同济第六版《高等数学》教案WORD版

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 同济第六版高等数学教案WORD版 最新资料推荐 1 / 41 第十章 曲线积分与曲面积分 教学目的： 1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2. 把握计算两类曲线积分的方法。 3. 熟练把握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，把握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。 6 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点: 1、两类曲线积分的计算方

2、法； 2、格林公式及其应用； 3、两类曲面积分的计算方法； 4、高斯公式、斯托克斯公式； 5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点： 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上,已知曲线形构件在点(x ,y )处的线密度为(x ,y ). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n

3、小段,?s 1,?s 2,?,?s n (?s i 也表示弧长); 任取(i ,i )?s i , 得第i 小段质量的近似值(i ,i )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i n i s M ?=),(1; 令=max?s 1,?s 2,?,?s n 0, 则整个物质曲线的质量为 最新资料推荐 2 / 41 i i i n i s M ?=),(lim 10. 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线弧,函数f (x ,y )在L 上有界.在L 上任意插入一点列M 1,M 2,?,M n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为?s

4、 i ,又(i ,i )为第i 个小段上任意取定的一点,作乘积f (i ,i )?s i ,(i =1, 2,?,n ),并作和i i i n i s f ?=),(1,假如当各小弧段的长度的最 大值0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f (x ,y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作ds y x f L ),(?,即i i i n i L s f ds y x f ?=?),(lim ),(10. 其中f (x ,y )叫做被积函数,L 叫做积分弧段. 设函数f (x ,y )定义在可求长度的曲线L 上,并且有界. 将L 任意分成n 个弧段:?s 1,?s 2,?,?s

5、 n ,并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(i ,i ),作和i i i n i s f ?=),(1; 令=max?s 1,?s 2,?,?s n ,假如当0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f (x ,y )在曲线弧L 上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分,记作 ds y x f L ),(?,即 i i i n i L s f ds y x f ?=?),(lim ),(1 0. 其中f (x ,y )叫做被积函数,L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性:当f (x ,y )在光滑曲线弧L 上连续时,对弧长的曲线积分 ds y x f L ),(?是存在

6、的. 以后我们总假定f (x ,y )在L 上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?的值, 其中(x ,y )为线密度. 对弧长的曲线积分的推广:i i i i n i s f ds z y x f ?=?),(lim ),(1 0. 最新资料推荐 3 / 41 假如L (或)是分段光滑的, 则规定函数在L (或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2,则规定 ds y x f ds y x f ds y x f L L L L ),(),(),(2 121?+=+. 闭曲线积分:

7、假如L 是闭曲线,那么函数f (x ,y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作 ds y x f L ),(?. 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则 ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),(),(),(2121?+=+; 性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则 ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(2 1?+=; 性质3设在L 上f (x ,y )g (x ,y ), 则 ?L L ds y x g ds y x f ),(),(.

8、 特别地, 有 ?L L ds y x f ds y x f |),(|),(| 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义, 假如曲线形构件L 的线密度为f (x ,y ), 则曲线形构件L 的质量为 ?L ds y x f ),(. 另一方面,若曲线L 的参数方程为 x =?(t ),y = (t )(t ), 则质量元素为 dt t t t t f ds y x f )()()( ),(),(22?+=, 曲线的质量为 ?+?dt t t t t f )()()( ),(22. 即?+= ?dt t t t t f ds y x f L )()()( ),(),(22. 最

9、新资料推荐 4 / 41 定理设f (x ,y )在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为 x =?(t ),y =(t ) (t ), 其中?(t )、(t )在,上具有一阶连续导数,且?2(t )+2(t )0,则曲线积分 ds y x f L ),(?存在, 且 dt t t t t f ds y x f L )()()(),(),(22? +=?(). 证明（略） 应注意的问题:定积分的下限一定要小于上限. 探讨: (1)若曲线L 的方程为y =(x )(a x b ),则 ds y x f L ),(?=? 提醒:L 的参数方程为x =x ,y =(x )(a x b ), dx

10、 x x x f ds y x f b a L ?+=)(1)(,),(2. (2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c y d ),则 ds y x f L ),(?=? 提醒:L 的参数方程为x =?(y ),y =y (c y d ), dy y y y f ds y x f d c L ?+=1)(),(),(2?. (3)若曲的方程为x =?(t ),y =(t ),z =(t )(t ), 则ds z y x f ),(?=? 提醒:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()(),(),(),(222?+=?. 例1计算ds y L ?,其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧. 解曲线的方程为y =x 2 (0 x 1),因