简谐振动·知识点精解

1、简谐振动知识点精解简谐振动的特征简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号 表示回复力的方向始终与位移方向相反。(3 )简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。弹簧振子的振动过程具体情况见下表：振动物体位置位移x回复力F加速度&速度v振动势 能振动动 能氐方向大小方向太小方向大小方向太小平衡位 go零零零vm零跖最大位格处M

2、指向MA指向KA指向KA m毒土m零Qf M指向M零f指向零fKA指向A KA m指向M零零f零MO指向M零指向零指向KA m 7指向零f零零f km单摆的周期公式单摆做简谐振动在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质 点所形成的装置。单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5。单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsina提供（不要误认为是摆球所受的合外力）。当a很小时（5以下），圆弧可以近似地看成直 线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。如图7-3所示。设 摆长是1，因为sinqrQr：,所

3、以：F =-号x式中负号表示力F跟位移x的方向相反。由于m、g、1都有一定的数值，mg/1可以用一个常数 k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相 反，是简谐振动。（2）单摆的周期公式单摆周期的表达式T=27i/n在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加 速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。单摆周期的表达式T=27i/n上式只适于小摆角（5 ）的情况。根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角 增大而增大。摆角为7时，误差为0.1%； 15时，0.5%； 23时，1%。单摆的最大摆角应小于 5。单摆的周

4、期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略 首先发现的。式中的l应理解为等效长度。即从悬点到摆球质心的距离。式中g 一般为当地的重力加速度。若单摆所处的物理环境发生了变化（如放在加速的车上，或 将单摆放到其他场中等），单摆的周期仍可用丁 = 2兀?1计算，这时只要将融成视重加速度即可.摆的视重加速度等于摆锤相对悬点静止时，悬绳的拉力与摆锤质量的比值。简谐振动的图象（1）表示振动物体的位移随时间变化规律，它形象地反映出振动的各物理量随时间的关系，是掌 握振动的有力工具。(2)简谐振动的位移一一时间图象是按正弦(或余弦)规律变化的。简谐振动图象的意义直接从图象上读出振

5、幅(注意单位)。直接从图象上读出振动周期。确定任意时刻物体相对平衡位置的位移。判断任一时刻物体的振动速度方向(总是指向下一时刻的位置)和加速度方向。判定某一段时间内振动物体的速度、加速度、动能及势能大小的变化情况。受迫振动、共振物体在周期性外力(叫驱动力)作用下的振动叫做受迫振动。物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟物体的固有频率没有关系。共振受迫振动的频率虽然与物体的固有频率没有关系，但受迫振动振幅与物体的固有频率有关， 图7-4中反映出受迫振动的振幅随驱动力频率的变化关系。图7-4图7-4A受迫振动的振幅共振是受迫振动的特例。当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，

6、 这种现象叫共振。发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于振动系统克服阻尼而耗散的能量。【例1】 一质点作简谐振动，先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时1秒，质点通过B 点后再经过1秒钟又第2次通过B点，在这两秒内，质点通过的总路程为12厘米，则质点的振动周 期和振幅为A. 3秒，6厘米；B. 4秒，6厘米；C. 4秒，9厘米；D. 2秒，8厘米。【分析思路】 质点作简谐振动可以看成图7-5所示的情形。质点作简谐振动时，关于平衡位 置的O点物理量具有对称性。质点在A点B点的动量相同，说明A、B两点关于O点对称。当再次经 B点时时间与B到A的时间相等，则质点是经最右端后直接到达B点的。从B

7、点到C点和从C到B点 具有等时性，且DA与BC在O两侧也具有对称性。即BC与DA距离相等。?!?匚图7-5【解题方法】充分利用简谐振动过程中的对称性。即利用速度、动量、加速度的关系找出位置、位移、时间和能量的对称，反之亦可以。【解题】由于A、B两点动量相同，所以B、A两点关于O点对称，即SAO=SOB，tAO=tOB。质点从B再回到B的时间关于C点对称即tEC =tCEo所以质点从0点到C点所用时间为 =临+虹=1秒，故T = 4秒质点从A到B经C后再到B点，由于对称就等效于质点从D点过O后到C点，即2A=SAC+SCB=12 厘米，所以A=6厘米。所以答案选B。【例2】 甲、乙两只相同的摆钟

