GARCH模型与应用简介

1、PAGE PAGE 49GARCH模型型与应用简介介 (2006, 5)前言.22GARCH模型型.7模型的参数估计计16模型检验274. 模型的应应用322实例.422某些新进展.46参考文献.500. 前言 (随机序列的的条件均值与与条件方差简简介)考察严平稳随机机序列ytt, 且Eyt. 记其均均值Eyt=,协方差函数k=E(ytt-)(yt+k-). 其条条件期望(或或条件均值): E(ytyt-1,yt-2,)(yt-1,yt-2,), (0.1)依条件期望的性性质有E(yt-1,yt-2,)=EEE(ytyt-1,yt-2,)= EEyt =. (0.2)记误差(或残差差): et

2、 yt -(yt-1,yt-2,). (0.3)由(0.1)(0.2)式式必有: Eet=Eytt-E(yt-1,yt-2,) =Eyt-Eyt=0, (0-均均值性) (00.4)及Eet2=Eyt -(yt-1,yt-2,)2 =E(yt-)-(yt-1,yt-2,)-2 (中心化) =E(yyt-)2+E(yt-1,yt-2,)-2-2E(yt-)(yt-1,yt-2,)- =0+Var(yt-1,yt-2,)-2EE(yyt-)(yt-1,yt-2,)-yt-1,yt-2,( 根据 Exx=EExyt-1,yt-2, ) =0+Var(yt-1,yt-2,)-2E(yyt-1,yt-2

3、,)-E(yt-)yt-1,yt-2,( 再用 Ex( yt-11,yt-2,)yt-1,yt-2,=( yt-11,yt-2,) Exxyt-1,yt-2,;并取x= (yyt-), ( yt-11,yt-2,)=(yt-1,yt-2,)-;由(0.1)(0.2)可可得 )=0+Var(yt-1,yt-2,)-2EE(yt-1,yt-2,)-2 =0-Var(yt-1,yt-2,). (00.5)即有: 0=Var(yyt)=Varr(yt-1,yt-2,)+Vaar(et). (00.6)此式表明, yyt的方差(=0)可表示为为: 回归函函数的方差(Var(yt-1,yt-2,), 与与

4、残差的方差差(Var(et)之和. 下边边讨论et的条件均值与条件方差.为了符号简便, 以下记FFt-1=yyt-1,yt-2,.首先考虑et的的条件均值: E(etFt-1)=Eyt-( yt-11,yt-2,) Ft-1=E(yt FFt-1)- E( yt-11,yt-2,) Ft-1= ( yt-1,yt-2,)- ( yt-11,yt-2,)=0. (0.77)再看条件方差:Var(etFFt-1)=EEet- E(eetFt-1)2 Ft-1 = Eeet2 Ft-1 (用(00.7)式) S2(yt-1,yt-2,). (0.8)此处S2(ytt-1,yt-2,)为条件方差差函数

5、. 注注意, ett的条件均值值是零, 条条件方差是非非负的函数SS2(yt-1,yt-2,), 它不不一定是常数数! 依(00.3)式, 平稳随机机序列ytt总有如下下表达式:yt = ( yt-1,yt-2,)+et, (0.9) 其中(yt-11,yt-2,)被称为自回回归函数, 不一定是线线性的. et可称为新新息序列, 与线性模型型的新息序列列不同, 除除非yt是正态序序列. 顺便便指出, 满满足(0.44)式的eet为鞅差序列列, 因为对对它的求和是是离散的鞅序序列. 由于于yt是严平稳稳随机序列, 且Eyt0. (1.2)换句话说, 考考虑如下的(0.9)模模型yt=et, (1

6、.3) 它的标准化的模模型(0.112)为 yt=SS(yt-11,yt-2,)t. (11.4)请注意, 这一一模型几乎含含盖了所有的的条件异方差差模型. 我我们不可能泛泛泛地讨论它它. 再请回回看对鞅差序序列et的限制的的历程, 以以下我们要讲讲的恰好是:“et=S(yyt-1, yyt-2, )t，但t为i.i.dd. N(00,2)序列,而且S(yt-1, yt-22, )为有限限参模型, (11982).再新的内容, 我们也将提提到. 至此此, 大家完完全明白我们们将要讨论什什么样的序列列.为说明该序列的的某些特征, 先看一看看序列et的自协方方差函数序列列: e(kk)=Eet+k

7、et= EEE(et+ketet+k-11,et+k-2,) = EeetE(et+ket+k-11,et+k-2,) = Eeet0=0, k1.可见, 平稳鞅鞅差序列也是是白噪声. 根据自协方方差序列做平平稳序列的建建模和谱分析析时, 除了了判断(yt-1,yt-2,)=0外, 几乎无话话可说. 换换句话说, 相关性分析析和谱分析不不能对(1.4)式的序序列作出更深深刻的分析. 为了进一一步获得它的的深入的结构构特征, 必必须引入新的的概念和新的的方法.ARCH(p)模型. (ARCH Autoregresssive Condittionall Heterosscedassticitty)

8、在金融界, 大大量的数据序序列呈现不可可预报性, 相当于前面的(0.9)或(0.112)式中的的(yt-1,yt-2, )=0, 于是有兴兴趣研究(11.4)模型型. Enggle(19982)首先先提出并使用用了如下的有有限参数模型型: yt=S(yt-1, yt-22, )t ht1/2 t, (1.5) htt=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2, (1.66)00, ii0, i=1,22,p.其中t为ii.i.d.的序列, tN(0, 1), 且且t与yt-11, yt-22, 独立, 为了简化记记号, 记hht=S2(yt-1, yyt-2, ). 此模型被称为自自回归条

