正多面体与欧拉定理课件

1、正多面体与欧拉定理正多面体与欧拉定理 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体正多面体： 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正多面体的展开图 正多面体的展开图 著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数

2、学，是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数，首先用表示连加，首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式欧拉欧拉公式及其应用 著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国讨论问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表(1)（2）（3）图形编号顶点数V面数F棱数E（1）（2）（3）（4）规律：V+F-E=2 464 8612 6812201230(4)讨论问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱( 6 )问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V

3、、面数F、棱数E 并填表讨论( 5 )5857812图形编号顶点数V面数F棱数E（5）（6）121224（7）( 7 )( 6 )问题1： （2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、多面体简单多面体表面经过连续变形能变成一个球面的多面体V+F-E=2简单多面体欧拉公式欧拉示性数多面体简单多面体表面经过连续变形能变成一个球面的多面体V+F问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩成平面图形问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABC问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩成平面图形

4、问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABC1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点数V和面数F的关系为_。欧拉公式的应用(2)一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系为_。1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点数V和面欧拉公式的应用2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数欧拉公式的应用2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶4、一个凸多面体的棱数是30，面数为12，则它的各面多边形内角的总和为_。5、是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边4、一个凸多面体的

5、棱数是30，面数为12，则它的各面多边形内欧拉公式的应用3、2019年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？欧拉公式的应用3、2019年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有小结猜想证明应用空间问题平面化V+F-E=2欧拉公式小结猜想证明应用空间问题平面化V+F-E=2欧拉公式（方法二）以四面体 为例来说明： 将它的一个面 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数 、棱数 与剩下的面数 变形后都没有变

6、。因此，要研究 、 和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形既可。 对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 ，就减少一个面 ，同理去掉棱 、 也就各减少一个面 、 因此， 、 的值都不变， 因此 的值也不变。（方法二）以四面体 为例来说明： 将它的一个面 去掉，并使其（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉 ，就减少一个顶点 ，同理，去掉 就减少一个顶点 ，最后剩下在此过程中 的值不变，但这时面数 是0。所以 的值也不变。最后只剩下 ，所以 最后加上去掉的一个面，就得到（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉例1. 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连有m条棱，令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，由于每条边都是两个面的公共边， 故多面体棱数 （2） 令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV条棱,由于每条棱有两个顶点， 故多面体棱数 （1）由（1）（2）得： ， 代入欧拉公式： 即 （3），又