14、平分线, AOB 2AOC 2BOC, AOC BOC = 1 AOB 2要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架 一样 如以下图,已知 OC 平分 BOD ,且 BOC20,OB 是 AOD 的平分线,求 AOD 的度数 第 9 页,共 12 页【答案与解析】 解：由于 OC 平分 BOD ,且 BOC 20, 所以 BOD 2BOC=2 20 40 又 OB 是 AOD 的平分线, 所以 AOD 2BOD 240 80 【总结升华】应用角的平分线的定义时依据两点：如 OB 是 AOC 的平分线,就 AOB BOC 1 AOC ； AOC 2 AOB 2 BOC

15、,在解题时要学 2会灵敏应用 举一反三： 【变式】已知：如图,OM 是 AOB 的平分线,ON 是 BOC 的平分线, AOC=80 , 求： MON. 【答案】 OM 平分 AOB , ON 平分 COB , MOB= 1 AOB , BON= 1 BOC. 角平分线的定义 2 2MON= MOB+ BON = 1 AOB+ 1 BOC= 1 AOB+ BOC 2 2 2= 1 AOC= 1 80 =40 . 2 2即 MON=40 . 图中, AOB= BOC=COD= DOE,就有 （1） =4AOB （2） = =3 BOC 第 10 页,共 12 页（3） （4） = = = =1/

16、2AOE =2/3 =2/3 =COE=1/2 如图,已知 AOB90, BOC 30, OM平分 AOC, ON平分 BOC； （ 1）求 MON的度数； （ 2）假如已知中 AOB 80,其他条件不变,求 MON的度数； （ 3）假如已知中 BOC 60,其他条件不变,求 MON的度数； （ 4）从（ 1）,（ 2）,（ 3）中你能看出有什么规律？ （ 1）因 OM平分 AOC,所以 MOC1AOC； 2 又 ON平分 BOC,所以 NOC 1BOC； 2所以 MON MOC NOC 1AOC 1BOC 1AOB； 2 2 2而 AOB 90,所以 MON45； （ 2）当 AOB 80,其他条件不变时, （ 3）当 BOC 60,其他条件不变时, MON 1 80 40； 2MON 45； （ 4）分析（ 1）,（2）,（3）的结果和（ 1）的解答过程可知： MON的大小总等 于 AOB 的一半,而与锐角 BOC 的大小变化无 关； OM 是 AOB 的平分线,射线 OC 在 BOM 内,ON 是 BOC 的平分线,已知 AOC=80o,那么 MON 的度数是多少 . 解： 第 11 页,共 12 页设 COM x, CON y 的平分 又 OM , ON 分别是角平分