双曲线中焦点三角形探索

1、双曲线中焦点三角形的探究基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c，另两边的差的约对值为定值2a。2：该三角形中由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2联合定义，有2|PF1|PF2|x2y21a2b20性质一、设若双曲线方程为（a0，b），F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上随意一点，则有：若F1PF2,则SVFPFb2cot122；特别地，当F1PF290oSVFPFb2。时，有12证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，由双曲线的定义得在F1PF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.配方得：(r1r2)22r1r22r1r2cos4c2.

2、即4a22r1r2(1cos)4c2.由随意三角形的面积公式得：1sin2sincosSF1PF2b2b222b2cotr1r2sin1cos2sin2222.特别地，当90cot2时，21，因此SVF1PF2by2x21a2b2同理可证，在双曲线（a0，b0）中，公式仍旧建立.x2y21F1、F2是其焦点，且F1PF260，求F1PF2例4若P是双曲线6436上的一点，的面积.x2y2160.记|PF1|r1,|PF2|r2.解法一：在双曲线64368,b6,c10,而中，a点P在双曲线上，由双曲线定义得：r1r22a16.FPF2中，由余弦定理得：r12r222r1r2cos(2c)2.在

3、1配方，得：(r1r2)2r1r2400400r1r2256.进而r1r2144.解法二：在双曲线考题赏识x2y2641236，而60.36中，b（2010全国卷1理）(9)已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=600，则P到x轴的距离为(A)3(B)6(C)3(D)622【答案】B（2010全国卷1文）（8）已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF2=600，则|PF1|g|PF2|(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【分析1】.由余弦定理得cosF1PF2=|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|PF

4、1|g|PF2|4【分析2】由焦点三角形面积公式得：SF1PF2b2cot12cot60031PF1PF2sin6001PF1PF23|PF1|g|PF2|422222x2y21F1、F2a2b2，当点P是性质一推论：在双曲线（a0，b0）中，左右焦点分别为SF1PF2b2csin双曲线左支上随意一点，若accosPF1F2，则.特别地，当PF1F290时，b2cSF1PF2a。当点P是双曲线右支上随意一点，若PF1F2（双曲线渐近线的倾斜有SF1PF2b2csinccosa角），则证明：i、当P为左支上一点时，记|PF1|r1,|PF2|r2（r1r2），由双曲线的定义得r2r12a,r2r

5、12a，在F1PF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.代入得r124c24r1ccos(r12a)2.r1b2求得ccos。aSF1PF21r1F1F2sin1b22csinb2csin22accosaccos得证SF1PF2b2c特别地，当90时，aii、当P为右支上一点时，记|PF1|r1,|PF2|r2（r1r2），由双曲线的定义得r1r22a,r2r12a，在FPF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.1代入得r124c24r1ccos(r12a)2.r1b2求得ccosa。SFPF21r1F1F2sin1b22csinb2csin122ccosacc

6、osa得证x2y21PF1F260，例5（1）若P是双曲线6436左支上的一点，F1、F2是其焦点，且求F1PF2的面积.（2）若P是双曲线x2y21PF1F260，求F1PF24右支上的一点，F1、F2是其焦点，且的面积.1）解法一：在双曲线点P在双曲线上，x2y26416,c10,而60.记|PF1|r1,|PF2|r2.36中，a8,b由双曲线定义得：r2r12a16.r216r1在FPF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.1r13613解得：x2y2解法二：在双曲线64136，而60.36中，a8,b6,c10,b22）解法一：在双曲线点P在双曲线上，x2y215,而60.记|PF1|r1,|PF2|r2.4中，a1,b2,c由双曲线定义得：r1r22a2.r2r12FPF2中，由余弦定理得：r124c24r1ccosr22.在1解得：r18(52)x2y218,b6,c10,b2解法二：在双曲线643636，而60.中，a性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PFF12,PF2F1,当点P在双曲线右支上时，有tancote1;22e1cottane