倒立摆系统技术报告

1、1.1 倒立摆系统介绍1.1.1倒立摆系统的研究背景及意义倒立摆系统的初步分析和研究始于1950年代。它是一个相对复杂的不稳定、多变量、高阶的机械系统，具有非线性和强耦合特性。其稳定控制是基于控制理论的应用。一个典型的例子。倒立摆系统存在严重的不确定性。一方面是系统参数的不确定性，另一方面是系统受到不确定因素的干扰。通过它的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，而且可以解决控制理论所涉及的相关主要学科：机械、力学、数学、电学和计算机等综合应用。在各种控制理论和方法的研究和应用中，特别是在工程中，存在一个可行的实验问题，其理论和方法可以得到有效验证。倒立摆系统可以通过实践提供控制理论。桥。近年来，

2、许多国外专家学者一直把它作为一个典型的研究对象，提出了很多控制方案，对倒立摆系统的稳定性和稳定性进行了大量的研究，都试图找到不同的控制方法来进行控制。倒立摆是为了检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力，其控制方法在军事、航空航天、机器人和一般工业过程中有着广泛的用途，如精密仪器等。反演问题涉及机器人的处理、机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、导弹拦截控制、航空对接控制、卫星飞行中的姿态控制等。因此，从控制的角度，对倒立摆的研究无论在理论还是方法上都具有深远的意义。倒立摆系统是一个典型的自不稳定系统，其中摆作为一个典型的振动和运动问题，可以抽象成许多问题来研究。随

3、着非线性科学的发展，线性化的方法被用来描述非线性的性质，这是无可非议的，但这种方法非常有限，非线性的一些本质特征往往不能用线性方法来反映。 .非线性是导致混乱、无序或混乱的核心因素，造成混乱、无序或混乱并不意味着需要复杂的原因，简单的非线性可以产生非常混乱、无序或混乱。倒立摆系统包含极其丰富和复杂的动力学行为，如分岔、分形和混沌动力学，这些问题也值得探索和研究。任何一种倒立摆系统都具有以下特点：(1)非线性倒立摆是典型的非线性复杂系统。在实际应用中，可以通过线性化得到系统的近似模型，然后线性化后进行控制。它也可以通过非线性控制理论来控制。倒立摆的非线性控制正成为研究热点。（2）不确定度主要是指

4、在建立系统数学模型时，机械传动过程中由于参数误差、测量噪声、减速器齿隙等原因造成的难以量化的部分。(3)缺乏冗余度一般情况下，倒立摆控制系统是由单个电机驱动的，因此它与冗余机构，如冗余机器人有很大不同。采用较少冗余设计的原因是为了节省经济成本或节省有效空间而不损失系统的可靠性。研究人员往往希望通过对倒立摆控制系统的研究，获得一种性能优异的新控制器设计方法，并验证其有效性和控制性能。(4)耦合特性 倒立摆摆杆与小车之间，以及多级倒立摆系统的上、下摆杆之间存在强耦合。这不仅是倒立摆控制系统可以由单个电机驱动的原因，也是控制系统的设计和控制器参数的调整变得复杂的原因。(5)开环不稳定倒立摆系统有两种

5、平衡状态：垂直向下和垂直向上。垂直向下状态是系统的稳定平衡点（考虑摩擦的影响） ，而垂直向上状态是系统的不稳定平衡点。开环过程中的小扰动会导致系统离开垂直向上状态，进入垂直状态。下状态。(6)约束限制由于实际机构的限制，如运动模块行程限制、电机扭矩限制等。为了便于制造和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率应尽量减小为尽可能。行程限制对于倒立摆的摆动尤为突出，容易发生汽车碰撞。倒立摆的上述特点增加了倒立摆的控制难度，也正是因为倒立摆的这些特点，才具有更多的研究价值和意义。1.1.2倒立摆系统的分类倒立摆系统诞生之初是单级直线形式，即只有单级摆杆一端自由，另一端铰接在可在直线导轨上自由滑动的小车上

