万有引力中能量

1、1物理训练课讲义训练课老师：李武星时间：内容训练目标要求训练内容五.人造卫星、天体的运动1.引力势：质量为m的物体离地心的距离为r，设地球的质量为M，则物体的引力势能（严格上是地球和物体共有的，且取m1m2EpG无穷远引力势能为零）r证：把物体移到无穷远，引力做功等于引力势能的减小量，只需求出引力的功，可求出引力势能。把物体移动过程分为无穷段过程，每一过程r都为无穷小.WGMmrGMm(r2r)GMm(11)1r12r1r21r1r2在r1到r2的过程中引力做功W2GMm(11)同理在r2到r3的过程中引力做功r2r3W2GMm(11rn)在rn-1到rn的过程中引力做功1rnWW1W211G

2、Mm()因此在r1到rn的过程中引力做功r1rnEpWm1m2无穷远rnGr，合用于平均球体或质点间。（引力势能为零），111)的常用方法（积分）。注意：上述方法也是求kr2rk(r1r22.宇宙速度：GMmmv2vGM第一宇宙速度（围绕速度），r2r，得卫星的速度r，v1GMRg当r=R时，卫星绕地球表面作圆周运动的速度R=7.9103m/s.1mv22GMm1mv2GMm第二宇宙速度（离开速度），由机械能守恒：2R2r，卫星离开地球的条件是当r时，v0,11v22GM2Rg得v2起码为，R=11.2103m/s.第三宇宙速度（逃逸速度），已知M日=21030kg,r日地=1.51011m.

3、1mv32M日m1mv2M日mGG0飞船离开太阳条件（太阳和飞船构成的系统)：2r日地2r，v32GM日r日地即离开地球后相对太阳的速度起码103m/s.=42.2注意：发射卫星时发射的方向、地址和时间的选择？地球绕太阳公转的线速度v=2r日地/T=29.8103m/s.离开地球时，相对地球的速度v3=v3-v=12.4103m/s.即在地球上发射的速度v3=?时，才能使离开地球时相对地球的速度v3=12.4103m/s。1mv32M地m1mv20G由机械能守恒定律（地球和飞船构成的系统)：2R地2，GM地m1mv2vv2v211.2212.42103R地2233因，因此2316.710m/s

4、3.天体运动的轨道与能量从理论上能够证明行星的运动（或卫星绕地球的运动）轨道为三种圆锥曲线，即椭圆（包含圆）、抛物线和双曲线。它们的运动轨道跟哪些要素相关呢？（1）.椭圆轨道x2y21a2b2a、短半轴为b，半焦距椭圆方程为，长半轴为ca2b2M的太阳在其焦点S（c，0）处，如下图。，质量为质量为m的行星绕太阳做椭圆轨道运动时，行星和太阳构成的引力势能和动能之和（以下简称能量）为：E1mv2GMm2r。设行星在椭圆轨道极点时的速率分别为v1和v2，行星绕太阳运动机遇械能守恒，即E1mv2GMm1mv122r2v1用M、G、a、c来表示）。MmGac，要求出行星的能量，一定先求出行星在椭圆轨道的

5、极点1处的速率v1（即v1可用二种方法求解，一种是依据机械能守恒定律和开普勒第二定律求得，另一种是依据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求得。我们先依据机械能守恒定律和开普勒第二定律求解。1mv12GMm1mv22GMm依据机械能守恒定律：2ac2ac。依据开普勒第二定律：v1(ac)v2(ac)。v1acGMacGM22v222a由上述二式解得：acaac，。11则行星做椭圆轨道运动时拥有的能量：1Mm1acGM2MmMmEGmGGmv12ac2aac02a2c22a。我们再依据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求解。1mv12GMm1mv22GMm依据机械能守恒定律：2ac2ac。设椭圆极

6、点1和2的曲率半径分别为1和2。则1=2。GMmv12(ac)2m在极点1，由曲线运动向心力公式：1。GMmmv22(ac)22在极点2，由曲线运动向心力公式：。acGMv2acGMv122a22a由上述四式解得：ac，ac。（依据椭圆的半焦距c、长半轴a、短半轴b的关系：c2a2b2，可得椭圆极点1和2的曲率半径12v12b234v32a2a1na3和4的曲率半径a3nb，极点，证略）则行星做椭圆轨道运动时拥有的能量：E1mv12GMmGMm0。2ac2a即行星的能量小于零时，行星做椭圆轨道运动。（2）抛物线轨道1yax20,抛物线的方程为，质量为M的太阳在其焦点S（4a）处，如图所在抛物线

7、轨道极点时的速率为v0,质量为m的行星绕太阳做抛物线轨道运动恒定律，行星的能量等于在抛物线轨道极点时的能量，其能量为：示。设行星机遇械能守E1mv2GMm1mv24aGMm201/4a20。依据机械能守恒定律和开普勒第二定律求行星在抛物线轨道极点时的速率v0比较复杂。下边我们依据等效类比法先求抛物线极点的曲率半径，再依据曲线运动向心力公式求出行星在抛物线轨道极点时的速率v0。因平抛运动的轨迹为抛物线，如下图。设平抛运动的初速度为v0，则平抛运动的水平位移为xv0t,竖直1g2g2高度为ygt2y2v02xy2v02xyax22，平抛运动的轨迹为。比较和，当ag2v02g2av03yax2的轨迹

8、同样。，或时平抛运动的轨迹与抛物线依据机械能守恒定律，物体在任一点（点P）时的速度大小：vv022gy。11把yax2和g2av03代入上式得vv014a2x2angv02av03在P点物体的法向加快度：vv。ax2v2v3(14a2x2)3/2因此抛物线yx关系：an2av032a。曲率半径与抛物线yax21极点（x=0）的曲率半径：2a。v021也可直接求极点的曲率半径：g2a。依据曲线运动向心力公式，行星在抛物线yax2轨道极点时的速率由：GMmmv022)v08aGM(1/4a，获得。E1mv024aGMm1m(8aGM)24aGMm0行星做抛物线轨道运动时拥有的能量：22。即行星的能

9、量等于零时，行星做抛物线轨道运动。（3）.双曲线轨道x2y21ba2b2a2b2yax，质量为M双曲线的方程为，实半轴为a、虚半轴为b，半焦距c，渐近线方程为的太阳在其焦点S（c，0）处，如下图。设行星在双曲线轨道极点时的速率为v0,质量为m的行星绕太阳做双曲线轨道运动机遇械能守恒定律，行星的能量等于在双曲线轨道极点时的能量，其能量为：E1mv02GMm2ca。设行星远离太阳时的速率为v，因rsinSG，又因OED与OSG全等，故rsinSGDEb。依据开普勒第二定律：vrsinvbv0(ca)。1mv02GMm1mv2依据机械能守恒定律：2ca2。双曲线的半焦距c、实半轴a、虚半轴b的关系：c2a2b2。v0GMcaa(ca)由上述三式解得行星在双曲线轨道极点时的速率：。得行星做双曲线轨道运动时拥有的能量：112E1mv02GMm1mGMcaGMmGMm02ca2a(ca)ca2a。即行星的能量大于零时，行星做双曲线轨道运动。v3v13GM1.以22R的速度沿地面发射一颗人造卫星，不计空气阻力，求卫星的周期。（已知地球的半径R=6.4106m）（答案：1.42104s）2.宇宙飞船绕地球中心作圆周运动,飞船质量为m,轨道半径为2R(R为地球的半径,已知地球的质量为M),现将飞船转移到另一半径为4R新的圆轨道上,如下图.求