八年级数学下册18.2特殊的平行四边形练习(新版)新人教版【含答案】

1、 .2特殊的平行四边形182.1矩形第1课时矩形的性质01基础题知识点1矩形的性质1F列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C1对边相等对角相等23.4.5.C.对角线相等如图，在矩形ABCD中，A.ZABC=90C.OA=OBD.D.对边平行对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是(D)B.AC=BD如图，在矩形ABCD中，ABVBC,AC,BD相交于点0,则图中等腰三角形的个数是(C)A.8B.6C.4D.2如图，在矩形ABCD中,A.30B.60对角线AC,BD相交于点O,ZACB=30。，则ZAOB的大小为(B)(2017怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点

2、O,ZAOB=60,AC=6cm,则AB的长是(A)B.6cmA.3cmB.6cm10cmD.12cm如果矩形的一边长为6,一条对角线的长为10,那么这个矩形的另一边长是8.如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点0,若A0=1,则BD=2.（2016昆明）如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6,BC=8，则四边形EFGH的面积是24.（2016岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF,EF丄DF.求证：BF=CD.证明：四边形ABCD为矩形，?.ZB=ZC=90.ZBFE+ZBEF=90.EF丄DF,AZDFE=90.AZBFE+Z

3、CFD=90.zbef=zcfd.在厶BEF和ACFD中，Nef=zcfd,BE=CF,.ZB=ZC,BEF9ACFD(ASA).BF=CD.知识点2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，在RtAABC中，ZC=90,AB=10cm,D为AB的中点，则CD=5cm.第10题图第11题图如图，在RtAABC中，ZACB=90,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，若CD=5cm，贝EF=5cm.如图，D,E,F分别是ABC各边的中点，AH是高，如果ED=5cm,求HF的长.解：由题意得：DE是AABC的中位线,.de解：由题意得：DE是AABC的中位线,.de=|ac.2HF是RtAAHC

4、的斜边AC的中线,.HF=;AC.2HF=DE=5cm.02中档题（2016荆门）如图，在矩形ABCD中（ADAB）,点E是BC上一点，且DE=DA,AF丄DE，垂足为点F.在下列结论中,不一定正确的是（B）A.AAFDsADCEB.AF=2aDC.AB=AFD.BE=AD-DF第13题图第14题图（2016绵阳）如图，ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O,AC丄AB,E是BC中点,AOD的周长比厶AOB的周长多3cm,则AE的长度为（B）3cmB.4cmC.5cmD.8cm如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE丄BD于点E,若ZDAE：ZBAE=3:贝UZ

5、EAC的度数是(C)A.18B.36C.45D.7216.(2016宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)A.4.8B.5C.6D.7.217.(2017广西四市同城)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,点E,DF.求证：AE=CF；若AB=6,ZCOD=60。，求矩形ABCD的面积.F在BD上,BE=解：证明：四边形ABCD是矩形，0A=0C，0B=0D，AC=BD，ZABC=90.BE=DF，0E=0F.在厶AOE和中，OA=OC，ZA0E=ZC0F，、OE=OF，AOE$A

6、COF(SAS).AE=CF.OA=OC，OB=OD，AC=BD，：OA=OB.VZAOB=ZCOD=60，AOB是等边三角形.*.0A=AB=6.AAC=20A=12.在RtAABC中，BC=：AC2AB2=6；3，：S矩形ABCDABBC=6X6冷3=36：3.18.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,延长CB到点E,使BE=BC，连接AE.求证:(1)四边形ADBE是平行四边形；5若AB=4,0B=；,求四边形ADBE的周长.证明：(1)四边形ABCD为矩形，ADBC,AD=BC.又BE=BC，且点C,B,E在一条直线上,ADBE,AD=BE.四边形ADBE是平行四边形.(2

7、)四边形ABCD为矩形,.*.ZBAD=90,0B=0D.BD=20B=5.在RtABAD中，AD=i5242=3.又四边形ADBE为平行四边形，BE=AD=3,AE=BD=5.03综合题19.如图，将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与点C重合，则折痕EF的长为AScm.习题解析第2课时矩形的判定01基础题知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形下列说法正确的是(D)有一组对角是直角的四边形一定是矩形有一组邻角是直角的四边形一定是矩形对角线互相平分的四边形是矩形对角互补的平行四边形是矩形如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形

8、ADBE是矩形解：AB=AC，AD是BC边上的中线,AD丄BC.ZADB=90.又四边形ADBE是平行四边形，四边形ADBE是矩形(2016内江)如图所示，AABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD，连接BF.求证：D是BC的中点；若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.解：(1)证明：AFBC，.ZAFC=ZFCB.又VZAEF=ZDEC，AE=DE，AEF$ADEC(AAS).af=dc.又AF=BD,BD=DC，即D是BC的中点.四边形AFBD是矩形证明：AFBC,AF=BD,四边形AFBD是平行四边形.AB=AC