6、轨。在此基础上，人们扩展并生产出各种形式的倒立摆。按底座的运动形式，主要分为直线倒立摆、圆形倒立摆和平面倒立摆三大类。每种倒立摆根据摆杆的数量又可分为一级、二级、三级。级和多级倒立摆等。摆的级数越多，越难以控制，摆的长度也可能有所不同。多级摆的摆是自连接的（即没有电机或其他驱动设备） 。目前，直线倒立摆作为一种实验仪器，以其结构相对简单、形象直观、元件参数容易改变、价格低廉等优点，在教学中得到了广泛的应用。直线倒立摆的控制技术已经基本成熟，该领域的成果也相当丰富。圆形倒立摆底座的运动形式虽然与直线倒立摆不同，但相同的是底座只有一个自由度，这可以借鉴线性倒立摆较为成熟的研究经验摆。大量的理论结果

7、。平面倒立摆是倒立摆系统中最复杂的一种，因为平面倒立摆的底座可以在平面内自由移动，摆杆可以沿平面的任意轴转动，使系统非线性、耦合、多变量等特点更加突出，增加了控制难度，机械电子器件的发展遇到瓶颈困难，也给平面倒立摆的工程实现带来了一定的困难。根据摆杆的材料，倒立摆系统分为刚性摆杆倒立摆系统和柔性倒立摆系统。在柔性倒立摆系统中，摆本身已成为非线性分布参数系统。根据不同的研究目的和方法，倒立摆系统分为悬挂倒立摆、球平衡系统和平行倒立摆。其中，研究最多的是悬挂倒立摆。当这个倒立摆开始工作时，摆处于自由下垂状态。在控制开始时，摆杆首先以自由振荡频率振荡。随着摆杆摆动幅度的增大，当摆杆接近倒立摆的垂直倒

8、立位置时，自动切换控制方式稳定倒立状态。根据导轨的形状，倒立摆的运动轨迹可以是水平的，也可以是倾斜的。倾斜倒立摆对研究实用机器人的行走稳定性控制具有重要意义。倒立摆系统的结构虽然多种多样，但无论属于哪一种结构，都是一个非线性、多变量、强耦合、绝对不稳定的系统。1.1.3倒立摆系统研究现状倒立摆系统的研究具有重要的理论意义和应用价值，其控制研究是控制研究领域的热点之一，受到了国外专家学者的广泛关注。倒立摆系统的研究始于1950年代。麻省理工学院（MIT）机电工程系控制论专家基于火箭发射助推器原理设计了一级倒立摆实验装置。1966年， Schaefer和Cannon应用Bang - Bang控制理

9、论将曲轴稳定在倒置位置。事实上，倒立摆的概念是在 1960 年代后期才被正式提出的。在此基础上，世界各国的专家学者对倒立摆进行了扩展，产生了线性二级倒立摆、三级倒立摆、多级倒立摆、柔性直线倒立摆、圆形倒立摆、平面倒立摆和圆形平行摆。多级倒立摆采用斜倒立摆等实验设备通过不同的控制方式进行控制，是研究的难点之一。1976 Mori et . _首先将倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间法设计比例-微分控制器，实现一阶倒立摆的稳定控制。1980年， Furuta等基于线性化方法，实现了二阶倒立摆的控制。1984 年， Furuta等人。首次应用最优状态调节器理论实现了双电机三电平倒立摆的物理控

10、制； Wattes研究了LQR（线性二次调节器）方法来控制倒立摆。1980年代，倒立摆系统的非线性特性得到更多研究，提出了一系列基于非线性分析的控制策略。1992 年， Furuta等人。建议使用变结构控制来控制倒立摆。1993 年， Wiklund等人。应用基于Yapunov的方法控制环形一阶倒立摆。 Bouslama使用一个简单的神经网络来学习模糊控制器的输入和输出数据，并设计了一个新的控制器。1995 年， Fradkov等人。建议基于被动的控制；山北等人。展示了环形二次倒立摆的实验结果；李采用两种平行的模糊滑模分别控制小车和摆杆的偏角； Deris利用神经网络的自学习能力来调整PID控

