第一轮复习放缩法技巧全总结

1、放缩法在数列不等式中的应用数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地 位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求 解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困 难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如 下。直接放缩，消项求解例1在数列】, b 中，a =2, b = 4 ,且a , b , a成等差数列，b , a , b成等比数列.n n11n n n+1n n+1 n+1n g N *,(I)求a , a , a及b ,b ,b ,由此猜测a , b

2、的通项公式,并证明你的结论；234234n n(II)证明：_ + + + A . a + b a + b a + b 121122n n分析:(I )数学归纳法。(II)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积， 通过裂项求和。(I)略解 a = n (n +1) b = (n +1)2 .(II)= 1 2(n + 1)n a1 + b16 12n n11+n(n +1)/6 22x3 3 x 4综上，原不等式成立.1 15综上，原不等式成立.+ =6 4 12点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差 型因式之积。再用裂项的方

3、法求解。另外，熟悉一些常用的放缩方法，如：上 - -(k =1,2,2n n + k n +1n)1 1 如：上 - -(k =1,2,2n n + k n +1n n +1 n( n +1) n 2n( n 1) n 1 n例2设数列a 满足a1 = 1, a = ca +1 c,c g N *其中c为实数证明：a g 0,1对任意n g N*成立的充分必要条件是c g 0,1； 设 0 c 1 (3c) n1, n g N *;分析:(I )数学归纳法证明(II)结论可变形为1 a” (3c) n1，即不等式右边为一等比数列通项形式，化归思路为对1-七用放缩法构造等比型递推数列， TOC

4、o 1-5 h z 艮口 1 a = c(1 a )(1 + a + a 2) V 3c(1 a ) nn1n1 n 1n1解：(1)解略。(II)设0 c 2时，. 0 c -，由(1)知 a e 0,1，所以 1 + a + a2 03n1n1 n1n1点评：直接对多项式放大后，得到的是等比型递推数列，再逐项递推得到结论。通过放缩 得到等比型递推数列是求解数列不等式的另一个重要的类型。利用基本不等式放缩例 3 已知数列a ， a 0， a = 0， a 2 + a 1 = a 2(n e N )，记 nn1n+1n+1nS = a + a + a，T = + +n 12 n n 1 + a

5、.(1 + a. )(1 + a )(1 + a. )(1 + a )(1 + a )求证：当 n e N时，(I) a n 2 ；(III) T 0的条件下，a a的等价形式为a 2 a 2，要证a 2 0,即证an 1，可用数学归纳法证明 由ana=1 a.累加及a. 1可得 和式通项的分母由1 + a累乘得到的，条件中可有a (1 + a ) = 1 + a 2得到，但nk+1k+1k(1 + a ) =的分子分母次数不同，可用基本不等式将其化为等比型递推数列k+1ak+1解略。解略。(I)证明：由a 2 + a=1 + a 2 N 2a，得k+1k+1kk所以m1 W-4(a N 3)

6、，(1+ a )(1+ a ) (1+ a )2n2 a34n2 TOC o 1-5 h z 于正(1+ a )(1+ a ) (1+ a ) 2n2(a2 + a ) 2n2 2n2 3)，23n22故当n N 3时，T 1 +1 +1 + +上 3,又因为T T T，所以T 3 .n22n - 21 2 3n点评：本题第三问，基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能，在公比|0| 0 ,工a 1, k = 1,2, nkk +1k+2ii=12 一求证：0 a - a 厂（k = 1,2,.）.分析：有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。证明：若有某个a a ，则a a

7、 - a + a a ，从而从a起，数列a 单调递 kk+1k +1kk+1k+2k+2kn增，和S = a + a + . + a会随n的增大而趋向于无穷，与工a 0 得 a - a a - a ， kk+1k+2k k+1k +1k+2即 b b , k = 1,2,由于 1 a + a + akk +112k故b故bk 0,1(1 + a )(1 + a )(1 + a )12n1(1 + a 2) n-1 T 上1+ ,+ T 2而a2 =二 2所以问题得证1 + a2放缩法在数学归纳法的应用数列不等式是与自然数有关的命题，数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方 法。应用数学归纳法证明时，通常要利用放缩法对条件进行适当的转化，才能实现由n = k 时成立到n = k +1时也成立的过渡。举例略。综合以上分析，我们发现，在数列不等式的求解过程中，通过放缩法的应用，主要使 数列不等式转化为以下两种类型：（1）可直接裂项的形式，再求和证明求解。（等差型） （2）等比型递推数列，以 1时，数列前n项和有界。（等比型）数列不等式是一类综合性较强的问