9、件异异方差模型, 简记ARRCH(p),其中p表表示模型的阶阶数. 很明显, 此模模型只是普遍遍适用的(11.4)式模模型的子类, 因为, 在ARCHH模型中对模模型(1.44)添加了很很多的人为限限制. 为了增进对ARRCH模型的的了解, 我我们将作几点点明, 以代代替严格的推推理论述.其一, 限定t为i.ii.d.序列列! 这是很很强的限制, 这是由于于现有理论的的基楚所限. 其二, 限定条条件方差有(1.6)式式的简单形式式, 即ht=S2(yyt-1, yyt-2, )=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,是为了统计分析析方便. 其三, 限定tt服从正态分分布, 是为为了求极

10、大似似然估计方便便. 限制 tN(0, 1), 而而不用 tN(0, 2), 是因因为t满足标准准化的模型(0.11)式.其四, 限制 00, i0, i=1,22,p, 是是为了保证条条件方差函数数ht=S2(yt-1, yyt-2, )0. 限制 000, 而而不是00, 这是是为了保证模模型(1.55)(1.66)有平稳解解, 否则, 当0=0时它没没有平稳解! 这可从以以下简单例子子看出. 考考查如下ARRCH(1) 模型:ht=1 ytt-12,将它代入(1.5)式得yt=ht1/2 t=(1 yt-12)1/2 t,将它两边平方得得 yt2=1yt-12t2,将它两边取对数数得lo

11、g(yt22)=logg(1)+logg(yt-112)+logg(t2), (1.7)记xt=logg(yt2), c=log(11), t=log(t2)(仍为ii.i.d.序列), 上式为xt = c+ xt-11+ t,这不是熟知的一一元AR(11)模型吗? 而且不满满足平稳性条条件! 所以以, 没有平平稳解. 从从而模型(11.5)也没没有平稳解.其五, 为使AARCH模型型有平稳解, 对系数ii(i=1,2,p)还要加限制. 较早的限制制(也是较强强)是 1+2+pp0, i0, i=1,22,p.易见, (1.5)式与(1.5)式是等等价的. 其七, ARRCH模型有有不同的变形

12、形形式. 仿仿(1.7)式的做法, 即将(11.5)式两两边平方, 再将(1.6)式代入入其中可得yt2=httt2=(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)t2 =(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)(1+t2-1) =0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+(t2-1)(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2) =00+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+ ht(t2-1) =00+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+ wt , (1.9)对序列yt22而言, 此式很像线线性AR(pp)模型, 其中wt=ht(t2-1)是一一个平稳的鞅鞅差序列,

13、 因为Ewt|ytt-1,yt-2, =Eht(tt2-1)|yyt-1,yt-2, = Ehttt2|yt-1,yt-2, -Ehht|yt-1,yt-2, = htEtt2|yt-1,yt-2, -Ehht|yt-1,yt-2, (依(1.6)= ht - ht =0. (1.100)用(1.9)式式和线性ARR(p)模型型的求解方法法, 可得yt2的平稳解解. 但是, 从原理上上说, 得到到了yt2的解, 还不能说就就得到了原序序列yt的解. 好在当我们们只关心ytt的条件方差差时, 有了了yt2的解也足足够用了. (1.9)式的变形方方式是严格的的, 可放心心地使用它. 所谓使用用它,

14、 就是是将原数据平平方后得到 y12 , y22 , , yT2, 对它们们建立AR(p)模型, 便得到参参数0,1,p的一种估计计.如果对yt2=htt2两边取对数数可得 log(yyt2)=logg(ht)+logg(t2) =logg(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)+logg(t2)记x(t)=llog(ytt2), c=Elog(t2), t=log(t2)-c, 于是上式可可写成x(t)=c+log(00+1ex(t-11)+2ex(t-22)+p ex(t-p)+ t. 于是又得到ARRCH模型的的另一种变形形. 此式是是关于序列x(t)的非线性自自回归模型, 注意

15、, 上式中的序序列t是i.ii.d.的. 此外, ARCH模模型还有别的的表示方法, 不再一一一介绍了.其八, 根据数数据y1,y2,yT, 要作自自回归条件异异方差模型的的统计分析, 包含两项项内容, 首首先是用假设设检验方法, 判别这些些数据是否有有条件异方差差条件性, 即, S(yt-1, yyt-2, )=常数数? 如果是是否定回答, 第二项内内容就是对AARCH模型型未知参数的的估计. 在在第2节中, 我们将介介绍参数的估估计方法, 在第3节中中, 介绍检检验方法.1.3. GAARCH(GGeneraalizedd ARCHH) 模型:在Engle(1982)提出ARCCH模型后,

16、 受到应用用者的关注, 特别是金金融界. 稍稍后几年, 也被时间序序列分析理论论研究所重视视. 从前面面对新息序列列et限制条件件的放宽过程程可见, 提提出ARCHH模型, 无无疑是对时间间序列分析理理论和应用研研究有开拓性性的意义. 在对ARCCH模型的理理论研究和应应用中, 人人们自然会发发问: 在(1.6)式式中, yt的条件方差差S2(yt-11, yt-22, ) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2, 只依赖于p个历历史值, 能能否考虑依赖赖全部历史值值的情况? Bolleerslevv(19866)给出了回回答, 他提提出了如下的的更广的模型型, 即GAARCH模型