9、,D是BC的中点，AD丄BC，即ZADB=90.四边形AFBD是矩形.知识点2对角线相等的平行四边形是矩形能判断四边形是矩形的条件是(C)两条对角线互相平分两条对角线相等两条对角线互相平分且相等两条对角线互相垂直如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ADBC,AC=BD.试添加一个条件答案不唯如：ABCD，使四边形ABCD为矩形.如图，矩形ABCD的对角线相交于点0,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由.ADBC解：四边形EFGH是矩形.理由：四边形ABCD是矩形，AC=BD,AO=CO,BO=DO.AO=CO=BO=DO.点E

10、,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,.EO=FO=GO=HO.：OE=OG,OF=OH.四边形EFGH是平行四边形.又EO+GO=FO+HO，即EG=FH,四边形EFGH是矩形.知识点3有三个角是直角的四边形是矩形已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)AOA=OC,OB=ODAC=BDAC丄BDZABC=ZBCD=ZCDA=90已知：如图，在ABCD中，AF,BH,CH,DF分别是ZBAD,ZABC,ZBCD,ZADC的平分线.求证：四边形EFGH为矩形.证明：四边形ABCD是平行四边形，Z.ZDAB+ZADC=180.AF,DF分别平分Z

11、DAB,ZADC,1.ZFAD=ZBAF=2ZDAB,1ZADF=ZCDF=2ZADC.ZFAD+ZADF=90.AZAFD=90.同理可得：ZBHC=ZHEF=90.四边形EFGH是矩形.02中档题以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)AB=CD,AD=BC,ZA=90OA=OB=OC=ODAB=CD,ABCD,AC=BDAB=CD,ABCD,OA=OC,OB=OD(2016荷泽)在口ABCD中，AB=3,BC=4,当口ABCD的面积最大时，下列结论：AC=5，/A+ZC=180AC丄BDAC=BD，正确的有(B)B.C.D.如图，AABC中，AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,

12、F,BE丄DF交DF的延长线于点E,已知ZA=30,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是(A)B.D.4D.12.如图，在四边形ABCD12.如图，在四边形ABCD中,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,贝四边形EFGH的面积为12.如图，四边形ABCD中，ABDC,ZB=90,F为DC上一点，且FC=AB,E为AD上一点，EC交AF于点G.求证：四边形ABCF是矩形若ED=EC，求证:EA=EG.证明：(1)ABDC,FC=AB,四边形ABCF是平行四边形.又VZB=90,四边形ABCF是矩形.四边形ABCF是矩形，ZAFC=ZAFD=90.ZDAF=90ZD,ZCGF=90Z

13、ECD.VED=EC,AZD=ZECD.ZDAF=ZCGF.又VZEGA=ZCGF,.ZDAF=ZEGA.EA=EG.如图，将口ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE，连接BD,DE,EC,DE交BC于点O.求证：ABDABEC；若ZBOD=2ZA，求证：四边形BECD是矩形.证明：(DY在口ABCD中，AD=BC,AB=CD,ADCB,.ZA=ZEBC.在厶ABD和厶BEC中，AB=BE,ZA=ZEBC,、AD=BC,ABD$ABEC(SAS).(2)Y在口ABCD中，ABCD,且AB=BE,BE垒CD.四边形BECD为平行四边形.11.ob=2BC,oe=ed.VZBOD=2ZA=2ZE

14、BC,且/BOD二/EBC/BEO,Z.ZEBC二二/BEO.OB=OE.BC=ED.四边形BECD是矩形03综合题如图，在ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MNBC.设MN交ZACB的平分线于点交ZACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF；若CE=12,CF=5，求0C的长;当点0在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.视频讲解视频讲解解：(1)证明：TCF平分ZACD，且MNBD,AZACF=ZFCD=ZCFO.OF=OC.同理可证：OC=OE.OE=OF.(2)由(1)，知ZOCF=ZOFC，ZOCE=ZOEC，AZOCF+ZOCE=ZOFC+ZO

15、EC.V(ZOCF+ZOCE)+(ZOFC+ZOEC)=180,.ZECF=ZOCF+ZOCE=90EF=CE2+CF2=冷122+52=13.又TOE=OF，OC=EF=13TOC=EF=13T当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.理由：连接AE，AF.当点O移动到AC中点时，OA=OC，又TOE=OF，四边形AECF为平行四边形.又VZECF=90，四边形AECF为矩形18.2.218.2.2菱形第1课时菱形的性质01基础题知识点1菱形的性质1(2016莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是1对边相等对角相等对边相等对角相等对角线互相平分对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相

