导数在经济学中的应用

1、导数与微分在经经济中的简单单应用一、边际和弹性性（一）边际与边边际分析边际概念是经济济学中的一个个重要概念，通通常指经济变变量的变化率率，即经济函函数的导数称称为边际。而而利用导数研研究经济变量量的边际变化化的方法，就就是边际分析析方法。1、总成本、平平均成本、边边际成本总成本是生产一一定量的产品品所需要的成成本总额，通通常由固定成成本和可变成成本两部分构构成。用c(x)表示，其其中x表示产品的的产量，c(x)表示当当产量为x时的总成本本。不生产时，x=0，这时c(xx)=c(oo)，c(o)就是是固定成本。平均成本是平均均每个单位产产品的成本，若若产量由x0变化到，则：称为c(x)在在内的平

2、均成本本，它表示总总成本函数cc(x)在内的平均变变化率。而称为平均成本本函数，表示示在产量为xx时平均每单单位产品的成成本。例1，设有某种种商品的成本本函数为：其中x表示产量量（单位：吨吨），c(xx)表示产量量为x吨时的总成成本（单位：元），当产产量为4000吨时的总成成本及平均成成本分别为：如果产量由4000吨增加到到450吨，即即产量增加=50吨时，相相应地总成本本增加量为：这表示产量由4400吨增加加到450吨吨时，总成本本的平均变化化率，即产量量由400吨吨增加到4550吨时，平平均每吨增加加成本13.728元。类似地计算可得得：当产量为为400吨时时再增加1吨吨，即=1时时，总成

3、本的的变化为：表示在产量为4400吨时，再再增加1吨产产量所增加的的成本。产量由400吨吨减少1吨，即即=-1时，总总成本的变化化为：表示产量在4000吨时，减减少1吨产量量所减少的成成本。在经济学中，边边际成本定义义为产量增加加或减少一个个单位产品时时所增加或减减少的总成本本。即有如下下定义：定义1：设总成成本函数c=c(x)，且且其它条件不不变，产量为为x0时，增加（减减少）1个单单位产量所增增加（减少）的的成本叫做产产量为x0时的边际成成本。即：其中=1或 EMBED Equation.3 =-1。由例1的计算可可知，在产量量x0=400吨吨时，增加11吨的产量时时，边际成本本为13.7

4、7495；减减少1吨的产产量时，边际际成本为133.75055。由此可见见，按照上述述边际成本的的定义，在产产量x0=400吨吨时的边际成成本不是一个个确定的数值值。这在理论论和应用上都都是一个缺点点，需要进一一步的完善。注意到总成本函函数中自变量量x的取值，按按经济意义产产品的产量通通常是取正整整数。如汽车车的产量单位位“辆”，机器的产产量单位“台”，服装的产产量单件“件”等，都是正正整数。因此此，产量x是一个离散散的变量，若若在经济学中中，假定产量量的单位是无无限可分的，就就可以把产量量x看作一个个连续变量，从从而可以引人人极限的方法法，用导数表表示边际成本本。事实上，如果总总成本函数cc

5、(x)是可导函函数，则有：由极限存在与无无穷小量的关关系可知： （11）其中，当很小时时有： （22）产品的增加=11时，相对于于产品的总产产量而言，已已经是很小的的变化了，故故当=1时（22）成立，其其误差也满足足实际问题的的需要。这表表明可以用总总成本函数在在x0处的导数近近似地代替产产量为x0时的边际成成本。如在例例1中，产量量x0=400时时的边际成本本近似地为，即即：误差为0.055，这在经济济上是一个很很小的数，完完全可以忽略略不计。而且且函数在一点点的导数如果果存在就是唯唯一确定的。因因此，现代经经济学把边际际成本定义为为总成本函数数c(x)在x0处的导数，这这样不仅克服服了定义

6、1边边际成本不唯唯一的缺点，也也使边际成本本的计算更为为简便。定义2：设总成成本函数c(x)为一可导导函数，称为产量是x0时时的边际成本本。其经济意义是：近似地等于于产量为x0时再增加（减减少）一个单单位产品所增增加（减少）的的总成本。若成本函数c(x)在区间II内可导，则则为c(x)在区间II内的边际成成本函数，产产量为x0时的边际为边边际成本函数数在x0处的函数值值。例2：已知某商商品的成本函函数为： （Q表示产量）求：（1）当QQ=10时的的平均成本及及Q为多少时，平平均成本最小小？（2）Q=100时的边际成成本并解释其其经济意义。解：（1）由得得平均成本函函数为：当Q=10时：记，则令