17、型:yt=S(ytt-1, yyt-2, )t ht1/2 t, (1.11)ht=0+1yyt-12+2yt-22+pyt-p2+1ht-1+qht-q, (11.12)00, i00, i=1,2,p; j0, j=1,2,q. (1.13)其中t为ii.i.d.的N(0,1)分布布, 且t与 yt-1, yt-22, 独立.对此GARCHH模型作如下下说明:其一, 利用(1.12)式反复迭代代可得知, ht= S2(yt-1, yyt-2, )确实依依赖序列的全全部历史值, 但是, ht仅依赖有限限个参数.其二, 在19997年诺贝贝尔经济学奖奖, 被两位位研究期权定定价理论的BBlac

18、k-Scholles方程的的学者获得. 从理论上上人们发现, Blacck-Schholes方方程的解是连连续时间变化化的随机过程程, 对它进进行等间隔离离散化采样, 所得到的的序列, 恰恰好满足GAARCH模型型. 于是, GARCCH模型更被被认可, 而而且, 金融融界特别偏爱爱GARCHH模型.其三, 如前所所述, (11.13)式式的条件 000, 仍仍不能放宽为为00. 而且, (1.113)式中的的条件 i0, i=1,2,p, 还还应附加一个个限制: 11+2+ p0, 否否则如果全部部 i=0 (ii=1,2,p)将导导致(1.112)式的hht为常数(仍仍用迭代法可可证明).

19、 这一点未在在文献中指出出, 一个潜潜在原因是: 应用者默默认p 1, 且p0. 其四, 与对对ARCH模模型的说明中中的其五很类类似, 为使使GARCHH模型有平稳稳解, 对系系数i(i=1,2,p)和j0, j=1,2,q. 还还要加限制. 较早的限限制(也是较较强)是 1+p+11+ q pp时k=0; 当当kq时kk=0, wwt=ht(t2 1). 如如前所述wwt是平稳鞅鞅差序列, 所以, 以以上表达式说说明, hht是由wwt驱动的平平稳ARMAA序列. 以以上模型不仅仅表达了GAARCH模型型的结构特性性, 而且, 依此可借借助于平稳AARMA序列列建模方法, 得到GAARCH

20、模型型参数的一种种简单的估计计方法. 关关于GARCCH模型的参参数估计 和和检验方法, 分别在第第2节和第33节中介绍.2. GARCCH模型的参参数估计2.1. 概述述在实际应用中, 人们拥有有序列观测值值y1,y2,yn , 如果果要为它们建建立GARCCH模型, 将面对着下下列问题: 为什么要建建立GARCCH模型? 用多少阶数数的模型? 怎样获得模模型的参数值值? 回答了了这些问题, 就解决了了为GARCCH模型建模模的问题. 前两个问题题将在下一节节中讨论, 这一节只讨讨论模型的参参数估计问题题, 换言之之, 讨论在在模型阶数已已知时, 如如何根据观测测值y1,y2,yn, 估计计

21、出GARCCH(或者AARCH) 模型的参数数. 在统计计学中有多种种方法可以用用来解决这一一问题, 这这里只介绍两两种估计方法法. 一种是是比较简单的的方法, 另另一种是熟知知的极大似然然估计方法. 前一种估估计可能不如如后者精细, 但是它可可作为用迭代代法求取后者者时的初始值值. 另外, 对ARCCH和GARRCH模型而而言, 它们们的参数估计计方法的难易易程度有明显显差异, 所所以, 我们们将分别予以以介绍.2.2. ARRCH模型的的参数估计2.2.1. 最小二乘法法估计最小二乘法是非非常熟悉的方方法，此方法法是基于最小小二乘原理。我我们先指出在在此可以使用用此原理的依依据， 为此此不

22、妨以ARRCH（1）模模型为例说明明之。依(1.9)式知， 满满足ARCHH(1)模型的的序列 yyt必满足以以下模型yt 2=0+1yt-12+ wt , (2.1)其中wt是是鞅差序列，而而且wt= ht(t2-1), 于是有E wt| yt-12=E ht(t2-1) | yt-112 = hht E(t2-1) | yt-112 = hht Et2 | yt-12- ht = hht Et2 - hht = hht - ht=0. (a.s.) (2.2)利用此式可得知知， Eyt 2-a0-a1yt-122= E 0+1yt-12+ wt -a0-a1yt-122 = E(0- a0

23、)+(1- a1)yt-12+ wt 2= E(0- a0)+(1- a1)yt-122 + Ewwt 2 +22 E(0- a0)+(1- a1)yt-12wt= E(0- a0)+(1- a1)yt-122 + Ewwt 2 +22EE(0- a0)+(1- a1)yt-12wt| yt-12= E(0- a0)+(1- a1)yt-122 + Ewwt 2 +2EEE(0- a0)+(1- a1)yt-12Ewt| yt-12=E(0- a0)+(1- a1)yt-122+Ewt 2 (by(2.2)= E(0-a0)+(1-a1)yt-122 + Ehht(t2-1)2= E(0-a0