11、制器参数。1997年， Gordillo比较了LQR方法和基于遗传算法的控制方法，得出传统控制方法优于遗传算法的结论。中国对倒立摆的研究始于1980年代。虽然起步较晚，但发展迅速，取得了可喜的成绩。单级倒立摆钉和两级倒立摆系统的研究历史悠久，有很多成功控制的报道。在此基础上，三级倒立摆b53和多级倒立摆的研究取得了很大进展，不仅在系统仿真上，而且在物理实验上，都有控制的成功案例。郑琦等。用模拟降维观测器成功实现了两级倒立摆的控制。梁仁秋等。为两级倒立摆系统提出了三个实用的数字控制器和降维观察器。 1994年，航空航天大学教授连明将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了单

12、电机三级倒立摆的控制，后来实现了二维单倒立摆的控制。奈瑶等人。采用双闭环模糊控制方法控制倒立摆。祖树等。利用拟人化智能控制理论研究了二级倒立摆的启动与控制。德毅教授利用反射语言值中包含的模糊性和随机性给出了云生成器的生成算法，并解释了同时激活多个定性推理规则时的不确定性推理机制。这种智能控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三级倒立摆的多种不同动平衡姿态，显示了其鲁棒性，并给出了详细的试验结果。师范大学洪星教授领导的模糊系统与模糊信息研究中心和复杂系统实时智能控制实验室采用变域自适应模糊控制理论，于2001年6月和8月完成了四能级倒立摆系统分别为2002 年。模拟和真实实验。朱江斌等。提出了

13、一种基于专家系统和变步长预测控制的实时非线性系统控制方法，并模拟了两级倒立摆的摆动和稳定性控制侧。王勇等。通过对多级倒立摆的动力学分析，得到了任意阶旋转倒立摆的数学模型。 2005年国防科技大学教授罗成等利用基于LQR的模糊插值实现了五级倒立摆的控制。总之，倒立摆系统是检验各种控制算法和研究控制理论的一种非常有效的实验装置。目前应用于倒立摆的算法主要有以下几类：(1)经典控制理论： PID控制。通过对倒立摆物理模型的分析，建立了倒立摆系统的动力学模型，并设计了PID控制器实现控制。(2)现代控制理论：状态反馈。通过对倒立摆系统物理模型的分析，建立系统的动力学模型，然后利用状态空间理论推导出状态

14、方程和输出方程，并应用状态反馈实现对倒立摆系统的控制。倒立摆。常用的方法有：1）极点配置，2）线性二次最优控制，3）鲁棒控制，4）状态反馈控制。(3)模糊控制理论：主要是确定模糊规则，克服系统的非线性和不确定性，实现倒立摆的稳定控制。(4)神经网络控制理论。神经网络可以充分逼近复杂的非线性关系，学习并适应严重不确定系统的动态特性，并与其他控制方法相结合，实现倒立摆的稳定控制。(5)拟人智能控制理论。无需了解被控对象的数学模型，依靠人的知识和直觉经验以及快速的计算机模拟控制经验，将人思维中的定性分析与控制理论中的定量计算相结合，实现对逆变器的控制钟摆。(6)云模型控制理论。云模型用于形成语言值，

15、语言值用于形成规则，形成定性推理机制。这种方法不需要对象的精确数学模型，只需要基于人的经验、感受和逻辑判断，通过语言原子和云模型将自然语言表达的控制经验转化为语言控制尺。它可以解决非线性问题和不确定性问题。(7)自适应控制理论。主要目的是设计一种倒立摆的自适应控制器。(8)非线性控制理论。应用非线性控制方法研究了倒立摆的控制。(9)遗传算法。染色体由待优化的参数组成，通过模拟生物从父代到子代，再从子代到子代的过程迭代求解。它模拟生物世界中优胜劣汰的进化过程，实现参数优化。(10) 支持向量机。提出了最优超平面的概念，并结合核空间，利用凸二次优化及其Wolfe对偶构造分类问题，并在此基础上发展为

