空间向量计算距离与角度

1、全国名校高中数学优质课时训练汇编（优品质）板块四.用空间向量计算距离典例分析【例1】AB在正万体 ABCD - 典例分析【例1】AB在正万体 ABCD - ABCD 中，BE = DF = 1 1114与角度11111，求BE与DF所成角的余弦 411值.【例2】,Bq【例2】,Bq AB.求证:AB】=AC .【例3】如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S - ABCD中，Z ABC = 90 , SA 【例3】ABCD , SA = AB = BC = 1, AD = 1 .求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.2【例4】 已知A(0,2, 3), B (-2,1, 6), C(1,-1

2、,5)，求方向向量为j = (0,0, 1)直线与平面ABC所成角的余弦值.A【例5】 已知平行六面体ABCD - ABCD，中，AB = 4，AD = 3， AA= 5， Z BAA = ZDAA = 60 ， /BAD = 90。，求 AC 的长【例6】 如图直角梯形OABC中，ZCOA = ZOAB = ，OC = 2，OA = AB = 1，SO 平面 2OABC，SO = 1，以OC、OA、OS分别为x轴、J轴、z轴建立直角坐标系O - xyz .求SC与OB的夹角a的大小(用反三角函数表示)；设n = (1，p，q)，满足n 平面SBC，求n的坐标；OA与平面SBC的夹角P (用反

3、三角函数表示)；O到平面SBC的距离.【例7】如图四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG 平面ABCD ,垂足为G ,G 在 AD 上，且 PG = 4 , AG =1GD , BG GC , GB = GC = 2 , E 是 BC 的中点.3求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；求点D到平面PBG的距离；若g点是棱PC上一点，且DF GC,求生的值.FC【例8】已知E , F分别是正方体ABCD - ABCD的棱BC和CD的中点，求 1111AD与EF所成角的大小；1A F与平面B EB所成角的大小；11二面角C - DB - B的大小.【例9】【例10】长方体ABCD -

4、 ABCD中，AB = BC = 4 , E为AC与BD的交点，【例9】【例10】111111111Bf的交点，又AF 1 BE，求长方体的高BB1 ;二面角B - AF - C的大小.如图：在空间四边形ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB = BC = 2，E是AC的中点,异面直线AD和BE所成的角为。、，求BD球度；二面角D - AC - B的余弦值.【例11】如图，直三棱柱ABC - ABC中，AB 1 AC , D、E分别为AA、BC的中点, 11111DE1平面BCC1证明：AB = AC .设二面角A - BD - C为60。，求BC与平面BCD所成角的大小.1【例12】如

5、图，在直三棱柱ABC - ABC中，AA = BC = AB = 2 , AB BC，求二面角 【例12】B - AC - C的大小.11【例13】如图，直三棱柱ABC - A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ZACB = 90。，侧棱 俱=2，D、E分别是CC与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是AABD 的垂心G .求A1B与平面ABD所成角的余弦值；求点A到平面AED的距离.【例14】如图，四棱锥S - ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD , AD = 2 , DC = SD = 2 .点 M 在侧棱 SC 上，ZABM = 60。.证明：M是侧棱SC的中点；求二面

6、角S - AM - B的大小.【例15】如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂 直目 DE =、,2，ED AF 且ZDAF = 90。.求BD和面BEF所成的角的余弦；线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在， 求EP与PF的比值；若不存在，说明理由.【例16】如图，在空间四边形OABC中，OA = 8 , AB = 6, AC = 4, BC = 5, ZOAC = 45 ZOAB = 60。，求OA与BC的夹角的余弦值.【例【例17】如图，在三棱柱ABC - ABC中，AB 侧面BBCC , E为棱CC上异于C、C11 1

7、 11 11的一点， EA EB，已知 AB = J2，BB = 2，BC = 1，ZBC% =:, 求：异面直线AB与EB的距离；二面角A - EB - A1的平面角的正切值.【例18】如图，在棱长为1的正方体ABCD - ABCD中，E、F、G分别是CD、AD、11111111BB的中点，取如图所示的空间直角坐标系,写出A、B.、E、G的坐标；求证：CF 1 AE，且 |CF| = AE| ；求异面直线EF与AG所成角的余弦值.【例19】如图，在棱长为1的正方体ABCD - ABCD中，E、F、G分别是CD、AD、11111111BB1的中点，求证：CF 1 AE，且 |CF| = AE|

8、 ；求异面直线EF与AG所成角的余弦值.写出平面AGC的一个法向量.AB【例20】如图，在直四棱柱ABCD - ABCD中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2 .1111BD与AD能否垂直？请证明你的判断；111当ZABC在-,-上变化时，求异面直线AC与AB所成角的取值范围. iii 32i i 1DBiCi【例2i】如图：已知四棱锥P - ABCD的底面是平行四边形，PE 面ABCD，垂足E在边AD8上 BEC是等腰直角三角形，BE = EC = 2，四面体PBEC的体积为-.3C求面PBC与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值；求点A到面PBC的距离；若点F在直线PC上，且PC 面BEF,求竺的值.PC【例22】如图所示：边长为2的正方形ABFC