24、)+(1-a1)yt-122 + Eht2E(t2-1)2 Eht2E(t2-1)2=c. (依平稳性)易见，上式中的的=号成立，当当且仅当(0-a0)=(1-a1)=0. 此事实表表明，minE(yyt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=Eyt2-0-1yt-122. (2.3)此式表明，用所所有可能的系系数拟合(22.1)模型型时，只有以以其真系数拟拟合，才使拟拟合参差的方方差最小！在实际应用时，我我们没有(22.1)式中中的确切的概概率分布，但但是，我们有有序列 yyt 2的观测数数据y1,y2,yn , 根据据统计学的基基楚性原理大数定定律，(2.3)式的最最小化特征，用用样本

25、平均代代替之， 随随着样本个数数的增加将近近似成立。换换言之，求解解以下最小化化问题之解， 即min(n-1)-1t=2n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=(n-1)-1t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2, 显然, 此问题题等价于如下下的最小化问问题mint=22n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=t=2n(yyt2-a0*-a1*yt-12)2. (2.4)以其解(a0*,a1*)作为真参参数(0,1)的估计，称称它们为最小小二乘估计。这这就是使用最最小二乘原理理的依据。以上论述不难推推广到一般的的ARCH(p) 模型型，除了符号号的繁琐外，并并无

26、本质差异异。这里只强强调一点：对对ARCH(1)使用最最小二乘原理理时，残差项项wt与yt-1相互独独立且Ewtt=0是常见见的条件，至至少也要满足足条件E wt| yt-112=0(a.s.)。这这一点对一般般情况也适用用。现在介绍ARCCH(p)模型参参数最小二乘乘估计方法。首首先重新写出出(1.9)式yt2=0+11yt-12+2yt-22+pyt-p2+ wt , t=p+1,pp+2,n. (2.5)在此特别强调足足标t 的取值范范围，只是为为了模型中的的yt-p都落在在我们的数据据序列中。依依前所述，未未知参数=(0，1，22, , p)的最小二乘估计计*，就是如下下的最小值问问题

27、的解，即即mint=22n(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2: a0,a1,ap=t=2n(yyt 2-a0*-a1*yt-12-ap*yt-p2)2, (2.6)取最小二乘估计计*= (a0*,a1*, ap*) 。欲给出(a0*,a1*, ap*)的表达方式式，既可用分分析方法，又又可用代数方方法。现在使使用后一方法法,为此将(2.5)式式改写成Y=X+W， (2.7)其中Y=(yp+112,yp+22,yn2), W=(wp+12,wp+22,wn2),X=.当以a=(a00,a1,a2,ap) 为自由参数数向量时, 于是有t=p+1n(yt 2-a0

28、-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2=|Y-Xaa|2= (Y-XXa)t (Y-XXa) = YtY - YYtXa - atXtY +atXtXa =(XtXa-XtY)t (XtX)-1(XtXa-XtY) + YtY(XtY)t (XtX)-1(XtY)YtY(XXtY)t(XtX)-1(XtY),其中用到了以下下的矩阵性质质 (XtXa-XXtY)t (XtX)-1(XtXa-XtY)0.由前一式可知, (2.66)式的最小小值解必满足足XtXa-XtY=0. 现现在求解XtXa-XtY=0, 即XtXa=XtY, 其解为a*=(XtXX)-1XtY. (2.8)注

29、意, 上式右右边的矩阵XX和向量Y, 都是由已已知数据量组组成的, 计计算(XtX)-1和(XtX)-1XtY, 有许多多软件可供使使用. 当然然,也可以自自行编程序计计算之. 自回归模型(11.9)的系系数的最小二二乘估计, 被(2.88)式明显的的表达出, 而且便于计计算. 这一一优越性是自自回归模型所所特有的, 因此, 自自回归模型在在时间序列分分析中问世最最早. 类似似地, Enngel(11982)最最先引入的条条件异方差模模型, 又是是自回归型的的条件异方差差模型ARCH模模型, 也是是基于这一便便于使用的优优点. 稍后后几年才由BBollerrslev(1986)提出更一般般的G

30、ARCCH模型.在时间序列分析析中, 自回回归模型系数数的最小二乘乘估计, 有有很多优良性性质, 这已已经被研究得得很完美了. 但是, 将它用于AARCH模型型系数估计, 这些优良性性质不一定具具有了. 在此, 我我们仅指它的的优缺点. 其优点是: 易理解, 易计算; 缺点是: 欠精细, 缺少某些些优良性质. 欠精细是是相对极大似似然估计而言言的, 详见见后文. 缺缺少某些优良良性质, 是是指在使用最最小二乘估计计方法时, 还需要条件件E(yt2)20,a110,ap0; (yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)0=t=2n(yyt 2-a0+-a1+yt-12-a

31、p+yt-p2)2, (2.9)取估计*= (a0+, a1+, ap+) 。这里叙述述此方法的目目的有三点可可言, 其一一, 这是最最有效的保证证估计的分量量都是非负的的;其二,有有多种方法可可获得ARCCH模型系数数的估计;其其三,除了最最小二乘估计计,都不易计计算, 比如如(2.9)式的求解问问题, 就是是典型的优化化求解问题, 其计算的的复杂性可想想而知.2.2.2. 极大似然估估计对于序列y1,y2,yn , 如果果它们的联合合分布的形式式已知, 其其中只有有限限个参数未知知, 那么, 寻求合适适的参数值, 使得其分分布在这些观观测值y1,y2,yn处达到最大大值, 称其其为极大概率