16、垂直2如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点2如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,下列说法错误的是(B)3.A.ZADB=ZCDBC.AC丄BDB.AC=BD如图，已知菱形ABCD的边长等于2,ZDAB=60,则对角线BD的长为(C)1C.24.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是(D4.5.A.10B.8C5.A.10B.8C.D.5如图，菱形ABCD中，E,F分别是AB,若EF=2，则菱形ABCD的周长是16.AC的中点,6.如图，在菱形6.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.AE和AF有什么样的数量关系？说明理由.解：A

17、E=AF.理由：四边形ABCD是菱形,.AB=AD,ZB=ZD,BC=CD.又E,F分别为BC,CD的中点,.be=1bc,df=|cd.BE=DF.ABE9AADF（SAS）.AE=AF.知识点2菱形的面积7.(2016宁夏)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，E，F分别是AD，CD边的中点，连8.（2017宜宾8.（2017宜宾）如图,接EF.若EF=V2,BD=2，则菱形ABCD的面积为(A)A.9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0,且ZACD=30,BD=4,求菱形ABCD的面积.解：四边形ABCD是菱形，BD=4,110A=0C=2AC,OB=OD=

18、2BD=2,AC丄BD.在RtAOCD中，ZOCD=30,CD=20D=4,OC=-CD2-OD2=；4222=2观.AC=2OC=;3.S=1ACBD=1X13X4=J3.菱形ABCD22V耳02中档题02中档题10A.6込米10A.6込米第10题图第11题图B.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，ZBAD=60，则花坛对角线AC的长等于(A)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点0，E为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28,则0E的长等于(A)B.4B.4C.714如图，在菱形ABCD中，M,N分别在AB，CD上,且AM=CN,MN与AC交于点0,连接B0.若ZDAC

19、=28，则ZOBC的度数为(C)TOC o 1-5 h z28526272(2017南充)已知菱形的周长为4冷5,两条对角线的和为6,则菱形的面积为(D)2B.聶C3D4(2017东营)如图，已知菱形ABCD的周长为16,面积为8翻，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为2315.如图，在菱形ABCD中15.如图，在菱形ABCD中,ZA=60,AB=4,O为对角线BD的中点，过0点作OE丄AB，垂足为E.求ZABD的度数;(2)求线段BE的长.解：(解：(DY在菱形ABCD中，AB=AD，ABD为等边三角形.ZABD=60.(2)由(1)可知BD=AB=4,又0为BD

20、的中点，OB=2.又YOE丄AB，ZABD=60，；.ZBOE=30./.BE=|oB=1.(2016苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.求证：四边形ACDE是平行四边形；若AC=8,BD=6,求厶ADE的周长.解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABCD,AC丄BD.AECD.又.DE丄BD,DEAC.又.AECD,四边形ACDE是平行四边形.四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6,.*.AO=4,D0=3,AD=CD=pA02+D02=5.四边形ACDE是平行四边形，AE=CD=5,DE=AC=8.C=AD+AE+DE

21、=5+5+8=18.ADE03综合题17在菱形ABCD中，ZB=60。，点E在边BC上，点F在边CD上.如图1,若E是BC的中点，ZAEF=60,求证：BE=DF；如图2,若ZEAF=60，求证：AAEF是等边三角形.证明：连接AC,四边形ABCD是菱形AB=BC=CD.VZB=60,AABC是等边三角形.E是BC的中点，AE丄BC.ZAEF=60,ZFEC=9060=30又VZC=180ZB=120,AZEFC=30ZFEC=ZEFC.CE=CF.又.BC=CD,ABCCE=CDCF，即BE=DF.(2)连接AC,由(1),得厶ABC是等边三角形,AAB=AC.VZBAE+ZEAC=60,Z

22、EAF=ZCAF+ZEAC=60,AZBAE=ZCAF.四边形ABCD是菱形，ZB=60,AZACF=11ZBCD=60=ZB.ABE9AACF.AE=AF.又VZEAF=60,.AEF是等边三角形.第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1如图，若要使ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)AB=CDAD=BCC.AB=BCD.如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)AB=BCB.AC=BCZB=60D.ZACB=60如图，在ABC中，AD是ZBAC的平分线，DE#AC交AB于E,DFAB交AC于F,求证：

23、四边形AEDF是菱形.证明：.DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形.ZFAD=ZEDA.TAD是ZBAC的平分线，.ZEAD=ZFAD.ZEDA=ZEAD.AE=ED.四边形AEDF是菱形.知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件BO=DO(答案不唯一），使四边形ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）（2017岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程.已知：如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AC丄BD