16、多类分类和函数回归问题。(1 1)变结构控制理论：滑模控制。(12) 一种结合多种控制算法的控制方法。充分利用各控制算法的优势，实现组合控制方法，如：神经网络控制与模糊控制理论相结合的方法，遗传算法与神经网络控制相结合的方法，模糊控制与模糊控制相结合的方法。 PID控制、神经网络控制与预测控制算法相结合的方法、遗传算法与模糊控制理论相结合的方法、支持向量机与模糊控制相结合的方法等。1.1.4如何控制倒立摆倒立摆系统的输入是小车的位移（即位置）和摆的倾角期望值。得到控制量，再通过数模转换驱动电机实现对倒立摆的实时控制。电机通过皮带带动小车在固定轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，可以使摆杆以该点

17、为轴在垂直平面上自由摆动。力沿平行于轨道的方向作用在小车上，使拉杆绕小车上的轴线在垂直平面内旋转，小车沿水平轨道运动。不施力时，摆锤处于垂直稳定平衡位置（垂直向下） 。为了使摆锤摆动或达到垂直向上的稳定性，需要给小车一个控制力，使其能够在轨道上向前或向后拉动。因此，倒立摆系统的控制原理可以简述如下：用强有力的控制方法适当控制小车的速度，使摆杆倒立稳定在小车正上方。倒立摆刚开始工作时，先使小车按照摆杆的自由摆动频率进行摆动，然后摆杆大幅度摆动。摆动几次后，摆锤就可以自动直立起来。这个受控变量既有角度又有位置，它们之间存在关系。它具有非线性、时变和多变量耦合的特性。1.2 MATLAB 简介MAT

18、LAB是美国Math Works软件公司于1984年推出的一种高性能科学计算语言。它集数值计算、图形图像显示和编程于一体，是一种常用的控制系统分析和设计工具。 1990 年， MathWorks软件公司为 MATLAB 提供了一种新的控制系统图形模型输入和仿真工具Simulink 。这是MATLAB 的扩展软件模块。该模块提供了对各种物理和数学问题进行建模、分析和仿真的软件环境，并为图形用户界面提供了动态系统的框图模型，使用户可以快速轻松地构建系统。无需编写任何代码程序即可建模和仿真。因此，该工具在控制工程领域得到了广泛的认可，仿真软件进入了系统模型的图形化配置阶段。1.2.1Simulink

19、 仿真环境简介Simulink环境是Mathworks公司在1990年左右推出的产品，前身为SimuLAB ，1992年更名为Simulink 。它的名字有两个意思，模拟（simu）和模块连接（1ink） ，表示环境可以以框图的形式模拟系统。Simulink是一个交互式环境，用于对各种动态系统（包括连续、离散和混合系统）进行建模、分析和仿真。 Simulink提供了一个图形交互平台，使用鼠标拖放的方式构建系统框图模型。通过Simulink 提供的丰富功能块，可以快速创建动态系统模型。 Simulink还集成了Stateflow来对复杂事件驱动系统的逻辑行为进行建模和仿真。此外， Simulin

20、k 还是实时代码生成工具Real-Time Workshop 的支撑平台。控制系统仿真研究中一个非常普遍的要求是，系统由一定的信号驱动，观察系统的时域响应，并从中得出想要的结论。对于简单的线性系统，可以使用控制系统工具箱中的相应功能来分析系统。对于复杂的系统，有时仅用上述方法很难完成仿真任务。例如，如果要研究一个结构复杂的非线性系统，就需要使用上述方法写出系统的微分方程，非常复杂。如果你有一个基于框图的仿真程序，解决这样的问题是微不足道的。 Simulink环境是解决此类问题的理想工具。它包含一个巨大的块库。用户无需编写任何程序代码，即可通过鼠标点击和拖动块，快速轻松地对系统进行建模和仿真。它

21、还可以在同一屏幕上模拟、显示数据和输出波形。 Simulink环境是建模、分析和仿真非线性系统的理想工具。Simulink是MATLAB环境下的仿真工具，文件类型为.mdl 。 Simulink为用户提供方便的图形化功能模块来连接仿真系统，简化设计流程，减轻设计负担。更重要的是， Simulink可以使用MATLAB自己的语言或者其他语言，按照S.function的标准格式，编写定义好的函数模块。因此，它的扩展性很强，还可以调用.dll文件类型的应用程序来达到与之集成的目的。 Simulink的基本操作和使用方法将用于倒立摆系统的仿真过程。1.2.2S-Function 简介Simulink也

