经济时间序列的季节调整分解和平滑方法

1、经济时间序列的季节调整分解和平滑方法第1页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二1 经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素： 长期趋势要素T：代表经济时间序列长期的趋势特性。 循环要素C：以数年为周期的一种周期性变动，它可能是一种景气变动、经济变动或其他周期变动，它可以代表经济或某个特定工业的波动。 季节变动要素S ：每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季度为周期的周期性影响，是由温度、降雨、年中的月份，假期和政策等引起的。 不规则要素I：其变动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事故引起的，如：故障、罢工、意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改、测定误差等。

2、2.1 经济时间序列的分解第2页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二2图1 我国工业总产值的时间序列 Y 图形 图2 工业总产值的趋势循环要素 TC 图形 图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形 图4 工业总产值的不规则要素 I 图形 第3页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二3季节调整的概念 季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响，而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造成的，在经济分析中

3、称为季节性波动。经济时间序列的季节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这就是所谓的“季节调整” (Seasonal Adjustment)。 第4页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二42.2.1 X-11季节调整方法 2.2 经济时间序列的季节调整方法 X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能根据事先编入的

4、统计基准，按数据的特征自动选择计算方式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步精化。第5页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二5X12季节调整方法 美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进： (1) 扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能； (2) 新的季节调整结果稳定性诊断功能； (3) 增加

5、X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。 第6页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二6 X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节调整时，时间序列中不允许有零和负数。 加法模型 (2.2.1) 乘法模型： (2.2.2) 对数加法模型： (2.2.3) 伪加法模型： (2.2.4)第7页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二7例2.1 利用X12加法模型进行季节调整 图2.1a 社会消费品零售总额原序列 图2.1b 社会消费品零售总额

6、的TCI 序列第8页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二8 图2.1d 社会消费品零售总额 I 序列图2.1c 社会消费品零售总额的TC序列第9页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二9 TRAMO(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)用来估计和预测具有缺失观测值、非平稳ARIMA误差及外部影响的回归模型。它能够对原序列进行插值，识别和修正几种不同类型的异常值，并对工作日变化及复活节等特殊回归因素及假定为ARIMA过程的误差项的参数进行估计。

7、SEATS(Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型来对时间序列中不可观测成分进行估计。 这两个程序往往联合起来使用，先用TRAMO对数据进行预处理，然后用SEATS将时间序列分解为趋势要素、循环要素、季节要素及不规则要素4个部分。2.2.3 TRAMO/SEATS方法第10页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二10 也分乘法模型和加法模型。 X-12法与移动平均法的最大不同是：X-12法中季节因子在不同年份是不同的，而在移动平均法中，季节因子被假设为是相同的。2.2.4 移动平均方法 第11页，共42页，2022年

8、，5月20日，18点27分，星期二11 本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击Proc按钮将显示菜单：2.2.5 季节调整相关操作 (EViews软件)第12页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二12 1. X11方法 X-11法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法模型)，乘法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列（趋势循环不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序列可被分解为季节调整后

9、序列与季节项的和。乘法模型只适用于序列值都为正的情形。 第13页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二13 2. Census X12方法 EViews是将美国国势调查局的X12季节调整程序直接安装到EViews子目录中，建立了一个接口程序。 EViews进行季节调整时将执行以下步骤： 1给出一个被调整序列的说明文件和数据文件； 2利用给定的信息执行X12程序； 3返回一个输出文件，将调整后的结果存在EViews工作文件中。 X12的EViews接口菜单只是一个简短的描述，EViews还提供了一些菜单不能实现的接口功能，更一般的命令接口程序。 第14页，共42页，2022年，

10、5月20日，18点27分，星期二14 调用X12季节调整过程，在序列窗口选择Procs/Seasonal Adjustment / Census X12，打开一个对话框： 第15页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二153. 移动平均方法 第16页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二16 Tramo(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)是对具有缺失观测值，ARIMA误差、几种外部影响的回归模型完成估计、预测和插值的程序。 Seats(Sign

11、al Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型的将可观测时间序列分解为不可观测分量的程序。这两个程序是有Victor Gomez 和Agustin Maravall 开发的。 当选择了Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 时，EViews执行外部程序，将数据输给外部程序，然后将结果返回EViews。 4. tramo/Seats方法 第17页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二17第18页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二182.3 趋势分解 本章第2节介绍的季节调整方法

