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文档简介
1、向量和三角形的五心台北市立成功高中游經祥、劉國莉壹、前言: 在本校自然資優班的一次數學課堂中,筆者講到以下的性質:在中,若點為的重心,則,其中點為任一點。 下課後,有位許同學便到辦公室提出以下的問題:(1)在中,點為的重心,可得到的結果;那麼反過來, 若有一點,滿足,是否保證點為的重心呢?(2)在中,另外的四心,即內心、垂心、外心、傍心,是否也有類似充要條件的性質呢? 當時筆者告訴許同學,重心、內心、傍心有類似性質,其中重心的性質是充要條件沒錯;至於內心、傍心的性質是否為充要,還須再證明看看;而垂心、外心的向量充要性質老師還沒看過,容老師再思考一些時間。 接到許同學的問題後,筆者便與劉國莉老師
2、一起討論,經過仔細探討之後,我們得到以下的結果:1. 重心向量性質的充要條件與證明。2. 內心向量性質的充要條件與證明。3. 傍心向量性質的充要條件與證明。4. 外心向量性質的充要條件與證明。5. 垂心向量性質的充要條件與證明。貳、重心的向量性質: 我們將三角形重心與向量性質的充要條件寫成定理1如下:定理1:如圖(一),在中,則點為的重心的充要條件為(其中點為任一點)圖(一)證明:設點為的重心,延長交於點,則,。因此,。 設點為任一點, 。 另一方面,已知,其中點為任一點,令代入得。延長交於點,設,共線,得。因此,故為邊上的中線。同理可證:延長交於點,則為邊上的中線,故點為的重心。参、內心的向
3、量性質: 我們先證明三角形的內分比性質的充要條件,再進一步證明三角形內心與向量性質的充要條件,分別寫成性質1及定理2如下:性質1:圖(二)如圖(二),在中,點為上的一點,則為的角平分線的充要條件為證明:證明省略。圖(三)如圖(三),設中,因,設,為正數。作交的延長線於點,則。可知,又,得為的角平分線。定理2:如圖(四),在中,點為任一點,則點為的內心的充要條件為圖(四)證明:已知點為的內心,延長交於點,則, 。因此, 。 設點為任一點, 。已知,其中點為任一點,可取點等於點代入,得。 延長交於點,設 ,因共線。,由性質1可知:為的角平分線。同理,可證為的角平分線,因此點為的內心。肆、傍心的向量
4、性質: 我們先證明三角形的外分比性質的充要條件,再進一步證明三角形傍心與向量性質的充要條件,分別寫成性質2及定理3如下:性質2:圖(五)如圖(五),在中,則為的外角平分線(點在的延長線上)的充要條件為。證明:已知為的外角平分線,作平行交於點;又平行,即得。由平行可得。已知,作交於點, 。,。因此為的外角平分線。定理3:如圖(六),在中,點為任一點,則(1)點為所對之傍心的充要條件為。(2)點為所對之傍心的充要條件為圖(六)(3)點為所對之傍心的充要條件為證明:只證明(1),而(2)與(3)同理,故省略。如圖(六),點為,所對之傍心。過點作平行分別交、的延長線於、。由性質1,可設,又且,由。所以
5、 。 設為任一點, 。已知,令點為點代入,得。 設交於點,可設,因共線 。,由性質1知:為的內角平分線。另一方面,令點為點代入,得,。又為的內角平分線;因此,。,由性質2可知:為的外角平分線。同理可證:為的外角平分線。故為中所對之傍心。伍、外心的向量性質: 我們將三角形外心與向量性質的充要條件寫成定理4如下:定理4:如圖(七),在中,點為任一圖(七)點,則點為的外心的充要條件為,(其中表的面積)證明:如圖(七),已知點為的外心,。設於點,於點,則。同理,。 設 -(),由方程組()可得。由海龍公式,其中,可知。由方程組()可得,。所以 。 設平面上任一點, 。已得到,利用面積公式,及餘弦定理、
6、代入上式,即可得。圖(八)已知,點為平面上任一點,令點為點代入,得。如圖(八),設點為中點,。因此。所以,直線為的中垂線。同理可證為的中垂線。故點為的外心。陸、垂心的向量性質: 我們將三角形垂心與向量性質的充要條件寫成定理5如下:定理5:如圖(九),在中,點為任一點,則點為的垂心的充要條件為(其中表的面積)圖(九)證明:如圖(九),中,。於點,於點,點為的垂心。則 ,;因此, 。 設 -()。由方程組()可得。,。設平面上任一點, 接者,將面積公式,及餘弦定理、代入,即可得。 如圖(九),已知,點為任一點。令點為點代入,得。因此,直線垂直。同理可證,直線垂直,故點為的垂心。柒、結論: 我們在本文的探討研究中,發現學生有時會提出看似平凡而卻容易被遺漏的問題,而這些問題在被提出後,往往是令人覺得深思的問題。平常在教學過程中,看到三角形的重心,便自然想到向量的性質的口訣,甚至很少特別提出這是三角形重心的充要條件;內心、傍心亦復如是。匆匆歲月,經過學生提問,才激勵我們將三角形五心與向量性質的充要條件,作進一步的整理,並完成五心與向量性質充要條件的證明,實在是感恩學生的提問與智慧。 從探討中我們深深感到教學相長的真實,學生的提問有時會激發老師另層的深入思考,難怪古人說:有天才學生,沒有天才老師。因此,在此提出,千萬不
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