22、称为系统函数，简称 S-Function。它是Simulink 为用户提供的强大的编程机制。它采用特殊的调用规则来实现用户与Simulink 部分求解器之间的互换。这种交换非常类似于Simulink 部分求解器与内置模块之间的交换，并且这种交互可以应用于不同性质的系统，例如连续系统、离散系统和混合系统。通过编写 S-Function，用户可以将自己的算法添加到 S-Function 中，这些算法可以用 MATLAB 或标准 C 或其他汇编语言编写。2.1 倒立摆稳定性控制方案比较模糊控制、神经网络控制、 PID控制、状态反馈控制、最优控制等均可用于倒立摆系统的稳定控制。这些方法各有优缺点。下面

23、对控制方法进行比较分析。2.1.1模糊控制算法模糊控制系统的结构可以分为5个不同的部分：(1)定义变量：包括模糊控制器的输入变量和输出变量。输入变量一般为误差E和误差变化率EC ，输出变量为系统的控制变量；(2)模糊化：将输入变量按适当比例转换为话语域的值；(3)知识库：包括数据库和规则库。数据库提供必要的定义，规则库通过语言控制规则描述控制目标和策略；(4)逻辑判断：利用模糊逻辑进行模糊推理，得到模糊控制信号；(5)去模糊化：将逻辑判断阶段得到的模糊控制信号转化为实际控制信号。模糊控制器是一种语言变量控制器。控制规则和策略简单直观，不需要复杂的推理计算。是解决倒立摆等不确定系统的有效方法。倒

24、立摆系统采用模糊控制理论，仿真证明控制效果不理想。2.1.2神经网络控制人工神经网络是一种并行的分布式信息处理网络结构。网络结构一般由多个神经元组成。每个神经元都有一个输出。它可以连接到许多其他神经元。有若干条连接路径，每条连接路径对应一个连接权重系数。与生物神经网络一样，必须学习人工神经网络才能具有智能特性。人工神经网络的学习过程实际上就是调整权重和阈值的过程。ANN控制具有许多优良的控制特性：(1) 信息可以并行分发和处理；(2)具有学习功能，具有对输入数据进行归纳优化的功能；(3) 既可用于线性控制，也可用于非线性控制；(4)具有较强的自适应能力。虽然神经网络控制有很多优点，但它在控制倒

25、立摆系统方面并不是很有效，因为：（1）关于实现非线性逼近必须满足哪些条件的讨论很少，很难解决这个问题；(2)建模算法和控制系统的收敛性和稳定性研究非常困难，一般方法可能不适用；（3）当前的神经网络本身存在一些不足，尤其是在线学习很难满足要求。结合模糊控制和神经网络控制，提出了一种自适应神经模糊推理系统。基于自适应神经网络的模糊推理系统（ANFIS ， Adaptive Neural Network based Fuzzy Inference System）是一种将模糊逻辑（FL）和神经网络（NN）有机结合的新型模糊推理系统结构。定价自适应网络。自适应神经网络技术为模糊建模过程提供了一种从数据集

26、中学习信息的方法。计算隶属函数参数优选地允许相关的模糊推理系统跟踪给定的输入/输出数据并基于样本数据自动调整前提。参数和结论参数。2.1.3 P身份控制今天的自动控制技术大多是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。 PID控制的基本思想是利用这个误差通过测量输出变量并将其与期望值进行比较来调整控制系统。 PID（ Proportional-Integral-Derivative ）控制是一种简单而优良的控制方法。关键是在进行正确的测量和比较后更好地调整受控系统。 PID控制器作为最早实用的控制器，已有50多年的历史，至今仍是一种应用广泛的工业控制器。 PID控制器结构简

