解析几何中设而不求专题练习含参考答案

1、文档编码 : CF9J8Y9F8H10 HA7V3Q2U5N6 ZG1D2F9F1C6. -解析几何中设而不求专题练习设而不解析几何的重要解题策略,在许多题目的解答中,常常可以起到简化运算的作用；许多同学会问：什么情形下,可以通过设而不求解答问题呢？一、利用曲线与方程的关系：1.两圆C 1:x22 y2x10yx24y0,C2:x22 y2x2y80,求两圆的公共弦方程及弦长；2. 过圆外一点Pa, b引圆22r2的两条切线,求经过两个切点的直线方程；二、利用圆锥曲线的定义：1. 椭圆x2y21,F 1、F 2为焦点,点P 为椭圆上一点,F 1PF 23,求SF 1PF 2；259三、利用点差

2、法：. . word.zl-. -1. 求过椭圆x24y216一点 A1,1的弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程；四、利用韦达定理：1. 椭圆 C1 的方程为x2y21,双曲线 C2 的左、右焦点分别为C1 的左、右顶点,而C2的左、右顶点分4别是 C1的左、右焦点 . 求双曲线C2的方程；62与椭圆 C1及双曲线 C2都恒有两个不同的交点,且l 与 C2的两个交点A假设直线l:ykx. word.zl-和 B 中意OAOB其中 O 为原点,求 k 的取值围 . . . -2. 平面上确定点C 4, 0和确定直线l:x,1P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q ,且PC2PQPC2PQ0. 1问

3、点 P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；2设直线l:ykx1与 1中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过点. word.zl-D0, 2？假设存在,求出k 的值,假设不存在,说明理由. . . -五、 对多元问题,围绕解题目标,通过逐步消元,实现设而不求1. 抛物线x2y0与过点M0 ,1的直线 l 相交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,假设直线OA 和 OB斜率之和是 1,求直线 l 的方程；2.点 P 3,4为圆 C：x2y264一点,圆周上有两动点A、B,当 APB=90 时,以 AP、BP 为邻边,作矩形 APBQ ,求顶点 Q 的轨迹方程

4、；. . word.zl-. -补充练习：2 21、设 1F 、F 分别是椭圆 2 x y 1 的左、右焦点 . 5 4假设 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1PF 2 的最大值和最小值；是否存在过点 A5, 0的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得 |F 2C|=|F 2D| ？假设存在,求直线 l 的方程；假设不存在,请说明理由 . 解：易知 a 5 , b ,2 c ,1 F 1 0,1 , F 2 0,1 设 Px,y,那么 PF 1 PF 2 1 x , y 1 x , y x 2 y 2 12 4 2 1 2x 4 x 1 x 35 5x 5 , 5 ,当 x 0,即点

5、 P 为椭圆短轴端点时,PF 1PF 2 有最小值 3；当 x 5,即点 P 为椭圆长轴端点时,PF 1PF 2 有最大值 4 假设存在中意条件的直线 l 易知点 A 5,0在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 y k x 5 2 2由方程组 x5 y4 1,得 5 k 24 x 250 k x 2125 k 220 0y k x 52 5 5依题意 2016 80 k 0,得 k5 5当 5k 5时,设交点 C x 1 , y 1 、D x 2 , y 2 ,CD 的中点为 R x 0y 0 ,5 52 2那么

6、x 1 x 2 502 k , x 0 x 1 x 2 252 k5 k 4 2 5 k 42y 0 k x 0 5 k 252 k 5 202 k .5 k 4 5 k 4又|F 2C|=|F 2D| F 2 R l k k F 2 R 1. . word.zl-. -kkF 2Rk0120 k420 k2215 k22425 k20 k5 k24所以不存在直线l ,使得 |F 2C|=|F2D| 20k 2=20k24,而 20k2=20k24 不成立,综上所述,不存在直线l,使得 |F 2C|=|F2D| P 为圆M上的动点,点Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且2. 圆M:x5

7、2y236 ,定点N5, 0 ,点中意NP2NQ ,GQNP0. I求点 G 的轨迹 C 的方程； II 过点 2, 0作直线 l ,与曲线C 交于 A、B 两点, O 是坐标原点,设OSOAOB ,是否存 l 的方在这样的直线l ,使四边形OASB 的对角线相等即|OS|=|AB|？假设存在,求出直线程；假设不存在,试说明理由. 解： 1NP2 NQQ 为 PN 的中点且 GQ PN GQPN0GQ 为 PN 的中垂线|PG|=|GN| a3,半焦距c5,|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长短半轴长b=2 ,点 G 的轨迹方程是x2y21 5

8、 分94 2由于OSOAOB,所以四边形OASB 为平行四边形假设存在 l 使得 | OS|=|AB | ,那么四边形OASB 为矩形OAOB0假设 l 的斜率不存在,直线l 的方程为 x=2,由x2y2得 1x225x2y943OAOB160 ,与OAOB0冲突,故 l 的斜率存在 . 7 分9设 l 的方程为ykx2 ,A x 1,y 1,B x 2,y 2yk x2 由2 xy21 9 k24 2 x36 k2x36 k21094x1x2936k24,x 1x236k21k29k24. word.zl-. . -y 1y2kx 12 kx 22 20k24 9 分OASB 的对角线相等