24、.求证：四边形ABCD是菱形.证明：四边形ABCD为平行四边形,BO=DO.AC丄BD,AC垂直平分BD.AB=AD.四边形ABCD为菱形.知识点3四条边相等的四边形是菱形（2016大庆）下列说法正确的是（D）对角线互相垂直的四边形是菱形矩形的对角线互相垂直一组对边平行的四边形是平行四边形四边相等的四边形是菱形（2017宁夏）在厶ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将厶ABC沿AC翻折，使点B落在点D处,当DMAB时，求证：四边形ABMD是菱形.证明：ABDM，.ZBAM=ZAMD.由折叠性质得：ZCAB=ZCAD，AB=AD，BM=DM.ZDAM=ZAMD.DA=DM=AB=BM.四边形

25、ABMD是菱形.02中档题（2017聊城）如图，AABC中，DEBC，EFAB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（D）AB=ACAD=BDBE丄ACBE平分ZABC如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于*AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(B)A.A.矩形C.一般的四边形B菱形平行四边形第9第9题图第10题图(2016兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，CEBD，DEAC，AD=2：3DE=2，则四边形0CED的面积为(A)4D.8(1)ZCEB=ZCB

26、E；连接DE.求证:11D.8(1)ZCEB=ZCBE；连接DE.求证:11.四边形BCED是菱形.证明：(1)AABCAABD，ZABC=ZABD.CEBD，ZCEB=ZABD.ZCEB=ZCBE.(2)VABCABD，ABC=BD.由(1)得ZCEB=ZCBE，ACE=CB.ACE=BD.又CEBD，四边形BCED是平行四边形.又BC=BD，四边形BCED是菱形.（2016聊城）如图，在RtABC中，ZB=90，点E是AC的中点，AC=2AB,ZBAC的平分线AD交BC于点D,作AFBC，连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证：四边形ADCF是菱形.证明：AFCD,ZAFE=ZCDE.

27、在厶AFE和厶CDE中，ZAFE=ZCDE，ZAEF=ZCED，、AE=CE，AFE9ACDE(AAS).AF=CD.AFCD，四边形ADCF是平行四边形.点E是AC的中点，AC=2AB,AE=AB.TAD平分ZBAC,AZEAD=ZBAD.又.AD=AD,AEDABD(SAS).AZAED=ZB=90，即DF丄AC.四边形ADCF是菱形.03综合题如图，在四边形ABCD中，ABCD,ABHCD,BD=AC.求证:AD=BC；若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分.AEB证明：延长DC至K,使CK=AB.连接BK.TAB纟CK,四边形ABKC是

28、平行四边形.ACBK.ZACD=ZK.TBD=AC,AC=BK,ABD=BK.AZBDC=ZK.AZACD=ZBDC.在BDC中，AC=BD,ZACD=ZBDC,、CD=DC,ACD9ABDC(SAS).AD=BC.(2)分别连接EH,HF,FG和GE.TE,H分别是AB,BD的中点,.EH为AABD的中位线.aeh=1ad.同理：gf=2ad,eg=|bc,hf=1bc.又由(1)知AD=BC,EH=HF=FG=GE.四边形EHFG是菱形.线段EF与线段GH互相垂直平分18.2.3正方形01基础题知识点1正方形的性质平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)对角线互相平分对角线互相垂

29、直对角线相等对角线互相垂直平分且相等如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,0A=3，则此正方形的面积为(C)TOC o 1-5 h zA.3、耘B.12C18D36如图，菱形ABCD中，ZB=60,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)A14B15C16D174如图，有一ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上若ZECD=35，ZAEF=15，则ZB的度数为(C)A50B55C70D75(2016龙岩)如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则ZCME=45.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边厶ABE,连接DE,

30、CE，则ZCED的度数为150.(2016哈尔滨中考改编)已知，如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上,AQ丄BE于点Q,DP丄AQ于点P.求证：AP=BQ.证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，ZDAB=90.AZBAQ+ZDAP=90.DP丄AQ，ZAPD=90.ZADP+ZDAP=90.*.ZADP=ZBAQ.AQ丄BE,ZBQA=90.在ADAP和中，zadp=zbaq,ZAPD=ZBQA=90,、AD=BA,DAP9AABQ(AAS).AP=BQ.知识点2正方形的判定已知在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90,如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是(

31、D)A.ZD=90B.AB=CDAD=BCD.BC=CD两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是(D)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点0,分别延长OA，OC到点E,F,使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点.求证：BAE9ABCF；若ZABC=50。，则当ZEBA=20时，四边形BFDE是正方形.证明：在菱形ABCD中，BA=BC，*.ZBAC=ZBCA.AZBAE=ZBCF.在厶BAE和厶BCF中，BA=BC，ZBAE=ZBCF，、AE=CF，BAE$ABCF(SAS).02中档题(2016台州)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(B)A.1次B.2次C.3次D.4次(2017兰州)在ABCD中，对角线AC与DB相交于点0.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件.下面给出了四组条