2010+数学奥林匹克解答

1、5/52010中国数学奥林匹克解答1、如图，两圆1,2 相交于,两点,过点B的一条直线分别交圆1，2 于点，D，过点B的另一条直线分别交圆1， 2于点，F，直线CF分别交圆1,2 于点P，Q设M， 分别是弧PB,弧的中点。求证：若CD EF ,则C,F，N四点共圆(熊斌提供)证明连接AC，AD,AE，AF，DF则由ADB AF，CBF及题设C F知ADAF，所以D AFAC AE,故DAFD.从而ABC AFD ADAF即B是CB 的角平分线。连接,N ，由于是弧B的中点，所以CM是DCF的角平分线同样FN是C的角平分线,于是,M,三线共点.设它们的交点为I 圆1和2 中，由圆幂定理得CIIM

2、 AIIB ,AIB NII ，所以NIF CIM 从而C,F,，N 四点共圆.2、设整数k，数列a满足a 2 ，且对所有nk，有证明：数列nan中有无穷多项是素数（朱华伟提供）证明:假设al l，lk.再设为l1的最小素因子3设复数a,b，c满足:对任意模不超过1的复数z,都有最大值.（李伟固提供）解：令取适当的实数，使得有 第二天。设,n是给定的大于1的整数,都是整数.证明:存在整数集的一个子集T，其元素个数5我们对放置点A，A2,，An及点O处的卡片进行操作(n3）.所谓一次操作是指（1)若某个点Ai处的卡片数目不少于，则可从中取出3张，在点i-1，i 及处各放一张（这里0 ，1 ；或者

3、（)若点处的卡片数目不少于n,则可从中取出张，在点1,2，”，n处各放一张证明:只要放置于这1个点处的卡片总数不少于n2 n1，则总能通过若干次操作,使每个点处的卡片数目均不小于n(瞿振华提供）证明：只需考虑卡片总数等于n2 n1的情况我们采取如下策略:如果有某个点Ai处的卡片数不少于3，则对点i处的卡片进行操作（1）这样的一次操作使得点处的卡片数增加1于是经过有限次操作(1后将不能再进行操作（1)这时每个点i 处的卡片数不超过2点O处的卡片数不少于n2 n1然后对点O处的卡片进行n1次操作（2)这样每个点A处的卡片数不少于n1下面我们在保持每个点i 处的卡片数不少于n1的情况下使点O处的卡片

4、数增加至少n设想1,2,n 顺次排列在以为圆心的圆周上连续相邻的若干个点的集合G i ，i1,，l11inl称为一个团,这里若有下标j n，则A Ajn一个团称为好团如果对中每点处的卡片都做一次操作(）后中每点处的卡片数仍然不少 于.设，a，,an 分别为点1，2，n 处的卡片数，i n， ,，n.好团需满 足如下的充要条件一个点的团 i是好团当且仅当ai n4两个点的团 i，i 是好团当且仅当ai ,a1 n3;l个点的团(l n1)G i，1， ,l1是好团当且仅当ai ，ai13且an2jl2最后全部n个点的团G ，2,是 好团当且仅当ajn，1j n下面证明当点O处的卡片数少于n1时，

5、或等价地,aaann1时，必存在好团。假设不存在好团，于是每个an，n,n，否则会有某个点i 处的卡片数in,Gi是一个好团.设1,a2,，n 中有x个n,y个n2,z个3.下面说明一定有x z由于n22n (n)故1若z 1则有x1否则所有ai,iG 1,2，n是一个好团若z2有3张卡片的个点将圆周分成 段圆弧由于不存在好团，这z 个点没有两点相邻,且每段圆弧上都存在一个点只有n1张卡片故xz.这样点1，2，n 处的卡片总数为x（n) y(n） (n)（x yz)（n） n() n2 2n1。 矛盾这样我们证明了当点O处的卡片数少于1时点，,n 中总存在好团于是每 次对一个好团中的每个点做操作（1），直至点处的卡片数不少于，而点1,2，,n处的卡片数也不少于n结论证毕6设为互不相同的正整数，满足 对任何正整数n成立求证:存在正整数，使得i ki ，i ,(陈永高提供）证明：设r为任意正整数。由于素数有无穷多个，故存在素数p,使得（1)由于为素数及（)，故（p，1 2 a3） 1。又与p1互素，由中国剩余定理知存在正整数n，使 （2） (3)由（2),(3）及Fma小定理知 ()由题设，得下面先证一个引理