竖直水平面内圆周运动中临界问题和周期性问题

1、水平面内圆周运动中的临界问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究象2、画出运迹、找出心、求半径3、解析研究象的受力情况，画受力4、确定向心力的本源5、由牛第二定律Fnmanmv2rm2rm(2T)2r列方程求解二、界常型：1、按力的种分：（1）、与力有关的界：接触面的力：从有到无,或从无到有子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无（2）、与摩擦力有关的力：从静到，从到静，界状下静摩擦力达到最大静摩擦2、按道所在平面分：1）、直面内的周运2）、水平面内的周运三、直面内的周运的界1、向束之、外道束下的直面内周运界：特点：小球，道小球只能生指向心的力mgmgOO轨道界条件：子或道小球没有力的作

2、用：2mg=mv/Rv临界=Rg（可理解恰好或恰好不的速度）即此小球所受重力全部供应向心力能最高点的条件：vRg，当vRg，球生拉力，道球生力不能够最高点的条件：vV临界（上球没到最高点就走开了道做斜抛运）1、子系着装有水的木桶，在直面内做周运，水的量m=，子度l=60cm，求：（g取10m/s2）A、最高点水不留出的最小速度？B、水在最高点速度V=3m/s，求水桶底的力？答案：（1）6m/s（2）变式1、以下列图，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直mg面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能经过最高点，则小球在最高点和最低点O的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最

3、低点碰到绳子的拉力为10mg，则小球在最高点的速度及碰到绳子的拉力是多少？2、单向拘束之内轨道拘束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是由于当汽车经过半圆弧顶部时的速度vgr时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将走开桥面做平抛运动，由于桥面不能够对汽车产生拉力例2、半径为R的圆滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，以下列图。今给小物体一个水平初速度v0Rg，则小物体将（）A.沿球面下滑至M点先沿球面下滑至某点，尔后便走开斜面做斜下抛运动.按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动D.马上走开半圆球做平抛运动3、双向拘束之轻杆、管道拘束下的竖直面内圆周运动的临界问题

4、物体(如小球)在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化这里的弹力能够是支持力，也能够是压力，即物体所受的弹力能够是双向的，与轻绳的模型不相同由于绳子只能供应拉力，不能够供应支持力；而杆、管道既能够供应拉力，又能够供应支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁产生压力在弹力为零时即出现临界状态（一）轻杆模型以下列图，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动(1)能过最高点的临界条件是：v0这可理解为恰好转过或恰好不能够转过最高点的临界条件，此时支持力(2)当0vRg时，N仍为支持力，且N随v的增大而减小，当vRg时，N0，此为轻

5、杆不受弹力的临界条件(4)当vRg时，N随v的增大而增大，且N为拉力指向圆心，例3、以下列图，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完满的圆周运动。已知水平川面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。(1)求小球经过最高点A时的速度vA;(2)若小球经过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的刹时让细线断裂，求小球落地址到C点的距离。解：(1)小球恰好能做完满的圆周运动，则小球经过A点时细线的拉力恰好为零，依照向心力公式有：mg=解得:。小球在B点时依照牛顿第二定律有T-mg=m其中T=6

6、mg解得小球在B点的速度大小为vB=细线断裂后，小球从B点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:竖直方向上1.9L-L=(2分)水平方向上x=vBt(2分)解得:x=3L(2分)即小球落地址到C点的距离为3L。答案:(1)(2)3L管道模型质点(小球)在圆滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r远小于球的圆周运动的半径R)，以下列图小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：恰好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为当时，对下管壁有压力，此时，故。当时，对上管壁有压力，此时。实质上，轻杆和管道两种拘束情况可化归为同类的物理模型，即双向拘束模型例4、一内壁圆滑的环形细圆管，位于竖直平面内，

7、环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m，m，R与v应满足关系式是。120解：第一画出小球运动达到最高点和最低点的受力求，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有：N1mgm1v02同理m2在最高点有：Rv12N2mgm2R2m2gR1212N1N2m球由最高点到最低

8、点机械能守恒：2m2v12m2v02由上述方程可得：(5m2m1)gRv0m1m2【小结】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一解析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。四、水平面内圆周运动中的临界问题：解决圆周运动中临界问题的一般方法1、对物体进行受力解析2、找到其中能够变化的力以及它的临界值3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值5、水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块向来相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的倍，求转盘转动的最大角速度是多大

9、？解：由mgm2rAgO得：r议论：供应的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值变式5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度最少为多少？解：FNm2rg得FNmgr例6、以下列图，两绳系一质量为m0.1kg的小球，上面绳长L2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30与45，问球的角速度在什么范围内，两绳向来张紧，当角速度为3rads时，上、下两绳拉力分别为多大？A30B45解：当渐大，AC绳与杆夹角变大，但BC绳还没拉直。当AC绳与杆夹角为30时，BC绳处在虚直状态。此后再增大，BC绳上也会有拉力。因此BC绳虚直为临界状态。g1010032.4rad/so2

10、Lcos30o3mgtan30mLsin30o2020，BC绳上有拉力。解析小球，由牛顿第二定律：ATACcos30oTBCcos45omg30oo2oBTACsin30TBCsin45mLsin30453TAC2TBCmgTAC31N2210C1TAC2TBC1m2LgTBC1726N222L20变式6-1：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角=60。此时小球静止于圆滑水平面上。g（1）当小球以L做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？4g（2）当小球以L做圆周运动时，绳子张力多大？桌面碰到的压力多大？FN1mg答案：（1）T=