7、 得：Q=20而，所以当Q=20时，平平均成本最小小。这个不能省去的的，见课本PP155（第第二充分条件件）（2）由得边际际成本函数为为：则当产量Q=110时的边际际成本为5，其其经济意义为：当产量为110时，若再再增加（减少少）一个单位位产品，总成成本将近似地地增加（减少少）5个单位位。2、总收益、平平均收益、边边际收益总收益是生产者者出售一定量量产品所得以以的全部收入入，表示为RR(x)，其中x表示销售量量（在以下的的讨论中，我我们总是假设设销售量、产产量、需求量量均相等）。平均收益函数为为，表示销售售量为x时单位销售售量的平均收收益。在经济学中，边边际收益指生生产者每多（少少）销售一个个

8、单位产品所所增加（减少少）的销售总总收入。按照如上边际成成本的讨论，可可得如下定义义。定义3：若总收收益函数R（x）可导，称称为销售量为x00时该产品的的边际收益。其经济意义为在在销售量为xx0时，再增加加（减少）一一个单位的销销售量，总收收益将近似地地增加（减少少）个单位。称为边际收益函函数，且3、总利润、平平均利润、边边际利润总利润是指销售售x个单位的产产品所获得的的净收入，即即总收益与总总成本之差，记记L(x)为总利润润，则： （其中xx表示销售量量） 称为平均利利润函数定义4：若总利利润函数L(x)为可导函函数，称为L(x)在xx0处的边际利利润。其经济意义为在在销售量为xx0时，再多

9、（少少）销售一个个单位产品所所增加（减少少）的利润。根据总利润函数数，总收益函函数、总成本本函数的定义义及函数取得得最大值的必必要条件与充充分条件可得得如下结论。由定义，令结论1：函数取取得最大利润润的必要条件件是边际收益益等于边际成成本。又由L(x)取取得最大值的的充分条件：可得：结论2：函数取取得最大利润润的充分条件件是：边际收收益等于边际际成本且边际际收益的变化化率小于边际际成本的变化化率。结论1与结论22称为最大利利润原则。例3：某工厂生生产某种产品品，固定成本本2000元，每生产产一单位产品品，成本增加加100元。已已知总收益RR为年产量QQ的函数，且且问每年生产多少少产品时，总总利

10、润最大？此时总利润润是多少？解：由题意总成成本函数为：从而可得利润函函数为：令所以Q=3000时总利润最最大，此时LL(300)=250000，即当年年产量为3000个单位时时，总利润最最大，此时总总利润为255000元。若已知某产品的的需求函数为为P=P(x)，P为单位产品品售价，x为产品需求求量，则需求求与收益之间间的关系为：这时其中为边际需求求，表示当需需求量为x时，再增加加一个单位的的需求量，产产品价格近似似地增加个单单位。关于其其它经济变量量的边际，这这里不再赘述述。我们以一道例题结结束边际的讨讨论。例4：设某产品品的需求函数数为，其中P为价格，x为需求量，求求边际收入函函数以及x=

11、20、550和70时时的边际收入入，并解释所所得结果的经经济意义。解：由题设有，于于是，总收入入函数为：于是边际收入函函数为：由所得结果可知知，当销售量量（即需求量量）为20个个单位时，再再增加销售可可使总收入增增加，多销售售一个单位产产品，总收入入约增加122个单位；当当销售量为550个单位时时，总收入的的变化率为零零，这时总收收入达到最大大值，增加一一个单位的销销售量，总收收入基本不变变；当销售量量为70个单单位时，再多多销售一个单单位产品，反反而使总收入入约减少8个个单位，或者者说，再少销销售一个单位位产品，将使使总收入少损损失约8个单单位。（二）弹性与弹弹性分析弹性概念是经济济学中的另

12、一一个重要概念念，用来定量量地描述一个个经济变量对对另一个经济济变量变化的的反应程度。1问题的提出出设某商品的需求求函数为，其其中P为价格。当当价格P获得一个增增量时，相应应地需求量获获得增量，比比值表示Q对P的平均变化化率，但这个个比值是一个个与度量单位位有关的量。比如，假定该商商品价格增加加1元，引起起需求量降低低10个单位位，则；若以以分为单位，即即价格增加1100分（11元），引起起需求量降低低10个单位位，则。由此此可见，当价价格的计算单单位不同时，会会引起比值的的变化。为了了弥补这一缺缺点，采用价价格与需求量量的相对增量量，它们分别别表示价格和和需求量的相相对改变量，这这时无论价格