8、同时计时，当甲钟指示45分钟时，乙钟已指示1小时，则甲、 乙两钟的摆长之比为L甲：L乙=。【分析思路】由摆钟的计时原理知道，摆钟只所以能够计时，是利用摆振动过程中所用的时间与表盘面上所显示的时间相等。即摆每振动一次所用的时间（即摆的周期）与表指针指示数据相同， 这就是标准钟的设计。设计好的表由于机械结构已定，当由于外界因素的影响（如温度的变化，影响 l的变化；或由于地理位置变化而影响g的大小），导致摆的振动周期变化时，在一定时间内，摆的 振动次数与设计的振动次数就不再相符，但机械结构已定的钟不论摆的周期有多大，它总是按设计好 的每振一次的时间进行显示。即每振一次所显示的时间都是标准钟的周期。这

9、样相同时间内振动次数 多的（与标准钟比较）显示的时间也多，表快（此钟的周期小于标准钟的周期）。相反，相同时间内振动 次数少的显示的时间也少，表慢了。本题两钟所用时间相同，但显示的时间各不相同，无法判断那只表准确，也可能都不准确。但 表是相同的，即设计是一样的，摆每振动一次所显示的时间是一样的。表所显示的时间就是摆的振动 次数与标准钟的周期的乘积。【解题方法】由单摆的周期公式计算出每只摆的周期。因甲、乙及标准钟所用的时间相同，根据钟的设计原理表达出甲、乙钟所显示的时间，从而计算摆长关系。解此题时，不少学生误将显示的时间当成摆的周期（或周期的倍数），要引起注意。【解题】设甲、乙钟经过的时间为t，周

10、期分别为T1、T2,标准钟的周期为T0，则两钟显示的时间为：.如=&由 T = 2/77L 甲：L己=t* ： t； = 16 ： 9【例3】 如图7-6所示，质量为m的木块放在竖直的弹簧上，m在竖直方向做简 谐振动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最小值为物体自重的0.5倍，则物体对弹簧压 力的最大值为 ，欲使物体在振动中不离开弹簧，其振幅不能超过 。【分析思路】物体m放在弹簧上让其缓慢下落，当重力mg与弹力kx相等时，物体处于平衡。在此位置对物体施加向下的压力，使物体下移位移A时，撤去外力F，物体m将在竖直方向做简谐振 动。在振动过程中物体受重力和弹力作用，当压缩最小时，物体和弹簧的相互作用

11、力最小，应在平衡 位置上方；当压缩量最大时，物体和弹簧的相互作用力最大，此位置应在平衡位置下方，且最小作用 力和最大作用力的位置关于O点对称，离开平衡位置的距离均为A。若要m在振动过程中不脱离，则物体m与弹簧的相互作用力达最小，即N=0。所以最大振幅即为 物体m平衡时的压缩量。【解题方法】应用平衡求物体的压缩量。物体m在振动过程中的最高点和最低点合外力可表示为kA，均由重力及弹力提供，即应用kA=F合求解。【解题】如图7-7所示，物体m在最高点时弹力为N1(压力的反作用力)，最低点时弹力大小为N2，由回复力的来源得： TOC o 1-5 h z kA = mg - N!(1)kA = N2 -

12、mg联立(1)(2)得 N2=2mg-N=1.5mg由牛顿第三定律知最低点时物体m对弹簧的压力，即最大压力为1.5mg。设m能达到的最大振幅为A，则& =mg(3)由(1)(3)联立得A =2A。【例4】 如图7-8所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2千克，在拉力F的作用下由静止 开始竖直向上作匀变速运动，一个装有指针的振动频率为5赫的电动音叉在玻璃板上画出如图所示的 曲线，量得OA=1厘米，OB=4厘米，OC=9厘米，则外力F的大小为多少牛？【分析思路】电动音叉所做的振动为简谐振动，若玻璃板不动，则振针在在平衡位置附近振动，轨迹重合，为了能将振动位移随时间形象的表达出来就要建立时间轴。描述时

13、间轴的办法是让板 匀速运动。由于时间均匀流失，所以利用S=vt，就可以用S轴来代替时间轴，这样形成的x-S图象 就是我们看到的x-t的振动图象，图象为正(余)弦曲线。若板的运动是匀加速的，则S轴就不能代表 时间轴，它只能反映在振针振动过程中，在某时间内的位移。它巧妙的应用了振动的等时性，记下了 半个周期内板的位移。【解题方法】振针在振动过程，每次经过平衡位置的时间为振动的半个周期。由于物体做初速度为零的匀加速度运动，所以在相同时间内位移之比为1 ： 3 ： 5 ：，或 S=aT2，由牛顿第二定 律可求出玻璃加速时需要的外力。骊题振动的振针每经过t = ? = * = o. 1秒一次平衡位置，由

