简谐运动应用

1、t时刻质点的位移为X,速度为力t时刻质点的位移为X,速度为力则v = - A sin St +甲)则系统动能为：E = mv2 =上mA2m2 sin2(ot +甲)k 22系统势能为：E = 1 kx2=1 kA2 cos2(mt + 甲)p 22因而系统的总能量为E=E +E = mA2m2 sin2(mt + 甲儿2kA2 cos2(mt + 甲)时何关。14-5简谐运动的能量Energy of Simple Harmonic Vibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而 具有势能，动能和势能之和就是其能量。一、简谐运动的能量能量表达式推导以弹性振子

2、为例。假设在x = A cos如t + 甲)k p 2k 考虑到m 2=，则m TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 1E= mA2m 2= kA2 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 2结论弹簧振子作简谐运动的能量与振 幅的平方成正比。D解释由于系统不受外力作用，并且内力为 保守力，故在简谐运动的过程中，动能与 势能相互转化，总能量保持不变。说明E-A2,对任何简谐运动皆成立；动能与势能都随时间作周期性变化， 变化频率是位移与速度变化频率的两倍， 而总能量保持不变；且总能

3、量与位移无动能E =E-E k p2.能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量f(t),在时间T内的平均值定义为f - TT f （t 怀0因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为E = T j2mA22 sin侦t + 甲知4 mA 2 2 4 kA2 0因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为E j kA2 cos2 wt + 平力t kA2 mA220结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等 于总能量的一半。三、应用1.应用1记忆振幅公式由能量守恒关系可得：kA2/2= mv/2+ kx02/2 解之即得：I /、, 2.应

4、用2推导简谐运动相关方程在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重 力势能），且二者之和保持不变，因而有A EA=x2.应用2推导简谐运动相关方程在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重 力势能），且二者之和保持不变，因而有A Edt k+Ep将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐 运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。此方法对于研究非机械振动非常方便。例1.用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bo

5、okmark70 o Current Document 11 八mv 2 + kx 2 = kA 2 = C HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 22两边对时间求导，得dv 1dxm , 2v + k , 2x 0dt 2dtd2x ,m - v+ k - xv 0dt 2d2 x k 八dt 2+ xdt 2m令 w 2=k m竺+w2x-0dt 2其解为X = A cosMBt + 甲)代入守恒方程可得A=A例2.劲度系数为奴原长为/、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系 质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。解：取物体

6、受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设f ff FJr r r r. 汗 t Jr下iTm V差很小，这里只平=甲=0,-V I的情形，即两个频率相1 12此时与A +A之间。振动1，=A cos t=A cos 2kv t TOC o 1-5 h z 1101x = A cos t=A cos 2kv t22202x = x + x = A c o 2kv t + A c o 2kv tV +V +v 112=2 A c o 2兀 t c o 2k02 JV +Vt随时间变化比cos2k t要缓慢得多，因V -V +Vt随时间变化比cos2k t要缓慢得多，因 HYPERL

7、INK l bookmark195 o Current Document 由于 2A cos 2k t1此可以近似地将合振动看成是振幅按V -V2A cos 2k 1102缓慢变化得角频率为V +v的“准周期运动”。这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）。第12讲机械振动一一简谐运动的应用 即合振动的频率为：土孕！ 合振幅变化的周期：T = 1/|v V TOC o 1-5 h z 1 21拍频：V = V VI 2用旋转矢量法理解：_假设V2 V 1，所以A比 、4转动得快，当气转到与q 反方向位置时，一合振幅最小;当

8、A转到与A同方向位置时，合振幅最大，并且这种变化是周期性的。拍的应用：用音叉的振动来校准乐器；利用拍的规律测量超声波的频率；在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制三、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动x 方向：x = A cosOot + 甲）y 方向：y = A cosCot + 甲）x改写为：一=cos ot cos 中 sin ot sin 中iy=cosot cos中 一 sin ot sin 中2分别对上述两式乘以cost sinst，并相加，可得+ -AA- cos（p 一甲）=sin 2 （p 一甲）121这是椭圆方