13、格和需求量的的计算单位怎怎样变化，比比值都不会发发生变化，它它表示Q对PP的平均相对对变化率，反反映了需求变变化对价格变变化的反应程程度。2、弹性的定义义定义1：设函数数在点的某邻域域内有定义，且且，如果极限限存在，则称此极极限值为函数数在点x0处的点弹性性，记为；称比值为函数在之间的的平均相对变变化率，经济济上也叫做点点之间的弧弹弹性。由定义可知：，且且当时，有：即点弹性近似地地等于弧弹性性。如果函数在区间间（a、b）内内可导，且，则则称为函数在区间间（a、b）内内的点弹性函函数，简称为为弹性函数。函数在点x0处处的点弹性与与之间的弧弹弹性的数值可可以是正数，也也可以是负数数，取决于变变量y

14、与变量x是同方向变变化（正数）还还是反方向变变化（负数）。弹弹性数值绝对对值的大小表表示变量变化化程度的大小小，且弹性数数值与变量的度量单位位无关。下面面给出证明。设为一经济函数数，变量x与y的度量单位位发生变化后后，自变量由由x变为，函数值值由y变为，且，则。证明：即弹性不变。由此可见，函数数的弹性（点点弹性与弧弹弹性）与量纲纲无关，即与与各有关变量量所用的计量量单位无关。这这使得弹性概概念在经济学学中得到广泛泛应用，因为为经济中各种种商品的计算算单位是不尽尽相同的，比比较不同商品品的弹性时，可可不受计量单单位的限制。下面介绍几个常常用的经济函函数的弹性。3、需求的价格格弹性需求指在一定价价

15、格条件下，消消费者愿意购购买并且有支支付能力购买买的商品量。消消费者对某种种商品的需求求受多种因素素影响，如价价格、个人收收入、预测价价格、消费嗜嗜好等，而价价格是主要因因素。因此在在这里我们假假设除价格以以外的因素不不变，讨论需需求对价格的的弹性。定义2：设某商商品的市场需需求量为Q，价格为P，需求函数数Q=Q(P)可导，则则称为该商品的需求求价格弹性，简简称为需求弹弹性，通常记记为。需求弹性表示商商品需求量QQ对价格P变变动的反应强强度。由于需需求量与价格格P反方向变变动，即需求求函数为价格格的减函数，故故需求弹性为为负值，即。因因此需求价格格弹性表明当当商品的价格格上涨（下降降）1%时，

16、其其需求量将减减少（增加）约约。在经济学中，为为了便于比较较需求弹性的的大小，通常常取的绝对值值，并根据的大大小，将需求求弹性化分为为以下几个范范围。 当=1（即即）时，称为为单位弹性，这这时当商品价价格增加（减减少）1%时时，需求量相相应地减少（增增加）1%，即即需求量与价价格变动的百百分比相等。 当1（即即）时，称为为高弹性（或或富于弹性），这这时当商品的的价格变动11%时，需求求量变动的百百分比大于11%，价格的的变动对需求求量的影响较较大。 当1（即即）时，称为为低弹性（或或缺乏弹性），这这时当商品的的价格变动11%，需求量量变动的百分分比小于1%，价格的变变动对需求量量的影响不大大。

17、 当=0（即即）时，称为为需求完全缺缺乏弹性，这这时，不论价价格如何变动动，需求量固固定不变。即即需求函数的的形式为Q=K（K为任何既定定常数）。如如果以纵坐标标表示价格，横横坐标表示需需求量，则需需求曲线是垂垂直于横坐标标轴的一条直直线（如图(1)）。 当（即）时时，称为需求求完全富于弹弹性。表示在在既定价格下下，需求量可可以任意变动动。即需求函函数的形式是是P=K（K为任何既定定常数），这这时需求曲线线是与横轴平平行的一条直直线（如图(2)）。0P0PkQ0Q=kPQQ 图（1） 图（2）在商品经济中，商商品经营者关关心的是提价价（）或降价价（）对总收收益的影响。下下面我们就利利用弹性的概

18、概念，来分析析需求的价格格弹性与销售售者的收益之之间的关系。事实上，由于可见，由价格PP的微小变化化（很小时）而而引起的销售售收益R=PPQ的改变量量为由可知，于是是当时（单位弹性性）收益的改改变量是较价价格改变量的的高阶无穷小小，价格的变变动对收益没没有明显的影影响。当（高弹性），需需求量增加的的幅度百分比比大于价格下下降（上浮）的的百分比，降降低价格（）需需求量增加即即购买商品的的支出增加，即即销售者总收收益增加（），可可以采取薄利利多销多收益益的经济策略略；提高价格格（）会使消消费者用于购购买商品的支支出减少，即即销售收益减减少（）。当时，（低弹性性）需求量增增加（减少）的的百分低于价价格下降（上上浮）的百分分比，降低价价格（）会使使消费者用于于购买商品的的支出减少，即即销售收益减减少（）；提提高价格会使使总收益增加加（）。综上所述，总收收益的变