32、率估计方法. 其合理性性是不言而喻喻的. 相对对其它方法, 可算是精精细些. 当当然, 其前前提是联合分分布的形式已已知的. 进进而言之, 如果已知联联合分布密度度函数时, 使用上述的的极大概率估估计方法, 应改为寻求求合适的参数数值, 使得得其分布密度度函数在这些些观测值y11,y2,yn处达到最大大值, 称其其为极大概率率密度估计方方法. 此情情况有更广的的应用背景, ARCHH模型数估计计就属于此情情况. 再进进一步, 如如果已知联合合分布密度函函数呈现指数数形式, 改改为寻求合适适的参数值, 使得其分分布密度函数数的对数函数数(此函数被被称为似然函函数), 在在这些观测值值y1,y2,

33、yn处达到极大大值, 称其其为极大似然然估计方法. 用极大化化似然函数代代替分布密度度函数, 只只是讨论和应应用时有方便便之处, 并并无本质区别别. 极大化化似然方法是是统计学中熟熟知的, 重重要的方法.依上所述, 使使用极大似然然估计方法, 有两个关关键步骤: 一是, 找找出y1,y2,yn的联合分布布密度函数, 它仅依赖赖有限个未知知参数, 由此易得其其似然函数; 二是, 寻找使似然然函数达到极极大值的参数数, 即参数数的极大似然然估计. 一一般说来, 第一步仅是是细心的推理理, 第二步步是精心的计计算, 而且且常常要使用用近似的迭代代算法. 以以下介绍ARRCH模型参参数的极大似似然估计

34、, 就要对此两两步作具体叙叙述.第一步: 根据据ARCH模模型的假定, 再使用条条件概率密度度的公式可得得知, y11,y2,yn的联合分布布密度函数f(y1,y22,yn)= f(Y), Y=(y11,y2,yn),有以下表达式 f(Y)=f(y11,y2,yn)=f(yn|yy1,y2,yn-1)f(y1,y2,yn-1) (依条件密密度公式)= (2hn)-1/2exxp- yyn2/2hn f(yy1,y2,yn-1) (依(1.5)式和ttN(0, 1), 且且n与yn-11, yn-22, 独立)=(0+1ynn-12+pyn-p2)-1/2exp-ynn2/2(0+1yn-12+

35、pyn-p2) f(y1,y2,yn-1) (依(1.6)式)=t=p+1nn(0+1yt-12+pyt-p2)-1/2exxp-ytt2/2(0+1yt-12+pyt-p2)f(y1,y22,yp)(2)-(n-pp)/2. (依反复复递推) (2.110)记其对数函数为为L()=logg f(y11,y2,yn) =-(1/22) t=pp+1nlog(0+1yt-12+pyt-p2)+ yt2/(0+1yt-12+pyt-p2) +logff(y1,y2,yp)+logg(2)-(n-pp)/2. (2.111)忽略上式中的常常数项和常数数因子-(11/2), 再记 ll()= t=pp

36、+1n lt()-log f(y1,y2,yp), (22.12)其中lt()=llog(0+1yt-12+pyt-p2)+ yt2/(0+1yt-12+pyt-p2).显然, l()与L()只相差差常数加项, 所以, 求解L()的最大大值解, 等等价于求解II()的最小小值解. 以以后我们总是是考虑后者. 在上述诸诸式中, ff(y1,y2,yp)是y1,y2,yp的联合分布布密度函数, 为了使用用极大似然估估计方法, 也应当将它它表达成依赖赖于y1,y2,yp和0,1,p的明确形式式. 这不是是一件容易的的事情! 仅以p=11为例, 即即可说明其难难点所在. 此时只须求求出y0和y1所满足

37、的共共同的分布密密度数, 并并使得它们满满足关系式 y1=(0+1y02)1/21, tN(0, 1), 且且t与y0独立.此问题看似简单单, 但是很很难解答. 举此例的目目的, 还在在于提请注意意, 当tN(0, 1)时, 由它驱动生生成的平稳AAR序列也是是正态分布的的, 但是, 由它驱动动生成的平稳稳ARCH序序列不是正态态分布的. 因为, 在在AR模型中中, t以加项形式式出现, 在在ARCH模模型中, tt以乘积因子子形式出现(见(1.55)式). 然而, 在在(2.100)式中, 人们容易误误以为f(yy1,y2,yn)是正态分分布的连乘积积形式, 所所以它是多元元正态密度. 其实

38、, 因子f(yy1,y2,yp)不是正态态的密度函数数(这一点容容易被忽视), 所以 f(y1,y2,yn)也不是正正态的.第二步: 寻求求极大似然估估计, 就是是寻求使(22.11)式式中L()取最大大值的, 等等价于寻求使使(2.122)式中l()取最小值值的. 很明明显, 此极极大似然估计计没有如同(2.8)式式的显示表达达式, 于是是只能寻找近近似的数值解解法. 由于于l()有很好好的解性质, 求(2.12)式中中l()的最小小值, 可求求 l()/=0的解解. 即使如如此, 也还很难求解. 进一步还还要使用其它它近似手段, 即将未知知项log f(yy1,y2,yp)从(2.12)式