9、程，其形状由分振动的振幅AA2和相位差甲=P -甲确定：（1 ） 甲=甲一甲=0时，A21y = 了 x，轨迹为直线（简谐运动）；A1（2 ） 甲=p p =兀时，A21y = -x，轨迹为直线（简谐运动）;A1A丸（3 ） 甲=p2 P1=-日寸，x2 y2-厂+斗=1，轨迹为椭圆（正椭圆）;A 2 A 212问题：某质点同时参与两个不同频率的互相垂直方向的简谐运动x = A问题：某质点同时参与两个不同频率的互相垂直方向的简谐运动x = A c o 如 t + 甲）V = A cos（W t + 甲）分两种情2况讨论。2T.fT,J，、入3兀，X2 V2（4）甲=甲2-甲时，a+- = 1,

10、轨迹为椭圆（逆椭圆）。12关于（3）的说明：V方向的振动相位比X方向超前兀/2,当质点在X方向 达到最大位移时，在V方向质点正通过原点向负方向运动，因此质点沿椭圆轨 道运动的方向是顺时针的，或者说是右旋的。另外，当0中兀时，质点沿顺时针方向运动；当兀小中 0时， 质点沿顺时针方向运动。四、两个相互垂直的不同频率两个简谐运动的合成X方向：V方向：合振动比较复杂两个分振动的频率相差很小：此时可以近似地把两个振动的合成看 成同频率简谐运动的合成，但它们的相位差 随时间缓慢地变化，于是合振动的轨迹将由 直线变为椭圆，又由椭圆变为直线，并循环 地改变下去。两个分振动的频率相差较大，但 有简单的整数比关系

11、：此时合振动的轨迹为封闭的图形，称 为李萨如（Lissajous Figures）图形。该 图形的的具体形状取决于两个互相垂直 方向简谐运动的频率之比合初相位，并且 该图形坐标轴的切点之比与频率之比相 等。用此方法可以测量一未知振动的频率 与相互垂直方向的两个简谐运动的相位 差。 14-7阻尼振动、受迫振动、共振Damped Vibration, Forced Vibration, Resonance简谐运动的振幅不随时间变化，这就是说，振动一经发生，就能够永远不 停地以相同的振幅振动下去。这是一种理想的情况，称为无阻尼自由振动。实际上，任何振动系统都会受到阻力的作用，系统的能量将因不断克服阻

12、 力作功而损耗，振幅将逐渐减小。这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 为了获得所需的稳定振动，必须克服阻力的影响而对系统施以周期性外力的作 用。这种振动称为受迫振动。本节讨论这种情况。、阻尼振动 Damped Vibration引言：消耗系统能量的两种方式：摩擦阻尼：系统与周围介质或系统内部的摩擦，使系统的能量变为热能；辐射阻尼：振动向外界传播而将系统的能量变为波动能量。本节讨论第一种阻尼作用下的振动情况。什么是阻尼振动？振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。阻尼振动的运动（微分）方程在系统的振动过程中，振子除了受到弹性力的作用外，还受到粘滞阻力的 作用。当物体速度不太大时，粘滞阻力大小

13、与速度的大小成正比，方向相反。# 厂厂dxf = CvC dt其中C是阻尼系数，由物体的形状、大小和周围介质的性质而定。在有阻力作 用时，根据牛顿第二定律，有d2 x八 dx 7m = C kxdt 2dtk 二 C令一云=2m，则上式可写成d2xdx . 八+2。一 + 2x=0 dt2dt0其中30是系统的固有角频率（natural angular frequency）， 0是表征系统阻尼的 大小，称为阻尼因子，乃越大，阻力越大。讨论：阻尼振动的微分方程的特征方程（即将eDx形式的解代入此方程，化简后可得）为 D 2+2 BD+s 2=0 02 S 2 02 S 2 02 S 2 02 =