14、于板作匀加速直线运动，所以：玻璃板在拉力F作用下运动，由牛顿第二定律得：F - mg = ma(2)ASF=tng+tn-ASF=tng+tn-2X IQ-2 土 =小10 + 2乂（S 淀=24（牛）【例5】 密度为p，边长为a的均匀木块，静止浮于水面上，木块的一半露在水面外.现将木块向下按距离然后释放,使木块在水面上振动。设水的密度为p (p 0p )，水的阻力不计，试证明木块的振动是简谐振动。【分析思路】 木块放在水中，由于木块密度小于水的密度，木块浮于水面上而处于平衡，即 重力与浮力相等。木块下按任意位移释放x时，仍受重力和浮力，浮力要大于重力，合力指向平衡位 置与位移方向相反。只要求

15、出合力的大小与x成正比，则可以说明木块的振动为简谐振动。【解题方法】物体做简谐振动的充要条件是回复力F=-kx，根据物体的平衡及下移x时的受力求木块的回复力的表达式。【解题】木块静止在水面时，受到向上的浮力耳=|p招/和向下的重力G=p ga3作用，根据共点力的平衡条件有 TOC o 1-5 h z P ga3 - | P 0ga3 = 0将木块下按至偏离静止位置(即平衡位置)的位移为或eV 时，其 回复力F由木块所受浮力F2= P0ga2(p + x)和重力G= Pg的合力提 供。设向下为正方向，则有F= P ga3 - P 0ga2(|a+x)由(1)(2)得 F=-p 0ga2x由木块和

16、水组成的振动系统来说，上式中p 0ga2为恒量，设k=p 0ga2，则F=-kx上式表明维持木块振动的回复力满足作简谐振动的条件，由此证明木块的 振动是简谐振动。【例6】 如图7-9所示，AB为半径R=7.50米的光滑圆弧形导轨，BC忤V/为长S=0.900米的光滑水平导轨，在B点与圆弧导轨相切。BC离地面高度h=1.80o百米。一质量m=0.100千克的小球1置于C点，另一质量m2=0.200千克的小球2 E置于B点：现给小球1 一个瞬时冲量使它获得大小为0.900米/秒的水平速度， 叫当小球1运动到B时与小球2发生正碰。如果碰撞过程中没有机械能损失，求图T-9(1)两球落地的时间差 t。(

17、2)两球落地点之间的距离S。【分析思路】 小球1获得一定速度后沿光滑水平面向B点的球2运动，在B点与球2发生正 碰。由碰撞过程中满足动量和机械能守恒，碰后1球返回速度为V1，2球以速度V2沿圆弧向上 滑动。小球2在圆弧上运动过程中受力如图7-10所示(b)，与单摆的受力情况(图中7-10(a)相比，两者是相似的，只要能求出小球2在圆弧上运动到最高点时所对应的圆心角。W5，则可以把小球 2在圆弧上的运动过程看作是相当于一个摆长为R的单摆的简谐振动。小球2滑上弧面后再滑回B点 （在圆弧上的时间只能用简谐振动求）时速度大小与碰后相等。BC段1球、2球均为匀速运动，从C点 滑下后均为平抛运动，速度分别

18、为V1和V2，下落高度相同。【解题方法】 小球1与小球2发生碰撞时，满足动量守恒和机械能守恒，球1到c点时间为t】=号;球2沿弧面向上完成!的简谐振动振动（需要证明），时间为t2，回到B点又以V2通过BC，时间为t2，由于平抛下落时间 相同，所以落地时间差为 t=t2 +t1/ -t10两球落地时的位移差为两球以速度V 1和V 2的水平射程之差:BPAS=|V/ |-|V/ | K【解题】 （1）以小球1原来的运动方向为矢量的正方向。由系统的动量守恒和机械能守恒可 列出：联立（1）（2）得:V/（m】-mQ0.1- 0.2V/研=X 0.900mi + m20.1 + 0.2= -0.300（米/秒）2X0.1业.+跖=和节=0.600（米/秒）m1 + m2 0.1 + 0.2小球1由E点返回C点的时间允=鬲小球2沿圆弧上升时由于小球2的机械能守恒可得:壬=nigR(l