39、中忽略掉掉, 寻求 t=p+1nn lt()/=0 (2.133)的解, 其中lt()/=llog(0+1yt-12+pyt-p2)/ +yt2/(0+1yt-12+pyt-p2)/. (2.14)请注意, ltt()/是向量, 所以(22.13)式式是(p+11)元代数方方程组, 利利用(2.114)式很容容易求得lt()/的表达式式, 而且 lt()/有很简单单的形式, 但是, 它它是非线性的的, 所以(2.13)式是(p+1)元非线线性代数方程程组. 求(2.13)式的数值解解法, 是计计算数学中的的简单问题, 即可使用用已有的软件件, 亦可自自行编程计算算, 这里从从略.2.3. GA

40、ARCH模型型的参数估计计2.3.1. 极大似然估估计在这一小节, 先介绍极大大似然估计, 因为这与与前面联系紧紧密. 如前前所述, GGARCH模模型的参数估估计, 要比比ARCH模模型复杂. 其复杂性表表现在: GGARCH模模型的参数估估计不仅没有有显示的表达达式, 而且且, 其似然然函数也没有有显示的表达达式, 只有有迭代计算公公式. 这一一特点, 对对求解极大似似然估计的算算法, 不带带来实质困难难, 但是在在叙述它时, 会繁琐些些. 现在叙述GARRCH模型似似然函数. 仿照(2.10)式可可得f(Y)=f(y1,y2,yn) =f(yyn|yn-1,.,yn-pp; hn, hn

41、-qq+1)f(yn-1,.,yn-pp; hn, hn-q+11) = (22hn)-1/2exxp- yyn2/2hn f(yyn-1,.,yn-pp; hn, hn-qq+1) =t=11n(2ht)-1/2exxp-ytt2/2ht f(yy0,.,yy-p+1; h1, h-q+2). (2.15)仿照(2.122)式又有I()= t=p+1n lt()+log f(y0,.,yy-p+1; h1, h-q+2), (2.16)其中lt()=loog ht + yt2/ht , =(00,1,p;1,q).再仿照(2.113)式和(2.14)式, 在求求解GARCCH模型参数数的极大

42、似然然估计时, 近似为求解解如下的方程程组之解, 即 t=p+1nn lt()/=0 (2.177)的解, 其中lt()/=llog ht/ +(yt2/ht )/ = hht-1(ht/)(1- yt2/ht). (2.188)在以上各式中, 虽然都是是明确的表达达式, 但是是, (ht/)尚未被表表达出来, 实际上无法法用显式表达达它. 幸运运的是, 它它有递推关系系式可利用. 在设计求求解方程(22.17)式式时, 有递递推关系式也也足够了. 记zt=(1,yyt-12, yt-222, yt-pp2; ht-11, ht-22, ht-qq),于是可得出(hht/)的递推关关系式如下h

43、t/=zt+k=1qk(ht-k/). (22.19)虽然有(2.119)式可用用, 但是, 此迭代公公式的初始值值 h1/, h0/, , h-q+2/仍然未有明显表表达式. 在在实际应用时时, 常用零零值作为它们们的近似值使使用, 于是是可求得近似似的极大似然然估计值. 当然, 求求解过程又常常用迭代算法法, 这里从从略.2.3.2. 最小二乘估估计对GARCH模模型参数使用用最小二乘估估计方法, 也同样遇到到像极大似然然估计类似的的麻烦. 在在此, 我们们推荐使用平平稳的ARMMA模型参数数的矩估计方方法. 细节节可参看有关关著作. 尽尽管如此, 当q值较大大时, 其算算法也不比极极大似

44、然估计计更方便. 所以, 最最多使用的仍仍是极大似然然估计方法.模型检验根据观测数据yy1,y2,yn , 判断断所要拟合的的模型是否适适用, 称为为模型检验. 在为数据据y1,y2,yn建立模型时时, 一般都都应当进行模模型检验. 对于GARRCH模型也也不例外. 所谓模型检检验, 有在在建立模型前前进行的, 有在之后进进行的. 对对于GARCCH模型来说说, 在为数数据y1,y2,yn建立GARRCH模型前前, 首先应应当判断有没没有必要. 如前言所说说到, 平稳稳序列的条件件方差S(yyt,yt-1,)可能是常常数值, 此此时就不必建建立GARCCH模型. 于是判断条条件方差S(yt,y

45、t-1,)是否为常常数, 就应应当在建模前前完成. 即即使经判断后后, 条件方方差不是常数数, 它也未未必满足GAARCH模型型. 然而目目前GARCCH模型是比比较熟知的条条件异方差模模型, 所以以常用它来近近似拟合观测测数据. 那那么, 在建建模后还应当当对所得到的的模型进行检检验, 以判判断其是否可可接受. 在在建模前和后后所进行的模模型检验, 其方法不一一定相同. 建模后使用用的模型检验验方法, 还还可作为确定定GARCHH模型阶数的的辅助手段. 以下分别别介绍.3.1. 条件件异方差性检检验 在这一一小节里, 我们仍考虑虑yt为鞅差序序列的情况, 也就是(0.12)式中的( yt-1