27、单，在使用中不需要精确的系统模型，因此应用最为广泛。PID控制有其先天的优势：一是PID控制本身具有广泛的应用。倒立摆模型虽然是非线性的，但通过对其进行线性化可以转化为线性系统，从而可以将PID控制应用于倒立摆系统。 PID控制也可以应用于时变系统。此外， PID控制器参数相对容易调整。也就是说， PID控制器的参数可以根据过程的动态特性和时序进行调整。如果过程的动态特性发生变化，例如倒立摆处于稳定控制状态，而摆受到外界干扰，则可以很容易地重新调整PID参数。但PID控制也有其固有的缺点：在控制非线性、强耦合、不确定参数和结构控制对象如倒立摆时， PID控制并不理想。2.1.4LQR控制算法如

28、果所研究的系统是线性的，并且所取的性能指标是状态变量和控制变量的二次函数，那么这个动态系统的优化问题就称为线性二次问题。线性二次最优控制问题的最优解可由Riccati方程得到，具有统一的解析表达式，可以与输入形成简单的线性状态反馈控制律，易于计算和实现闭环反馈控制。成为最优控制理论和应用最成熟的部分。最优控制理论主要基于Pound Schiakin的极值原理，通过优化性能找到可以使目标最小化的控制器。其中，线性二次性能指标可以通过求解Riccati方程得到控制器参数，并且随着计算机技术的进步，求解过程变得越来越简单，因此被用于线性多变量系统的控制器设计，如倒立摆。被广泛使用。采用线性二次性能指

29、标设计的控制器称为LQR控制器。倒立摆系统的设计属于连续系统的二次设计。KKR+-yx图3.1最优控制方法系统图线性二次最优控制不仅易于设计、易于实现，而且具有工程特性。最优控制的结果也可以应用于非线性系统，但非线性系统必须工作在小信号条件下。最优控制方法比非线性方法更容易计算和实现。线性二次最优控制器也可用于解决非线性最优控制问题。您自己设计的想法：3.1 PID调节简述PID调节又叫PID控制，是比例、积分、微分调节的简称。在自动控制的发展过程中，PID调节历史悠久，是控制性能最强的最基本调节方法。 PID调节原理简单，设置方便，使用方便；根据PID调节功能工作的各种调节器，广泛应用于工业

30、生产部门，适用性强； PID调节性能指标对被控对象特性的微小变化不是很敏感，保证了调节的有效性；可以通过PID调节对系统进行补偿，使其满足大部分质量指标的要求。直到现在，PID调节仍然是应用最广泛的基本控制方法23 。具有PID特性的调制器可以作为控制器使用，称为PID控制器；它也可以用作校准器，称为PID校准器。PID校正是一种负反馈闭环控制器。 PID调节器通常与被控对象串联，设置在负反馈闭环控制的正向通道上。如果校正器与系统的前向通道或部分前向通道形成负反馈闭环连接，这种校正称为反馈校正。PID控制系统框图如图4.1所示。yout(kyout(k)K比例微分积分被控对象rin(k)+-+

31、图 4.1 典型 PID 校正器框图PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(f)和实际输出值y(t)形成控制偏差。其中（4-1）( P ) 、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制变量来控制被控对象，因此称为PID控制器。其控制规律为：(4-2)其传递函数形式为：(4-3)公式为比例系数、积分时间常数和微分时间常数。在控制系统设计和仿真中，传递函数也写为：(4-4)在这个公式中，比例系数是积分时间常数和微分时间常数。简单来说， PID控制器各个校正环节的作用如下：比例调整（P）成比例地反映控制系统的偏差 P(f)。一旦出现偏差，控制器将立即采取控制措施以减少偏差。比例系数的大小决定了

32、比例调节器调节的快慢，但过大会导致系统过冲或振荡，过小则无法调节。比例控制不能消除残差。积分调整（一）主要用于消除稳态误差。积分作用的强度取决于积分时间常数。积分越大，积分作用越弱，积分作用越小，积分作用越强。增加积分时间有利于减少超调，减少振荡，使系统更加稳定。因此，积分常数的选择应适当。差动调整(D)它反映了偏差信号的变化趋势，可以在偏差信号值变得过大之前，将有效的早期修正信号引入系统，从而加快系统的动作速度，抑制偏差的变化，使系统更稳定。提高系统的动态性能。增加微分时间有利于加快系统的响应速度，降低超调量，提高稳定性，但系统抑制扰动的能力减弱，系统对扰动的响应更加灵敏。3.2 线性一阶倒