11、mg2(2)T=4mgFN0变式6-2、以下列图，一个圆滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30，一条长度为L的绳（质量不计），一端的地址固定在圆锥体的极点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速TN圆周运动。当v16gL时，求绳对物体的拉力；当v32gL时，求绳对物体的拉力。解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力T、支持力N供应向心力，当角速度很小时，物体在圆锥体上运动。TsinNcosmv2(1)LsinTcosNsinmg(2)TmgNsincos由（2）得：mgtanv2N(tansincos)

12、m代入（1）得：Lsin由此可得，当v增大时，N减少。当大到必然值时，物体将走开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。显然当球与锥面虚接触（即N=0，=30）时的线速度值为物体的临界速度。对球解析，由牛T2mv02(3)2L3Tmg(4)顿第二定律：2T23mgv03gL63TsinNcosmv12gL(1)v0Lsinv1TcosNsinmg(2)当6，因此N0。NmgTcossin由（2）得：T(sincotcos)mgcotmv12Lsin代入（1）得：2mgLmg3mv0mgcot6L1331TLsin21.03mgsincotcos136mg322v23gLv0230当，此时N=0，但夹角

13、变大，不为Tsinmv2(5)LsinTcosmg(6)Tmgmgsinmv2由（6）得：cos（7），代入（5）得：cosLsinsin2v23gL21.5cosgLgL60o代入（7）得：T2mg例7、以下列图，细绳一端系着质量M的物体，静止在水平面上，另一端经过圆滑的小孔吊着质量m的物体，M的中与圆孔距离为，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态？（g10ms2）53rad/s515rad/s（的范围是：33Mo即radsrads）m变式7：在以角速度匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，经过一条圆滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连

14、接着一m的物体，以下列图。设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能够相对转台静止。求：1）若是物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动的角速度满足什么条件，物体M才能随转台转动？2）物体M随转台一起以角速度匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。230rad/sM答案：（1）3（2）25rad/sm例8、以下列图，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为rA0.2m，rB0.3m，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的倍，取g10m/s2。1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；2）

15、要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。OAB0210rad/s（2）25rad/s答案：（1）3变式8：如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间相互作用的最大静摩擦力均为重力的倍，求：（1）若细线上没张力，圆盘转动的角速度应该满足什么条件？O（2）欲使A、B与盘间不发生相对滑动，圆盘转动的最大角速度为多少？（3）当A马上滑动时，烧断细线，A、B运动状态如何？BA230rad/s（2）4rad/sO答案：（1）33）A连续做圆周运动，B做离心运动五、圆周运动

16、的周期性问题：利用周运的周期性把另一种运（比方匀速直运、平抛运）系起来。周运是一个独立的运，而另一个运平时也是独立的，分明确两个运程，注意用相等来系。在中，要注意找两种运之的系，常常是通相等来建立系的。同，要注意周运拥有周期性，因此常常有多个答案。例9：如所示，半径R的垂直于面的中心匀速，其正上方h沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与只碰一次，且落点B，小球的初速度v_，的角速度_。【】小球做的是平抛运，在小球做平抛运的段内，做了必然角度的周运。1解：小球做平抛运，在直方向上：h2gt22h运tgRg又因水平位移R，因此球的速度vt在t内，的角度n2，又因Rt2hn2g角速度：t2n2h(n1

17、，2，3)【】上中涉及周运和平抛运两种不相同的运，两种不相同运律在解决同一，常常用“”一物理量把两种运系起来。式9-1：如所示，小球Q在直平面内做匀速周运，当Q球到示地址，有另一小球P在距周最高点h开始自由下落.要使两球在周最高点相碰，球的角速度足什么条件？【】下落的小球P做的是自由落体运，小球Q做的是周运，若要想碰，必足相等个条件。解：P球自由落体到周最高点的t，由自由落体可得Q12h2gt2=h求得t=gQ球由示地址至最高点的也是t，但做匀速周运，周期T，有T222ht=(4n+1)4(n=0，1，2，3)两式立再由T=得(4n+1)=gg因此=2(4n+1)2h(n=0，1，2，3)【】

18、由于周运每个周期会重复同一个地址，故拥有重复性。在做目，考周运的周期性六、周运中的界：1、如所示，水平上放有量m的物，当物到的距离r，r接物和的好被拉直（上力零）。物体和最大静摩擦力o是其下力的倍。求：g当角速度1，的拉力T1。2r当角速度23gT2。2r，的拉力1mg答案：（1）0（2）22、ABD）3、(BD)4、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，以下列图，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能够高出（B）MmMmAgBgmRmRMmgMgCmRDmR5、在圆滑的水平面上钉有两个钉子A和B.相距20cm.用一根长度为1m的细绳.一端系一个质量为0.4kg的小球.另一端栓在钉子A上.使小球开始位于A的左边.并以2m/s的速率在水平AB面上绕A做匀速圆周运动.若绳子承受4N的拉力就会断.那么从开始运动到绳被拉断.小球转的半圆周数（B）