函数新定义问题

1、历年高考新定义函数问题一、利用函数性质解决函数新定义问题1,x为有理数1（2012年高考（福建理）设函数D(x),则以下结论错误的选项是0,x为无理数（）ACD(x)D(x)的值域为0,1不是周期函数BD(x)是偶函数DD(x)不是单调函数1【答案】C【解析】A,B.D均正确,C错误.【考点定位】该题主要观察函数的看法、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很要点.a2ab,ab2（2012年高考（福建理）关于实数a和b,定义运算“”:a*b,设b2ab,abf(x)(2x1)*(x1),且关于x的方程为f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范

2、围是_.2【解析】由定义运算“*可”知(2x2(2x1)(x2(x1)21，x01)1),2x1x148,画出该函数图象可知满f(x)=1)2(2x1)(x1),2x1x1121(x(x)x024足条件的取值范围是（13,0）.16二、利用数形结合解决函数新定义问题2x,x2,1.【2015高考天津，理8】已知函数fx2,x函数x22,gxbf2x，其中bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是()（A）7,（B）,7（C）0,7（D）7,24444【答案】D2x,x2,22x,x0【解析】由fx2得f(2x)x2,，x2,x2,x02xx2,x0因此yf(x)f(2x)4x2x,0

3、 x2，22x(x2)2,x2x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0 x2x25x8,x2yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,因此yfxgx恰有4个零点等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不同样的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象的4个公共点，由图象可知7.b248642【2015高考四川，理15】已知函数f(x)2x，g(x)x2ax（其中aR）.关于2.不相等的实数x1,x2，设mf(x1)f(x2)，ng(x1)g(x2).现有以下命题：x1x2x1x2（1）关于任意不相等的实数x1,x2，都有m0；（2）关于任意的a及任意不相等的实数x1,x2，都有n0；（3）关

4、于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得mn；（4）关于任意的a，存在不相等的实数x1,x2，使得mn.其中的真命题有【答案】【解析】（写出所有真命题的序号）.设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x1,g(x1),D(x2,g(x2).对（1），从y2x的图象可看出，mkAB0恒成立，故正确.对（2），直线CD的斜率可为负，即n0，故不正确.对（3），由m=n得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2).令h(x)f(x)g(x)2xx2ax，则h(x)2xln22xa.由h(x)0得：2xln22xa，作出y2xln2,y2xa的图

5、象知，方程2xln22xa不用然有解，因此h(x)不用然有极值点，即关于任意的a，不用然存在不相等的实数x1,x2，使得h(x1)h(x2)，即不用然存在不相等的实数x1,x2，使得n.故不正确.对（4），由m=n得f(x1)f(x2)g(x2)g(x1)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2).令h(x)f(x)g(x)2xx2ax，则h(x)2xln22xa.由h(x)0得：2xln22xa，作出y2xln2,y2xa的图象知，方程2xln22xa必必然有解，因此h(x)必然有极值点，即关于任意的a，必然存在不相等的实数x1,x2，使得h(x1)h(x2)，即必然存在不相等的实数x1,

6、x2，使得mn.故正确.因此（1）（4）【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】四川高考数学15题素来是一个异彩纷呈的题，其中优秀读者可从解析中慢慢领悟.解决此题的要点是转变思想，经过转变使问题得以解决.3（2013f(x)年高考湖北卷（文xx在R上为8）x为实数,x表示不高出x的最大整数,则函数（）A奇函数B偶函数C增函数D周期函数【答案】D【命题立意】此题观察函数的性质与判断。在1x2时，f(x)x1，在2x3时，f(x)x2，在3x4时，f(x)x3。在nxn1时，f(x)xn。画出图象由图象可知函数没有奇偶性,在n,n+1)上单调递加，是周期函数，周期是1.选D.4（2013年

7、高考辽宁卷（文12）已知函数fxx22a2xa2,gxx22a2xa28.设H1xmaxfx,gx,H2xminfx,gx,maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值,记H1x得最小值为A,H2x得最小值为B,则AB（）Aa22a16Ba22a16C16D16【答案】Cf(x)极点坐标为(a2,4a4)，g(x)极点坐标(a2,4a12)，并且f(x)与g(x)的极点都在对方的图象上，图象如图，A、B分别为两个二次函数极点的纵坐标，因此A-B=(4a4)(4a12)16.方法技巧（1）此题能找到极点的特色就为解题找到了打破口。（2）其实不是A，在同一个自变量获取。5（2

8、012年高考（福建理）函数f(x)在a,b上有定义,若对任意x1,x2a,b,有f(x1x2)1f(x1)f(x2),则称f(x)在a,b上拥有性质P.设f(x)在1,3上拥有22性质P,现给出以下命题:f(x)在1,3上的图像时连续不断的;f(x)在1,3上拥有性质P;若f(x)在x2处获取最大值1,f(x)1,x1,3;则对任意x1,x2,x3,x41,3,有f(x1x2x3x4)1f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)44其中真命题的序号是（）ABCD5【答案】D【解析】正确理解和推断可知错误,错误【考点定位】此题主要观察函数的看法、图像、性质,观察解析能力、推理能力、数形结合思想,转

