也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响

1、也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响金彪（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353）O P 图1贵刊（物理教教师）20010年第11期弹簧质量量对弹簧振子子振动周期的的影响一文文，指出了贵刊（同上）20009年第55期非轻质质弹簧问题的的分析一文文中的错误，认认为“一质量为m的弹簧与物物体M（视为为质点）组成成的一个弹簧振子，弹簧振子子的振动周期期为。”的结论是错错误的，并经经过计算后得出：一质量量为的弹簧与与一质量为的的质点组成的的“弹簧振子”震动周期为为：。而笔者者认为此结论论同样是错误的，我们们可以先假设设，即去掉质点点M,让质量为的弹弹簧自由振动，振动稳定时时，振动的周期由由上式

2、得。这个结结论是否正确确呢？总长度度为L，质量为m，劲度系数数为k的弹簧一端端固定，另一一端自由（如如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？O P 图1设另有一根弹簧簧的总长度很很长，质量均匀分分布，且弹簧簧单位长度的质量为，劲劲度系数为。让让这根弹簧两两端以相同的的振幅和频率率沿弹簧方向向振动起来，稳稳定后必然在在弹簧上形成成驻波。调节节波源频率，使使长弹簧的波波长恰好为44L，则相邻波腹与波波节的距离恰恰好为L。由于驻波的的波节振幅为为零，与图1弹簧的的固定点O一一样；驻波的的波腹振幅最最大，与自由点P一样样，可得图11弹簧的振动动与长弹簧波波节到相邻波波腹振动情况况完全一样。由由于固

3、体中弹弹性纵波的波波速 （11）其中Y为杨氏模模量，为密度，对于于上述弹簧来说说，等效密度度和杨氏模量量分别为：，代入（1）式式得： （2）欲使弹簧波波长长为4L，则图1弹簧的固固有周期为： （33）由此可知“弹簧簧质量对弹簧簧振子振动周周期的影响”一文的结论论是错误的。那那么为什么会会引起这样的的错误呢？该该文认为：“对距O点为为l的一小段弹弹簧，其振动动速度可表示示为。”并且“弹簧的弹性性势能”，这两个关关系式的前提提都是弹簧的的形变量是均均匀的。事实实上当弹簧的的质量不能忽忽略时，弹簧簧的形变量是是不均匀的，离离固定点O越近的地方方受到的弹力力越大，形变变量也就越大大（示意图如图22所示

4、）。这是该文结论论为什么会错错的原因。那那么“一质量为的弹弹簧与一质量量为的质点组组成的弹簧振子震动周期”为多少呢？O P 图2M设某时刻物体MM离开其平衡衡位置的位移移为，速度为为，加速度为为；而平衡位置置距O点为l的一小段弹弹簧离开其平平衡位置的位位移为，速度为，加速速度为。由于于所有质点的的振动都同相相，则有：。又又由于每一段段弹簧离开平平衡位置的位位移都等于它它左侧所有小小段的伸长量量之和，则距距O点为l的一小段弹弹簧的伸长量量为，劲度系数为为，则其弹力为为，质量为。其与相邻小小段弹簧的弹力差差，即其所受受合力为。化简可得：O P 图2M由于M物体振动动时的与反向，即为负负值，则根据据

5、常微分方程程的理论，上面微分方方程的解可写写作。其中A为与M离开开平衡位置的的位移有关的的变量，由于O点附近的的质元离其平平衡位置的位位移趋向于零零，可得=0。即： （44）则每一小段弹簧簧的形变量为为 相应的小段弹簧簧弹力为 （5）对于连接M物体体的那小段弹簧，代入入（5）式得得 （6）当时，即没有物物体M时：由（6）式得： （7） （88）得到与（3）式式相同的结论论。而当时，即弹簧簧质量忽略。则每一小段弹簧簧的形变量都都相等，即弹弹簧的形变是是均匀的，此时的弹簧振子即我我们平时看到到的弹簧质量量可忽略的理理想弹簧振子子，其周期为为当时，由（6）式式得： （9） 由（44）得： （10）设，将之与（110）式一起起代入（9）式得： （11）上式中M、m、k为定值，为我们所求求弹簧振子的的圆频率。显显然只有当为为特殊值时，该该超越方程才才有精确解，否否则只能是近近似解。例如如：当，即时， （112） 此即理想弹簧振振子的圆频率率。当，即时，即可得与（8）式式一样的结论论。当，当，等等。而此时