组合公式证明

1、第十讲组合恒等式一、知识纲要数学比赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中摆列、组合、二项式定理为基础，并加以推行和增补而形成的一类习题，它常常会拥有必定的难度且灵巧性较强。解决这种问题常常对学生优秀的运算能力和思想的灵巧性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自己特别的解题技巧。所以，在各种数学比赛中常常被采纳。1，基本的组合恒等式简单的组合恒等式的化简和证明，能够直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上，很多比赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也常常运用这些基本组合恒等式，通过转变，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有：CnrCnnr；Cnr11Cnr

2、1Cnr；kCnknCnk11；CnrCrmCnmCnrmm；Cn0Cn1Cn2LCnn2n；Cn0Cn1Cn2n0.L1Cnn2，解题中常用方法运用基本组合恒等式进行变换；运用二项睁开式作为协助函数，经过比较某项的系数进行计算或证明；运用数学概括法；变换乞降指标；运用赋值法进行证明；成立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明；结构合理的模型。二、运用举例例1，求证：Cn12Cn23Cn3LnCnnn2n1.证明：依据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：左侧nCn01nCn11nCn21LnCnn11n2n1右侧n例2，乞降式k2Cnk的值。k1基本思路：将k2Cnk改写为kkCnk

3、，先将kCnk用恒等式3提取公因式n，而后再将kCnk11变形成为k1Cnk11Cnk11，而k1Cnk11又能够持续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数中均不含有改动指标k了。nnnnn解：k2CnkkkCnkknCnk11nkCnk11nk11Cnk11k1k1k1k1k1nk1Cnk11Cnk11nn1Cnk22Cnk11nnk1k1nnnnnn1Cnk22Cnk11nn1Cnk22nCnk11k2k1k2k1nn12n2n2n1nn12n22004kC2005k例3，求1的值。k020042004k1C20051C20052L解：1C2005k1C20052004k01C20040C2

4、0041C20041C20042L12004C20042003C200420041。例4，设m,nNn1n3m2n21。，求证：mkmk13mnk03基本思路：由两个连续自然数mk与mk1的积，联想到可化为2Cm2k1，进一步运用CrrCrr1LCrrkCrr11Crr1LCrrk，频频运用基本的组合恒等式2即可化简。n1证明：mkmk12Cm21Cm22LCm2nk02C22C32LCm2Cm21LCm2nC22C32LCm22Cm3n1Cm31n3m23mnn213nrmmn例5，当mn时，求证CnrCrm1rm10mn基本思路：利用基本组合恒等式4化简原式左侧各项，使得化简后仅有Cnrm

5、m中含有改动指标r。证明：明显，当mn时，原式左侧1mCmmCmm1m。当mn时，利用基本组合恒等式4可得：n1rCnmCnrn1rCnr左侧mmCnmmm。只需令rmk，原式即可变成：rmrmnrnmmknmkCnm1mmCnm1Cnkm1mCnkm0。即原式成立。CnrCnm1rmk0k0说明：变换乞降指标是解决较复杂的组合记数的一种常有技巧，它能够起到简化计算的目的。变换乞降指标时，要注意乞降指标的上、下限需要同时变换。nC2kn22n12n!例6，求证：。k02n!n!n2n2n2n证明：C2knC2knC2kn22nC2kn22nC2nn1C2nn2LC22nnk0k0kn1kn1n

6、1n22nC2nn1C2nn2LC20n22nC2kn22nC2knC2nnk0k0nnn2n!所以，2C2nk22nC2nn,C2nk22n1C2n22n1右侧。k0k022n!n!例7，求证：0212Ln22n!CnCnCnn!n!基本思路1：本题若考虑用基本组合恒等式来证明是比较困难的，注意到左端各项恰巧是二项睁开式中各项系数的平方，考虑结构两个二项睁开式。证明：由于：1xCn0Cn1xLCnnxn,1nCn0Cn11LCnnn11nxxxn11nx0，将原式明显，1x的睁开式中，常数项即为所求证等式的左端。不如设x变形为：nnn2nn111x112x1x11xxxxx将上式睁开，此中常

7、数项为C2nn，由此可知，原式成立。基本思路2：注意到恒等式CnrCnnr，要证的等式的左侧可变形为：Cn0CnnCn1Cnn1LCnnCn0；而等式右侧即为：2n!n!2n!C2nn，所以能够考虑n!n!2nn!成立适合的组合记数模型来加以证明。证明：设袋子中有n个白球，n个红球，现从这2n个小球中随机抽取n个小球，其方法种数为：C2nn2n!n1次以下的取球活动：从n个白球中拿出r个，再。另一方面，能够当作n!n!从n个红球中拿出nr个，其取法种数为：CnrCnnrCnr2,r0,1,2,L,n，所以切合题意的取球方法种数是：Cn02Cn12LCnn2。所以原式成立。说明：本题的两种证明方

8、法均采纳了结构思想。结构法是解决比赛问题的一种常用方法。三、稳固练习1，求证：Cnmnm1Cnm1。m2，求证：当n是偶数时，12Cn1Cn22Cn3Cn4L2Cnn1Cnn32n1。3，求证：Cn01Cn11Cn21Cn3L1Cnn2n11。（利用1Cnk1Cnk11）234n1n1k1n1n14，求C2kn1的值。（22n2）k0nnkCnmCnkmm）5，求证：CnkCkmxk1xCnmxm。（利用CnkCkmkmnCnk1CnkC2nn1.（利用2nnn6，求证：1x1x1x）k12nnmmm7，求证：k1CmkCm2nk1Cmn.（利用1x21x1x）k08，求证：CmknCm0CnkC1mCnk1Cm2Cn