14、 S 2 0阻尼较大 阻尼较小 临界阻尼B土J?2s0D = - ? 讨32 ? 2土 - P 0弱阻尼(情况2)解为 x = A e-Pt c o to t + 甲)A0、中：积分常数，由初始条件确定；o=(o0 -P 2 :阻尼振动的角频率， 由振动系统的固有角频率和阻尼因子确定。由振动方程可知，阻尼振动可看成是振幅为A0e-Pt,角频率为的振动，阻尼振动的振幅为 A0e-Pt随时间作指数衰减，阻尼越大，振幅衰减越 快，不是简谐运动。在阻尼不大时，可近似地看 成是一种振幅逐渐减小的振动，周期为-2兀2兀T = JO2-P 20注意：阻尼振动不是严格意义下的周期运动，因为经过一定时间后，振子

15、不在回到原来的位置。通常称为准周期运动。2)过阻尼(Over damping，情况1)解为x = Ce一仲-2-oo + C e一P+叩2-o2)可见偏离平衡位置的振子只能缓慢地回到平 衡位置，不再作周期性的往复运动，是一种非周 期运动。3)临界阻尼(critical damping 情况 3)解为 x =(C + C t、e-pt振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界 阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。此时，p可以理解为衰减常量(attenuation constant)，它的倒数称为弛豫 时间(relaxation time)，T =1/p，p越大

16、，弛豫时间越短，则振动衰减越快。 4.应用减小阻尼：活塞增大阻尼：弦乐器、空气箱、减振器利用临界阻尼：阻尼天平、灵敏电流计：使指针尽快回到平衡位置， 节约时间，便于测量。二、受迫振动 Forced Vibration引言一切实际的振动都是阻尼振动，而且阻尼振动最终都将因为能量的损耗而 停止下来。为了使系统的振动能够维持下去，要给系统补冲能量。通常是对系 统施加一周期性外力的作用。这种周期性的外力称为策动力(driving Force )， 或强迫力。在强迫力作用系统发生的运动称为受迫振动。如扬声器中纸盆的振 动，机器运转时引起机坐的振动等，都是受迫振动。运动方程设振子质量为m，除受到弹性力-A

17、x，阻尼力-Cu的作用外，还受到强迫力 Hcos(Pt)的作用。其中H是强迫力的最大值，称为力幅，P为强迫力的角频率。 根据牛顿第二定律可知d2 xd2 xdt 2=-C dx - kx+H cos（Pt） dt TOC o 1-5 h z _kCH令2, 0= , h = 则上式可与成 HYPERLINK l bookmark295 o Current Document 0 m2mm HYPERLINK l bookmark298 o Current Document - +2。虫 + 2x=h cos(Pt) dt2dt0t t + 甲九 A cos(?t +甲x = A e 邛 t co

18、s解的讨论:第一项：阻尼振动，经过一定的时间后将消失。第二项：与简谐运动形式相同的等幅振动，是受迫振动的稳定解。即：在受迫振动过程中，系统一方面因阻尼而损耗能量，另一方面又因周 期性外力作功而获得能量。初始时，能量的损耗和补充并非是等量的，因而受 迫振动是不稳定的。当补充的能量和损耗的能量相等时，系统才得到一种稳定（Stationary solution）（Stationary solution）其运动方程为x = AcosxPt +中）稳定后的振幅为、a=hh+ 邛 2 P 20受迫振动位移与强迫力之间的相位差为2 0Pt =-一 2 P 2说明:0说明:稳定状态下的受迫振动的角频率不是振动

19、系统的固有角频率，而是强迫力 的角频率；A、中并不决定于系统的初始状态，而是依赖于系统的性质、阻尼的大小和强迫力的特性。三、共振 Resonance1.引言：在稳定状态下，受迫振动的振幅与强迫力的角频率有关。当强迫力的角频 率P与固有角频率3 0相差较大时，受迫振动的振幅较小；而当P与3 0相差较 小时，受迫振动的振幅较大；当P为某一定值时，受迫振动的振幅得到最大值。我们把受迫振动的振幅达到最大值的现象称为共振。共振角频率与共振振幅：1）共振角频率：系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率，用3表示。12 P 2 4 412 P 2 4 4。2 P 2 0=j2 2。hdAd计算可得2）共振振幅2）共振振幅r2队，2 。V 03）共振时受迫振动位移与强迫力之间的相位差( I 77T-平 = arctg -皿 2 平 = arctg -2_0P说明:1）3略小于3,当阻尼因子3趋于