1996考研数一真题及解析

1、1996(1) 设lim(x2a)x 8,则ax(2)(6,-3,2),且与平面4xy2z 8(3) 微分方程y2y2y ex的通解(4)1996(1) 设lim(x2a)x 8,则ax(2)(6,-3,2),且与平面4xy2z 8(3) 微分方程y2y2y ex的通解(4) 函数u ln(xy2z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,2,2) 点方向的方向导2100,则r(AB)A433(xay)dx (x 为某函数的全微分,则a()(A) -(B)(C)f(x) 1|x2f(xf(0)0lim()(A) f(0f(x(B) f(0f(x(C) (0, f(0y f(x(D) f(0)

2、f(x(0, f(0y f(x收敛,常数 ),则级2,且(1)n(n)a设an 0(n1,n(D) 收敛性与)(A)(B)(C)xf (xf(0)0f (0 0F(x)(x t )fx0F(x) xk 是同阶无k ()(A) 023(D)00000(5)()(A)a1a2a3a4F(x) xk 是同阶无k ()(A) 023(D)00000(5)()(A)a1a2a3a4a1a2a3a4 求心形线r a(1cos) 的全长,其中a0(2)设x110,xn16xn(n 1,) ,试证数列xn 极限存在,并求此极限(2xz)dydzzdxdyz x2 y20 z 1)Su x26 z z 20uv

3、 0a(2)u xz z(xy1(n 2nx0y f(x上点(x, f(xy1xxf(t)dtf(x0f(x在0,1上具有二阶导数,且满足条件| f(x|a| f(x|b,其中ab负常数, 是(0,1.八、(本题满分6分设,其中 阶矩阵, 是 的转置,证明：；(2)时, 是不可逆矩阵.九、(本题满分8分(1)十、填空题(本题共 2 小题,每小题 36(1) 设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 1%和 2和(2)量十一、(本题满分 6,.(1量(2量.)a,T2cx)负常数, 是(0,1.八、(本题满分6分设,其中 阶矩阵, 是 的转置,证明：；(2)时, 是不可逆矩阵.九、(本题满分8分(1

4、)十、填空题(本题共 2 小题,每小题 36(1) 设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 1%和 2和(2)量十一、(本题满分 6,.(1量(2量.)a,T2cx)123233年入数学一试题一、填空题(本题共5 个小题,每小题 分,满分 15 分,把填在题中横线上.)(1)】【,令,则,即.x3ax1a年入数学一试题一、填空题(本题共5 个小题,每小题 分,满分 15 分,把填在题中横线上.)(1)】【,令,则,即.x3ax1aa ln8m()l3aax xxaa ax xx1 2a x2a lim x2alimxxxlime3ax1 x xx1 2a x2a lim x2alimxxxlim

5、e3ax1 axx (aaaxxxx 由题设有e3a 8a 1ln8ln23(2)】2x2y3z 】方法一：所求平面过原点O与M0(6,3,2),其法向量nOM06,3,2；【nn0 4,1,2；k22n/OM0n0 4i4j6k n 2i2j3k ,则所求的平面方程为2x2y3z 0 OM063,2,另一是平面4xy2z8的法向量n0 4,1,2z2 022x2y3z 0即】ex(c1 cosxc2 sinx(3) 【r2 2r20,解之得1i.故对应齐次微分方程的解为y ex(C cosxC sin12由于非齐次项ex,1y*(xaexy2y2yexa1y*(xexy ex(C1 cos

6、xC2 sin x)ex ex(C1 cosxC2 sin x1)yP(xyQ(xy f (x的一个特解.Y(xyP(xyQ(xy0yY(x y*(x yP(xyQ(xy0yY(x y*(x y pyqy 0r2 prq0,在复数域内解出两个特征根rr 1 (1)rr y Cerx1 C er2x1 12(2)r r yC C xesinx其中C (3)一对共轭复根i ,则通解为yC cosx12yP(xyQ(xy f (xy*(x) f (x) P (x)exy*(x) xkQ mm的特解,其中Qm(xPm(x相同次数的多项式,而k按f (x) ex P(xcosxP (xsinxlny p

7、(xyq(xy f (x x e (x)cosx (x)sinx k mm其中(x)与(x) 是m次多项式,mmax l,n ,而k按 )不是特mm方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或12(4)】u u l的方向余弦和xy, zucosucos ucos 【2,2,1cos,cos,cos.化，即得 l 3| AB,y0(x y2 z2y2 A,.(5)】【,所以矩阵 .若 可逆,则.【,u xay ,(x ,2(2221,y0(x y2 z2y2 A,.(5)】【,所以矩阵 .若 可逆,则.【,u xay ,(x ,2(2221ayr1x2nlxy43x2) zAAA.与,故应选【,在是

8、是若)当【.设和则00n l) .与,故应选【,在是是若)当【.设和则00n l) 03n(1当0 Aun 和vn A0时,若un 收敛,则vn 收敛；若vn 发散,则un (3)A 时,若vn 收敛,则un 收敛；若un 发散,则vn (1当0 Aun 和vn A0时,若un 收敛,则vn 收敛；若vn 发散,则un (3)A 时,若vn 收敛,则un 收敛；若un 发散,则vn 【xxF(x) f(t)dtt f22,00 xxF (x)f(t)dtx f(x)x f(x)f(t)dt2200 xxfxfxx00kkk2f2f洛洛.x0 (k1)xx0 (k1)(k2)x2fF(xxk f