46、, yyt-2,)=0的情情况, 即yt= S(yyt-1,yt-2,)t, (3.1)其中t为标标准化的鞅差差序列, 即即E(t |ytt-1,yt-2,)=0, E(t2|yt-1,yt-2,)=1. 考查(3.1)式两边平方方的模型yt2= S22(yt-1,yt-2,)t2, 当S(yt-11,yt-2,)为常数时时, 不妨记记为, 即 Eyyt2|yt-1,yt-2,= S2(yt-1,yt-2,)= 2. (3.2)此时(3.1)式可写成yt2=2t22. (3.3)于是又有 yt2-2=2(t2-1). (3.4)此时我们还发现现E(yt2-2)|yt-11,yt-2,= Eyt

47、2|yt-1,yt-2,-2=2-2=0,这说明yt22-2也是鞅差差序列. 还还容易看出, 如果yyt是任意一一个鞅差序列列, 且Eyyt2=2, yt2-2未必是鞅鞅差序列. 但是从上式式不难看到, 当且仅当当(3.2)式成立时, yt2-2才是鞅差差序列. 此此事实是进行行条件异方差差性检验的理理论依据. 以下介绍具具体检验方法法.计算 n2=(1/nn)t=1nyt2.计算n=(1/n) t=1n(yt-1, , yt-mm),2=(1/n) t=1n(yt-1, , yt-mm)-n2,其中是m元标准准正态分布的的密度函数, mnn适当选定, 而且y00, y-1, , y-m+1以

48、零代替替.计算 nn=(1/nnn22)t=1n(yt2-n2)(yt-1, , yt-mm)2.计算n=(cn/nn2)t=1n(yt2-n2)I(yt-1s1,yt-msm)2(s1, , sm)ds1dsm,其中cn=O(n1/2), 最后计算 n= n+n.根据理论证明得得知, 随着着n, * 当S2(yyt-1,yt-2,)=2时, n12, * 当S2(yt-1,yt-2,)常数时, n.这就提供了检验验的依据, 即当给出置置信水平, 由2分布表可查查出边界值使使得P(12)=, 于是是 * 当 n 时, 接接受S2(yt-1,yt-2,)=2的假定; * 当 n 时, 拒绝绝S2

49、(yt-1,yt-2,)=2的假定.最后还需指出, 此方法是是近年提出的的, 还处在在研究之中, 比如, 前述中的mm和cn的选择问题题就有待研究究.3.2. ARRCH模型检检验在此小节中, 我们只介绍绍ARCH模模型(1.55)(1.66)式检验方方法. 此检检验是指对已已知其模型, 针对观测测数据y1,y2, yn, 判断它它们是否适合合此模型. 为此引入对对立假设H0: 模型(1.5)(1.6)成成立, H1: 模型(1.5)(1.6)不不成立.以下只介绍一种种简单的方法法, 即考查查序列p+12=ypp+12/hp+1, p+22=yp+22/hp+2, , n2=yn2/hn ,其

50、中ht=0+1yyt-12+2yt-22+pyt-p2, t=p+1,n.由于模型是已知知的, 所以以利用观测数数据y1,y2, yn可计算上述述序列值. 根据ARCCH模型的假假定, tt是一元标标准正态N(0,1)的的白噪声序列列, 于是上上述的序列 12,22,n2也是独立同同分布的序列列. 特别考考查中心化的的序列 (p+12-1), (p+22-1) , , (n2-1),它们也是独立同同分布的, 而且, 当当kj时, E(k2-1)(j2-1)=00. 这就为为检验提供了了依据. 比比较简单的检检验方法是相相关系数检验验方法. 具具体做法如下下. 计算k*=(1/nn-p) tt=

51、1n-kk(t2-1)(t+k2-1), k*=k*/00*, kk=0,1,2,K,QK=nt=11K(k*)2.请注意, 当kk0时, 如如果H0假定成立, 则有 k=E(t2-1)(t+k2-1)=00, k=k/0=0.易见, k*和和k*分别为k和k的样本估计计值, 当HH0假定成立时时, 随着n时时, k*和k* 0.从理论上已被证证明, 随着着n, * 当H0成立立时, QK K2, * 当H1成立时, QKK .这就提供了检验验的依据, 即当给出置置信水平, 由2分布表可查查出边界值QQ使得P(K2Q)=, 于是是 * 当 QKK0, ii0, i=1,22,p.其中t为ii.

52、i.d.的序列, tN(0, 1), 且且t与et-11, et-22, 独立.在下文中, 我我们将叙述如如何为联合模模型(4.11)-(4.3)(4.4), 以以及联合模型型(4.2)-(4.33)(4.44)建模. 前者称为:线性回归ARCCH模型, 后者称为:自回归ARCHH模型, 并并简记为ARRARRCH模型.为以上联合模型型建模时, 一种简便的的方法是两步步法. 对联联合模型(44.1)-(4.3)(4.4)式式而言, 在在已获得观测测数据(yt, xtt1, xt2, , xtss), tt=1,2,n,为了对(4.11)-(4.3)(4.4)式建模模, 分两步步完成:第一步,

53、按照照线性回归分分析方法, 给出回归系系数估计 a0*, a1*, , as* , (常常用最小二乘乘估计)再給出拟合残差差序列et*= ytt-(a0*+a1*xt1+a2*xt2+as*xts), tt=1,2,n.第二步, 将序序列e1*,e2*,en*看做观测测e1 ,e2 ,en的近似值. 按照前面面为y1 ,y2 , , yn建立ARCCH模型的方方法, 用于于对e1 ,e2 ,en的分析, 并获得模型型(4.3)(4.4)式的估计. 必要时, 还可作模模型检验.以上就是为(44.1)-(4.3)(4.4)式式建模的两步步法.当然, 我们也也可以使用熟熟知的极大似似然估计方法法为(