33、立摆PLD控制器设计直线一级倒立摆的输出主要考虑两个，即摆杆的角度和小车的位置。因此，应设计合适的PID控制器来控制摆锤的角度和小车的位置。3.2.1直线一级倒立摆摆角控制线性一阶倒立摆的初始位置垂直向上，对系统施加扰动，观察摆杆的响应。系统控制结构框图如下图所示：PID控制器PID控制器KD（s）被控对象G(s)f(s)=Fu(s)+y(s)e(s)r(s)=0+-图 4.2 摆杆角度控制结构框图上图中， KD(s)是PID控制器的传递函数， G(s)是被控对象的传递函数。设置输入r(s)=0 ，则图4.2的结构框图变为图4.3所示的结构框图。PID控制器PID控制器KD（s）被控对象G（s

34、）u(s)f(s)=Fy(s)图4.3 改造后摆杆角度控制结构框图系统的输出可以从图4.3 中得到：(4-6)上式中， num代表被控对象传递函数的分子项， den代表被控对象传递函数的分母项， num代表PIO控制器传递函数的分子项，den代表PID控制器传递函数的分母项。从第二章，我们得到以输入力 u 为输入，摆锤摆角为输出的传递函数：(4-7)在上述公式中，PID控制器是：(4-8)只有调整PID控制器的参数，才能获得满意的控制效果。4.1 稳定性和可控性分析我们先看一下系统的稳定性，将数据代入状态方程，用matlab程序求出系统的零极点。源代码如下：M = 1.096;米 = 0.10

35、9;b = 0.1；我 = 0.0034;l = 0.25；abcd=wer_ss(M,m,b,l); % 自己编写的函数用于构建模型。具体方案见下文sysc=ss(a,b,c,d);sysd=c2d(sysc,0.005);da db dc dd=ssdata(sysd);zp 增益=ss2zp(da,db,dc,dd,1)z =-0.9999 -0.99991.0275 1.0000 + 0.0000i0.9733 1.0000 - 0.0000ip =1.00000.99961.02850.9723增益 =1.0e-004*0.11130.3338wer_ss源程序：函数 abcd=we

36、r_ss(M,m,b,l)a=0 1 0 0;0 -4*b/(4*M+m) 3*m*9.8/(4*M+m) 0;0 0 0 1;0 -3*b/(4 *M+m)*l) 3*9.8*(M+m)/(4*M+m)*l) 0;b=0;4/(4*M+m);0;3/(4*M+m)*l);c=1 0 0 0;0 0 1 0;d=0;0从得到的p（极点）可以看出，有些极点在单位圆之外，所以可以看出原系统是不稳定的。同样，我们可以使用matlab来获取系统的可控性，源码如下：ud=ctrb(da,db);排名（ud）答案=4由得到的rank(ud)的值，原系统的可控性矩阵为4，所以我们知道原系统是可控的。4.2

37、控制器设计4.2.1基于状态反馈LQR的控制算法设计与仿真根据理论分析，可以设计一种基于最优控制的状态调节器，使系统闭环稳定。设状态反馈调节法的形式为通过使性能指标函数是最小值，根据我们在附录1中介绍的找到其中 P 由以下 Riccati 方程获得其中，它们分别用于加权由状态向量 x(k) 和控制向量 u(k) 引起的性能指标的相对重要性。在实际操作中，我们使用Matlab控制系统工具箱中的“dlqr”函数直接进行操作。使用dlqr函数，我们需要提供两个权重矩阵：Q，R。通常我们取R=1，而对于Q我们只能通过不断取它来得到。源代码如下： R=1; Q=10 0 0 0;0 0 0 0;0 0

