新教材人教A版选择性必修第一册-3.3.1-抛物线及其标准方程-学案

1、 PAGE PAGE 73.3抛物线3.素养目标定方向 课程标准学法解读1了解抛物线的定义及焦点、准线的概念2掌握抛物线的标准方程及其推导过程1结合教材实例掌握抛物线的定义(数学抽象)2掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程(数学运算)3通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力(数学运算)必备知识探新知 知识点1 抛物线的定义1定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)_距离相等_的点的轨迹2焦点：定点F3准线：定直线l思考1：抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F？提示：若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线知识点

2、2 抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)_eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)_xeq f(p,2)_y22px(p0)_eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)_xeq f(p,2)_x22py(p0)_eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)_yeq f(p,2)_x22py(p0)_eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)_yeq f(p,2)_思考2：抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？提示：p的几何意义是焦点到准线的距离关键能力攻重难 题型探究题型一根据抛物线方程求焦点坐标

3、以及准线方程典例1求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y212x；(2)3x24y0；(3)x32y2；(4)y2ax(a0)分析先将所给方程转化为标准方程的形式，确定其开口方向，求出p的值，再写出焦点坐标和准线方程解析(1)由方程y212x知，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p12，所以p6，eq f(p,2)3，因此焦点坐标为(3,0)，准线方程为x3(2)方程3x24y0可化为x2eq f(4,3)y，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，2peq f(4,3)，所以peq f(2,3)，eq f(p,2)eq f(1,3)，因此焦点坐标为eq blc(rc)(avs4a

4、lco1(0，f(1,3)，准线方程为yeq f(1,3)(3)方程x32y2可化为y2eq f(1,32)x，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2peq f(1,32)，所以peq f(1,64)，eq f(p,2)eq f(1,128)，因此焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,128)，0)，准线方程为xeq f(1,128)(4)当a0时，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2pa，所以peq f(a,2)，eq f(p,2)eq f(a,4)，因此焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，0)，准线方程为xeq f(a,4)；当a0

5、时，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2pa，所以peq f(a,2)，eq f(p,2)eq f(a,4)，因此焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，0)，准线方程为xeq f(a,4)综上可得，当a0时，抛物线的焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，0)，准线方程为xeq f(a,4)规律方法由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点

6、在负半轴【对点训练】(1)抛物线x22y0的准线方程为(C)Axeq f(1,2)Bxeq f(1,2)Cyeq f(1,2)Dyeq f(1,2)(2)抛物线yx2的焦点坐标为(D)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0)Ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)解析(1)方程化为x22y，焦点在y轴的负半轴上，p1，所以准线方程是yeq f(1,2)(2)方程化为x2y，焦点在y轴负半轴上，2p1，所以eq f(p,2)eq f(

7、1,4)，故焦点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)题型二求抛物线的标准方程典例2根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为yeq f(2,3)；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点分析(1)(2)eq x(aal(由题意可确,定方程形式)eq x(求出p)eq x(aal(写出抛物线,的标准方程)(3)eq x(aal(设出抛物线,的标准方程)eq x(aal(代入点的,坐标求参数)eq x(aal(写出抛物线,的标准方程)(4)eq x(写出焦点坐标)eq x(aal(分情况讨

8、论,焦点的位置)eq x(aal(写出抛物线,的标准方程)解析(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且eq f(p,2)eq f(2,3)，则peq f(4,3)，所以所求抛物线的标准方程为x2eq f(8,3)y(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y(3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得peq f(1,6)；若抛物线的标准方程为x22py

9、(p0)，则由(3)22p(1)，解得peq f(9,2)所求抛物线的标准方程为y2eq f(1,3)x或x29y(4)对于直线方程为3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，eq f(p,2)3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，eq f(p,2)4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x所求抛物线的标准方程为x212y或y216x规律方法1求抛物线标准方程的方法：直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物

10、线方程为y2mx或x2my2已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定【对点训练】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(1,2)；(2)焦点在直线x2y40上分析从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p，因此只需一个条件即可解析(1)设所求的抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，过点(1,2)，42p(1)或(1)22p2p2或peq f(1,4)故所求的抛物线方程为y24x或x2eq f(1,2)y，对应的准线方程分别为x1，yeq f(1,

11、8)(2)令x0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，eq f(p,2)4，p8，此时抛物线方程y216x；当焦点为(0，2)时，eq f(p,2)|2|，p4，此时抛物线方程为x28y故所求的抛物线方程为y216x或x28y，对应的准线方程分别是x4，y2题型三利用抛物线的定义解决轨迹问题典例3已知动点M(x，y)满足5eq r(x12y2)|3x4y2|，则动点M的轨迹是(D)A椭圆B双曲线C直线D抛物线解析方程5eq r(x12y2)|3x4y2|可化为eq r(x12y2)eq f(|3x4y2|,5)，eq r(x12y2)表示点M(x，y)

12、到定点(1,0)的距离，eq f(|3x4y2|,5)表示M(x，y)到定直线3x4y20的距离，因此动点M(x，y)到定点(1,0)的距离等于它到定直线3x4y20的距离，且定点(1,0)不在定直线3x4y20上，故动点M的轨迹是以(1,0)为焦点，以3x4y20为准线的抛物线规律方法定义法解决轨迹问题根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时，要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，对所给方程进行适当变形，分析其几何意义，然后结合有关曲线的定义作出判定【对点训练】一个动圆经过点A(2,0)，并且和直线l：x2相切，则动圆圆心M的轨迹方程是_y28x_解析设动圆的半径为R因为动圆经过点A(

13、2,0)，所以|MA|R又因为动圆和直线l：x2相切，所以圆心M到直线l：x2的距离dR，即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等，故其轨迹是抛物线，且A是焦点，l是准线，并且有eq f(p,2)2，所以p4，故动圆圆心M的轨迹方程是y28x题型四抛物线的实际应用典例4一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m分析建立适当的坐标系，通过确定点的坐标确定出抛物线的方程，把卡车的宽度坐标化，利用抛物线解决问题解析以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2

14、)，f(a,4)，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)2meq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，ma，即抛物线方程为x2ay将(0.8，y1)代入抛物线方程，得0.82ay1，即y1eq f(0.82,a)欲使卡车通过隧道，应有y1eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)3，即eq f(a,4)eq f(0.82,a)3a0，a64eq r(2.41)故使卡车通过的a的最小整数值为13规律方法求解抛物线的实际应用问题的基本步骤(1)建：建立适当的坐标系(2)设：设出合适的抛物线标准方程(3)算：通过计算求出抛物线标准方程(4)求：求出所要求出的量(5)还：还原到实际问题中，从而解决实际问题【对点训练】如图是抛物线形拱桥，当水面在l处时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为_2eq r(6)_米解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将A(2，2)代入x2my，得m2x22y将B(x0，3)代入x22y，得x0eq r(6)或eq r(6)(舍去)，故水面宽为2eq r(6)米易错警示典例5设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程错解准线方程为xeq f(m,4)，因为准线与直线x1的距