12、可以对经济时间序列进行分解，但在季节调整方法中，趋势和循环要素视为一体不能分开。本节专门讨论如何将趋势和循环要素进行分解的方法。测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回归分析方法、移动平均法、阶段平均法(phase average，PA方法)、指数平滑方法、HP滤波方法和频谱滤波方法（frequency (band-pass) filer， BP滤波）。本节主要介绍HP滤波方法。 第19页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二192.3.1 Hodrick-Prescott（HP）滤波 在宏观经济学中，人们非常关心序列组成成分中的长期趋势，Hodrick-Prescott滤

13、波是被广泛使用的一种方法。该方法在Hodrick and Prescott(1980) 分析战后美国经济周期的论文中首次使用。我们简要介绍这种方法的原理。设Yt是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，YtT是其中含有的趋势成分， YtC是其中含有的波动成分。则 (2.3.1) 计算HP滤波就是从Yt中将YtT 分离出来 。第20页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二20 一般地，时间序列Yt中的不可观测部分趋势YtT常被定义为下面最小化问题的解： (2.3.2)其中：c(L)是延迟算子多项式 (2.3.3) 将式(2.3.3)代入式(2.3.2)，则HP滤波的问题就是使下面

14、损失函数最小，即 (2.3.4)第21页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二21 最小化问题用c(L)YtT2 来调整趋势的变化，并随着 的增大而增大。这里存在一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。 = 0 时，满足最小化问题的趋势等于序列Yt； 增加时，估计趋势中的变化总数相对于序列中的变化减少，即 越大，估计趋势越光滑； 趋于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地， 的取值如下： 第22页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二22 使用Hodrick-Prescott滤波来平滑序列，选择Proc/ Hodric

15、k Prescott Filter出现下面的HP滤波对话框： 首先对平滑后的序列给一个名字，EViews将默认一个名字，也可填入一个新的名字。然后给定平滑参数的值，年度数据取100，季度和月度数据分别取1600和14400。不允许填入非整数的数据。点击OK后，EViews与原序列一起显示处理后的序列。注意只有包括在当前工作文件样本区间内的数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为NA。 第23页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二23 例2.3 利用HP滤波方法求经济时间序列的趋势项T 利用HP滤波方法求中国社会消费品零售总额月度时间序列和中国GDP季度时间序列的趋势项。图2

16、.4 蓝线表示GDP序列、 红线表示趋势T序列图2.5 蓝线表示社会消费品零售总额、 红线表示趋势T序列 第24页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二242.3.2 频谱滤波（BP滤波）方法 20世纪以来，利用统计方法特别是时间序列分析方法研究经济时间序列和经济周期的变动特征得到越来越广泛的应用。自时间序列分析产生以来，一直存在两种观察、分析和解释时间序列的方法。第一种是直接分析数据随时间变化的结构特征，即所谓时域（time domain）分析法，使用的工具是自相关（或自协方差）函数和差分方程；另一种方法是把时间序列看成不同谐波的叠加，研究时间序列在频率域（frequenc

17、y domain）里的结构特征，由于这种分析主要是用功率谱的概念进行讨论，所以通常称为谱分析。第25页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二25 谱分析的基本思想是：把时间序列看作是互不相关的周期（频率）分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。因此，在研究时间序列的周期波动方面，它具有时域方法所无法企及的优势。 第26页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二26 BP滤波的操作 在EViews中，可以使用 Band-Pass 滤波对经济时间序列进行趋势循环分解。在序列对象的菜单中选择 Proc/ Freq

18、uency Filter，显示如下所示的对话框。第27页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二27 为了使用Band-Pass滤波，首先要选择一种滤波类型。共有3种类型： （1） BK固定长度对称滤波（Fixed length symmetric (Baxter-King，BK)）； （2）CF固定长度对称滤波（Fixed length symmetric (Christiano-Fitzgerald，CF)）； （3）全样本长度非对称滤波（Full sample asymmetric(Christiano-Fitzgerald)）。 EViews默认的是BK 固定长度对称滤