54、4.11)-(4.3)(4.4)式建模模. 但是, 其复杂程程度和计算难难度明显高于于上述方法. 只有当模模型阶数不太太高时才会使使用. 按照照前面叙述的的极大似然方方法的要领, 除了繁琐琐外并无实质质性困难.但但是, 无法法再利用前述述的GARCCH模型建模模方法.对于联合模型(4.2)-(4.3)(4.4)式而言, 在已获得观观测数据y11, y2, , yn, 为(44.2)-(4.3)(4.4)式式建模也分两两步完成:第一步, 按照照线性自回归归分析, 给给出自回归系系数估计 a0*, a1*, , as* , (常常用最小二乘乘估计)再給出拟合残差差序列et*= ytt-(a0*+a

55、1*yt-1+as*yt-s), tt=s+1,s+2,n.第二步, 将序序列es+11*,es+22*,en*看做观测测es+1, ees+1,en的近似值. 按照前面面为y1,y2, , yn建立ARCCH模型的方方法, 用于于对es+11 ,es+22 ,en的分析, 并获得模型型(4.3)(4.4)式的估计. 需要时, 还可作模模型检验.以上就是为(44.2)-(4.3)(4.4)式式建模的两步步法.当然, 对于(4.2)-(4.3)(4.4)式建模也可可使用极大似似然估计方法法, 其情况况与(4.11)-(4.3)(4.4)式类似似.最后, 按照类类似的推广方方法, 也可可以讨论(自

56、自)回归与GGARCH模模型的联合模模型. 除了了增加复杂性性以外, 并并无本质困难难, 这里不不再介绍了.4.2. 在区区间预报中的的应用在自回归分析中中, 预报是是重要的应用用之一. 除除了数值预报报外, 有时时还需要給出出预报值的区区间, 称为为区间预报. 在经典自自回归分析中中, 其预报报值与预报步步数和历史数数据有关, 但是, 其其预报区间只只与预报步数数有关, 和和历史数据无无关. 其根根原在于, 未考虑序列列的条件异方方差性. 近近年来, 由由于条件异方方差模型的问问世, 比如如GARCHH模型, 对对区间预报提提供了改进的的方法. 现现在就介绍用用GARCHH模型给出更更合理的

57、区间间预报方法.先回顾一下经典典的区间预报报方法. 不不妨只考查一一步预报. 以平稳ARR(s)序列列yt为例, 它满足如下下模型:yt=a1ytt-1+a2yt-2+asyt-s+et, (4.5)其中 et 为i.ii.d.序列列, 且ettN(0,2), et与 yt-1, yt-2,独立. 其一步预报报值为 ynn+1|n= a1yn+a2yn-1+asyn-s+1, (4.6)其预报误差及其其方差分别为为yn+1-ynn+1|n=a1yn+a2yn-1+asyn-s+1+en+1-(a1yn+a2yn-1+asyn-s+1)=en+11, (4.7) E(yn+1-yn+1|n)2=

58、Een+112=2. (4.88)而且, 其预报报误差的条件件方差也是22, 因为 E(yn+11-yn+1|n)2| yn, yn-1,=E en+12| yn, yn-1,= Een+112=2. (4.99)而且, 在给定定yn, yn-1,的条件下, 预报误差差en+1的条件件分布为N(0, 2), 它与与yn, yn-1,的取值无关关! 在统计计学中, 有有了en+11的分布就获获得了完全的的统计信息. 因此, 给定的置信信度1-, 取使得 P(|en+11|)=P(|en+11/|/)=1-, (4.110)其中en+1/N(0,1), 于于是由正态分分布表可查得得/=c之值, 进

59、而又可得得=c之值. 易见, 越越小也越小. 最后得到到对一步后的的未来值ynn+1的区间间预报为: (a1yn+a2yn-1+asyn-s+1-c, a1yn+a22yn-1+asyn-s+1+c), (44.11)而且yn+1落落入此区间的的概率为1-.在以上的回顾中中, 使用对对序列 eet 为i.i.d.的的假定. 如如果 ett 满足(4.3)(4.4)式式的ARCHH模型, 上上述的区间预预报将有无变变换呢? 其其实很简单, 只需注意意将“在给定yn, yn-1,的条件下, en+11服从N(00, 2)分布”改为“在给定yn, yn-1,的条件下, en+11服从N(00, hn

60、+1)分布”,并注意 hnn+1=0+1en2+2en-12+pen-p+12,其中et=yt-(a1yt-1+a2yt-2+asyt-s), t= n-p+11, n-p+2,n这表明在给定yyn, yn-1,的条件下, hn+11被yn, yn-1,yn-p+11给出, 它它是可计算的的, 但是不不一定恒为22值. 以hhn+1代替2, 重复前前面寻求区间间预报的步骤骤, 即对给给定的置信度度1-, 取取使得 P(|enn+1/ht1/2|1)的迭迭代计算公式式, 其中迭迭代的初始值值hn-j+1|n=hhn-j+11, j=11,p, 它它们可用(11.6)式迭迭代计算, 它们都是被被已