9、变化归思想.三、利用特别值法解决函数新定义问题1,x0,1.【2015高考湖北，理6】已知符号函数sgnx0,x0,f(x)是R上的增函数，1,x0.g(x)f(x)f(ax)(a1)，则（）Asgng(x)sgnxBsgng(x)sgnxCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)【答案】B【解析】由于f(x)是R上的增函数，令f(x)x，因此g(x)(1a)x，由于a1，1,x0因此g(x)是R上的减函数，由符号函数sgnx0,x0知，1,x01,x0sgng(x)0,x0sgnx.1,x0【考点定位】符号函数，函数的单调性.【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在

10、选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造合适的函数，依照已知能快捷的获取答案。2.【2015高考浙江，理7】存在函数f(x)满足，对任意xR都有（）A.f(sin2x)sinxB.f(sin2x)x2xC.f(x21)x1D.f(x22x)x1【答案】D.【考点定位】函数的看法【名师点睛】此题主要观察了函数的看法，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也表现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数看法的实质理解到位，同时也观察了

11、举反例的数学思想.1（2013年高考陕西卷（文10）设x表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有（）A-x=-xBx+1x=2C2x=2xDx12xx2【答案】D代值法。对A,设x=-1.8,则-x=1,-x=2,因此A选项为假。对B,设x=1.8,则x+1=2,x=1,因此B选项为假。2对C,设x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,因此C选项为假。故D选项为真。因此选D4（2012年高考（四川理）记x为不高出实数x的最大整数,例如,22,1.51,0.31.设a为正整数,数列xn满足xnax1a,xn1xn(nN),现有以下命题:2当a5时数列xn的前3项依次为5,3,2;,

12、对数列xn都存在正整数k,当nk时总有xnxk;当n1时,xna1;对某个正整数k,若xk1xk,则xna.其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)答案xna解析若a5,依照xn1xn(nN)25131当n=1时,x2=3,同理x3=2,故对.22关于可以采用特别值列举法:当a=1时,x1=1,x2=1,x3=1,xn=1,此时均对.当a=2时,x123n此时均对=2,x=1,x=1,x=1,当a=3时,x1234n此时均对=3,x=2,x=1,x=2x=1,综上,真命题有.议论此题难度较大,不简单搜寻其解题的切入点,特别值列举是很有效的解决方法.四、新定义函数的综合问题1x,0 xa1（2

13、013年高考江西卷（文）设函数f(x)aa为常数且1(1x),ax11aa(0,1).1时,求f(f(1(1)当a=);23(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;2(3)关于(2)中x,x,设A(x,f(f(x),B(x,f(f(x121122区间1,1上的最大值和最小值.32【答案】解:(1)当a=1时,f(1)2,f(f(1)f(2)2(12)223333331xa2a2x,01a)(ax),a2xa(2)f(f(x)a(112(1a)2(xa),axaa11a)(1x),a

14、2a1x1a(1当0 xa2时,由1xx解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;a2当a2x1(ax)x解得xa(a2,a),a时由a2a1a(1a)因f(a2a)1?a2aa1a21a2aa1aa1a1故xa是f(x)的二阶周期点;a2a1当axa2a1时,由1(xa)x解得x21(a,a2a1)(1a)2a因f(1)1?(11a)21故x1不是f(x)的二阶周期点;2a1a2a2a当a2a1x1时,1(1x)x解得xa211(a2a1,1)a(1a)a因f(1)1?(11)a1a2a2a2a1a2a1a11aa1故x1是f(x)的二阶周期点.a2a1因此,函数f(x

15、)有且仅有两个二阶周期点,x1a,x21.a2a1a2a1(3)由(2)得A(aa),B(1,1)a2,a2a1a2a1a1a2a1则s(a)1?a2(1a),s(a)1?a(a32a22a2)2a2a12(a2a1)2由于a在11内,故s(a)0,则s(a)在区间113,，上单调递加，232故s(a)在区间111)=111，上最小值为s(，最大值为s()=203233322（2012年高考（上海春）此题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.uuuur(a,b)的“相伴函数”为f(x)asinxbcosx;函数定义向量OMuuuurf(x)asinxbcosx的“

16、相伴向量”为OM(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的会集为S.(1)设g(x)3sin(x)4sinx,求证:g(x)S;2(2)已知h(x)cos(x)2cosx,且h(x)S,求其“相伴向量”的模;(3)已知M(a,b)(b0)为圆C:(x2)2y2uuuur1上一点,向量OM的“相伴函数”f(x)在xx0处获取最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值范围.2证明:(1)g(x)3sin(x)4sinx4sinx3cosx2uuuur(4,3),g(x)S其“相伴向量”OM(2)h(x)cos(x)2cosx(cosxcossinxsin)2cosxsinsinx(cos2)cosxuuuur2),则函数h(x)的“相伴向量”OM(sin,cosuuuursin2(cos2)254cos|OM|uuuurasinxbcosxa2b2sin(x),其中