9、(0)0,所以为常数,即k 3x0 (k1)(k lim 2f f(0)0有x0 (k 1)(k故应选设在同一个极限过程中,(x(x为无穷小且存在极限 (x)l(1)l0,称(x(x(2)l1,称(x(x在该极限过程中为等价无穷小,记为(x)(3) 若l 0,称在该极限过程中(x(x的高阶无穷小,记为(xo(x)若lim(x不存在(不为),称(x(x【0000000Da1 0,所以选三、(本题共 2 小题,每小题 分,满分 10 .以为周期,因而 的范围是.证明 单调减：用归纳法.设,(么四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 a0000000Da1 0,所以选三、(本题共 2 小

10、题,每小题 分,满分 10 .以为周期,因而 的范围是.证明 单调减：用归纳法.设,(么四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 ar(222r)2 22a8an1n41331111an200n333 0 D :x2y2 D 1 y1y2 z10 z1,z yzzz D :x2y2 D 1 y1y2 z10 z1,z yzzz1y1z OxOyOyx SSP(xyz2xzQ(xyz0,R(xyzz I PdydzRdxdy Sx y 213】方法一：均投影到平面 xOy 【I (2xz)dydzzdxdy (2xz)(z)(x2 y2)dxdy SDz x2 y2D x2 y2 2x

11、代入,I 4x2dxdy 2x(x2 y2)dxdy (x2 y2)dxdy 2x(x2 y2)dxdy 0,4x2dxdy 2(x2 y2)dxdyI (x2 y2)dxdy.平面平面时 要分为前半部分.或(x2 y2dxdy 2D,其中 是.与即与, 上2 3131 3 (2y2 y (2xdxdyz)dydz1dxdyzdxd 2(x)2y21 (222.平面平面时 要分为前半部分.或(x2 y2dxdy 2D,其中 是.与即与, 上2 3131 3 (2y2 y (2xdxdyz)dydz1dxdyzdxd 2(x)2y21 (2221Iz2y2zy2 y2zz zdzd23Szydy

12、dz y2y2rcos t4zDD 4 40z04224 y3y22 40S SDD4D3 1D (2xz)dydzzdxdy 3S 311dxdy3 zdz 200D(zD(zx2y2 z,面积为z33因此,I (2xz)dydzzdxdy 3S 311dxdy3 zdz 200D(zD(zx2y2 z,面积为z33因此,I (2xz)dydzzdxdy ()z z u z v z z u v z z u z v 2z az u v 22z 2z )x x u2 uv v2 vu 22z 2,2(z) (z) 2z u 2z v 2z v 2z y y u2 uv v2 vu 22z (a2

13、z a2,22y(u)ay(v2(2z u 2v)a(2zv2z uu2 uv v2 vu 222 24auv 4v262z 2z 2022z 06 z z (10(6a5a) 2) .于是,令6a0a 3a2.和在点.五、(本题满分 7【令,则., 1A2 ( ) n2 nn(115( ) ( ) ln(1 )ln2n2n8.六、(本题满分7【z2 un vz .和在点.五、(本题满分 7【令,则., 1A2 ( ) n2 nn(115( ) ( ) ln(1 )ln2n2n8.六、(本题满分7【z2 un vz fuf 53v1 1 n11)1)11 1( , AAl(xn1 y2 1n2

14、 8 u nn1 1n2 1 2 1 2 n 2nnn2.令得 轴上的截距.为消去积分,两边乘以 ,得,即.得.,.得.七、(本题满分8 【, 在 与 之间.得0 与 之间,在与 之间,.t)dtf1f(x).令得 轴上的截距.为消去积分,两边乘以 ,得,即.得.,.得.七、(本题满分8 【, 在 与 之间.得0 与 之间,在与 之间,.t)dtf1f(x)x2(x) f(x)2xy )x)t2x02!.八、(本题满分 6,为 阶矩阵,所以,即.时,由(1).九、(本题满分8【.535514 411TTTTTTTT(02E()AAA.八、(本题满分 6,为 阶矩阵,所以,即.时,由(1).九、

15、(本题满分8【.535514 411TTTTTTTT(02E()AAAA(1)2f()c3102!,xn) xTAxf (x1, y2AQ)y y y2 x Ax y T,xn) xTAxf (x1, y2AQ)y y y2 x Ax y T21 2 n 其中1 ,n A 对应特征值1, ,的标准正交特征3(1)】【P(D) 0.60,P(D) 0.40,P(C | D) 0.01,P(C | D) 0.020.6P(D)P(C | P(D)P(C | D) P(D)P(C | 3 P(D|C) 0.60.01 0.4 BnSP(A0P(Bi0(i1,P(Bi)P(A|BiP(B | A) ,inP(Bj )P(A| Bj j2(2)】1】由于 与 相互独立且均服从正态分布N(0,)2) ,因此它们的线性函2【U EU E()EEDU DDD 11 1e 2 du1f(u)DU DDD 11 1e 2 du1f(u)e 2 e 2 11E(|)E(|U |)|u02u2122E(|) e 2 d) .e200X 与YX 与Y X与YE(aX bY c) aE(X)bE(Y)cD(aX bY c) a2D(X)b2D(Y) 其中ab, c 为常】易见( X ,Y ) 的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3