19、波。如果使用固定长度对称滤波，还必须指定先行/滞后（Lead/lag）项数n。第28页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二28 用户必须选择循环周期（Cycle periods）的区间以计算Band-Pass滤波的频率响应函数的权重序列。这个区间由一对数据（PL，PU）描述，PL、PU 由Band-Pass滤波要保留的循环波动成分所对应的周期来确定。月度数据填月数；季度数据填季度的个数。EViews将根据数据类型填入了默认数值。例如，根据增长率周期波动分析，认为中国社会消费品零售总额的增长周期大约在1年半（18个月）到5年（60个月），如果保留在这个区间内的循环要素，则区间

20、的下界是18，上界是60。因此，设定PL=18，PU=60。第29页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二29 在Band-Pass滤波的输出结果中，左侧的图描述了原序列、趋势序列和循环序列。对于BK和CF固定长度对称滤波而言，EViews 画出频率响应函数w()，频率 的区间是0，0.5，右面的图描述了频率响应函数。但是，对于时变的CF滤波，并没有画出频率响应函数，因为滤波的频率响应函数随数据和观测值个数变化。 用户需要输入希望保存的结果（循环成分、趋势成分）对象的名字。循环序列（Cycle series）是包含循环要素的序列对象；趋势序列(Non-cyclical ser

21、ies)是实际值和循环序列的差。用户还能得到在滤波中所用的Band-Pass滤波频率响应函数的权序列，它将存储在矩阵对象中。 第30页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二30第31页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二312.3.3 指数平滑 指数平滑是可调整预测的简单方法。当只有少数观测值时这种方法是有效的。与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平滑法的预测用过去的预测误差进行调整。 1.单指数平滑（一个参数） 2.双指数平滑（一个参数） 3.Holt-Winters 无季节趋势（两个参数） 4.Holt-Winter加法模型（三个参数） 5.Holt

22、-winters乘法模型（三个参数） 第32页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二32 1.单指数平滑（一个参数） 这种单指数平滑方法适用于序列值在一个常数均值上下随机波动的情况，无趋势及季节要素。 平滑后的序列 计算式如下 = 为平滑因子。 越小， 越平缓，重复迭代，可得到 由此可知为什么这种方法叫指数平滑，y的预测值是y过去值的加权平均，而权数被定义为以时间为指数的形式。 单指数平滑的预测对所有未来的观测值都是常数。这个常数为 （对所有的K0）,T是估计样本的期末值。要开始递归，我们需要 和 的初值。EView使用原来观测值的均值来开始递归。Bowermen和OConn

23、ell（1979）建议 值在0.01到0.03之间较好。也可以让EViews估计使一步预测误差平方和最小的 值。 第33页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二33 2.双指数平滑（一个参数） 这种方法是将单指数平滑进行两次（使用相同的参数）。适用于有线性趋势的序列。序列y的双指数平滑以递归形式定义为 S是单指数平滑后的序列，D是双指数平滑序列。注意双指数平滑是阻尼因子为 的单指数平滑方法。双指数平滑的预测如下最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距为 ，斜率为 第34页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二34 3.Holt-Winters无季节

24、趋势（两个参数） 这种方法适用于具有线性时间趋势无季节变差的情形。这种方法与双指数平滑法一样以线性趋势无季节成分进行预测。双指数平滑法只用了一个参数，这种方法用两个参数。 平滑后的序列 由下式给出 a表示截距；b表示趋势。这两个参数由如下递归式定义 在0-1之间，为阻尼因子。这是一种有两个参数的指数平滑法。预测值计算如下 这些预测值具有线性趋势，截距为 ，斜率为 。注意到无季节的Holt-Winters与 的加法及乘法模型并不相同， 只限制季节因子不变为非零常数。 第35页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二35 4.Holt-Winter加法模型（三个参数） 该方法适用于具有线性时间趋势和加法模型的季节变差。 平滑后的序列 由下式给出其中：a表示截距： b表示趋势： 为加法模型的季节因子： 在0-1之间，为阻尼因子。在Cycle for Season中指定s为季节频率，预测值由下式计算季节因子用最后期的s估计。第36页，共42页，2022年，5月20日，18点27分，星期二36 5.Holt-winters乘法模型（三个参数） 这种方法适用于序列具有线性时间趋势以及乘法模型的季节变差。 的平滑序列 由下式给出其中：a表示截距 b表示趋势 为乘法模型的季节因子 在0-1之间，为阻尼因子。在Cycle