9、. k2x 1x22x 1x24 9k2把、代入x1x2y 1y20 得ky32存在直线l:3 x2y60 或3x260使得四边形答案：一、利用曲线与方程的关系：1. 两圆方程相减,得 x 2 y 4 0,两圆的交点坐标均中意此方程,故此方程即为公共弦所在直线2方程；又圆 C 的圆心 C 2 1, 1 到公共弦的距离 d 1 2 4 5,且 d 2 l r 2 2 l 为公共5 22 2弦长,l 2 r 2 d 2 5,即公共弦长为 2 5 ；注：其中求公共弦的方程时即用到了设而不求思想；2. 解：设两个切点分别为P1x ,y1,P2x ,y2,那么切线方程为：lPP 1:ax1by1r2,l

10、PP 2:ax2by2r2；x ,y2都中意方程axbyr2,由直线方程的定义得：axby2r,即可见 P1x ,y1,P2为经过两个切点的直线方程；二、利用圆锥曲线的定义：1. 解析：由题意知点 P 为椭圆上一点,依据椭圆的定义 | PF 1 | | PF 2 | 10；再留意到求 S F 1PF 2 的关键是求出 | PF 1 | | PF 2 | 这一整体,那么可接受如下设而不求的解法：设 | PF 1 | r 1,PF 2 | r 2由椭圆定义得 r 1 r 2 10 由余弦定理得 r 1 2r 2 22 r 1 r 2 cos 64 3. . word.zl-. -2得,r 1r 2

11、1233SF 1PF 21r 1r 2sin32三、利用点差法：1. 解析：设动弦 PQ 的方程为 y 1 k x 1 ,设 Px ,y 1,Qx ,y 2, Mx ,y 0,那么：2 2x 1 4 y 1 16 x 22 4 y 22 16 得： x 1 x 2 x 1 x 2 4 y 1 y 2 y 1 y 2 0当 x 1 x 2 时,x 1 x 2 4 y 1 y 2 y 2 y 1 02 2 x 2 x 1由题意知 x 1 x 2 x 0,y 1 y 2 y 0,y 2 y 1 k,即 x 0 4 y 0 k 0 2 2 x 2 x 1式与 y 0 1 k x 0 1 联立消去 k,

12、得 x 0 2 4 y 20 x 0 4 y 0 0 当 x 1 x 2 时, k 不存在,此时,x 0 1,y 0 0,也中意；故弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程为：x 2 4 y 2 x 4 y 0；注：通过将 P、Q 的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减；这里,代点相减后,适当变形,显现弦 PQ 的斜率和中点坐标,是实现设而不求的关键；四、利用韦达定理：1. 解：设双曲线C2的方程为x2y2y21,那么a2x241,3再由a20.b2c2得b21.2ab2故 C2 的方程为x2y21.1 得 14k282kx432代入x2II 将ykx4由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不

13、同的交点得1 822k216 14 k216 4 k21,0. word.zl-. . -即k21.2kx190. 4将ykx2 代入x2y21 得13 k2x263由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点A,B 得xB913k20 ,262k23613 k2361k20.即k21且k21.3设AxA,yA,BxB,yB,就xAxB62k,xA13 k23k2由 OAOB6 得xAxByAyB6 ,而xAxByAyBxAxBkxA2kxB2k21xAx B2 kxAx B2k211922k62 k23 k13 k23 k27.3 k21于是3k276 ,即15k2130.解此不等式得3k2

14、13k21k213或k21.153由、得1k21或13k21 .1, . word.zl-4315故 k 的取值围为,1133,1 21,31315323152. 解：1设 P 的坐标为x,y,由PC2 PQPC2PQ 0得|PC|24|PQ|202 分 x4 2y24 x12,04 分化简得x2y21. P 点在双曲线上,其方程为x2y21.6 分412412 2设 A、 B 点的坐标分别为x 1y 1、x 2y2,. . -ykx1BD1,由x2y21得 3k2x22 kx13,07 分412x 1x232k2,x1x23132,8 分kkAB 与双曲线交于两点,0,即4k24 3k213

15、 0 ,解得13k13.9 分22假设以 AB 为直径的圆过D0, 2,那么 AD BD,kADk即y 12y2221,10 分x 1x90. 12分y 12y 22x x 20kx 13 kx 23x x 20,k21 x 1x23kx 1x290k21 31323k32k2kk解得k27,k1413,13,故中意题意的k 值存在,且k 值为14 . 48422五、 对多元问题,围绕解题目标,通过逐步消元,实现设而不求1. 解：设点A x 1,y 1,点B x 2,y 2,直线 l 的方程为ykx1,1 . 1,那么ky2y 1x2 22 x 1x 12x 2,由条件,22k OAk OBx2x 1x 2x 1y 1y 21,又y 12 x 1,y22 x 2,那么x 1x21,即x 1x2x 1x 222222于是k1是