38、1 0;0 0 0 0问 =10 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0 T=0.005； 系统 k=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T); %wer_lqr是自己定义的函数，具体见下面程序 x0=0.05;0;0.0175;0;t=0:0.005:10; y x1=initial(syse,x0,t);绘图(t,y(:,1),红色,t,y(:,2),蓝色)wer_lqr源程序：函数 sysresult k=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T);%系统结果 k=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T);k S e=dlqr(da,db,

39、Q,R);G=da-db*k；系统结果=ss(G,db,dc,dd,T);我们开始的Q是： Q 1 =10 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0 ;结果图是图6；Q2 取为： Q=100 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 10 0； 0 0 0 0；生成的图片是图 7；通过比较我们发现，当Q11和Q33的比值一定时，该值越大，系统响应速度越快，但超调量越大；否则，响应会变慢，但过冲会减少。图 6 Q1 响应图图 7 Q2 响应图在左右取舍之间，我们最终选择了：Q=3 00 0 0 0;0 0 0 0;0 0 3 0 0;0 0 0 0 此时的响应曲线如图8所示，k值

40、为：k =-16.6147 -12.4226 56.5909 10.2444图 8 最佳响应曲线此时的单位阶跃响应曲线如图9：图 9 单位阶跃响应曲线从仿真结果来看，零态响应和单位阶跃响应均满足要求。4.3极点配置方法采用极点配置法设计了多输出倒立摆系统的控制方案。可以通过全状态反馈来解决，控制摆锤和小车的位置。图10是控制系统的示意图。图 10 控制系统框图假设所有状态变量都可以测量和反馈，可以证明如果研究系统是完全可控的，那么可以使用状态反馈和适当的状态反馈的方法来配置闭环系统的极点增益矩阵。到任何想要的位置。设开环控制系统的离散状态方程为：x(k+1) = Gx(k) + Hu(k)其中

41、，假设系统状态完全可控x(k) 是第 k 个采样时间的状态向量（n 维向量）u(k)是第 k 个采样时间的控制信号（标量）G = n n 矩阵H = n 1 矩阵设极点配置的控制律形式为式中为状态反馈增益矩阵（ matrix），因此系统成为闭环控制系统。其闭环状态方程为请注意，的特征值是所需的闭环极点。我们希望使用状态反馈将闭环极点放置在, , . , 。即所需的特征方程为：根据 Cayley_hamiton 定理，经过推导（这里省略），我们可以得到在上式给出了所需的状态反馈增益矩阵。矩阵的这种特殊表达式通常被称为阿克曼公式。状态反馈增益矩阵以这样一种方式确定，即误差（由干扰引起）足够快地下降

42、到零。请注意，对于给定系统，矩阵不是唯一的，而是取决于所需闭环极点位置的选择（决定响应速度）。所需闭环极点或所需特征方程的选择是误差矢量响应的快速性与对干扰和测量噪声的敏感性之间的折衷。也就是说，如果我们使误差响应更快，扰动和测量噪声的不利影响也会增加。在确定给定系统的状态反馈增益矩阵时，通常通过比较从不同的预期闭环极点或预期特征方程获得的矩阵，并选择对整个系统具有最佳特性的矩阵来完成。在实际设计中，我们使用Matlab控制系统工具箱中的“放置”功能直接进行仿真和操作。先在连续域中进行计算，然后移到离散域中。根据系统的性能要求，我们可以选择, ，则完全满足问题中的性能要求。然后我们可以进行离散

43、域设计： z1=exp(-3*20.5)/2+(-3*20.5)*j/2)*0.005)z1 =0.9894 - 0.0105i z2=exp(-3*20.5)/2-(-3*20.5)*j/2)*0.005)z2 =0.9894 + 0.0105i z3=exp(-10*0.005)z3 =0.9512 z4=exp(-12*0.005)z4 =0.9418 p=z1 z2 z3 z4; K =地点(da,db,p) =-38.6579 -25.5096 103.3247 17.9041 G=da-db*K； syse=ss(G,db,dc,dd,0.005);t=0:0.005:10; x0

44、=0.05; 0; 0.0175; 0; y1,x=初始(syse,x0,t); 绘图(t,y1(:,1),红色,t,y1(:,2),蓝色)图 11 极点配置图 零输入响应其单位阶跃响应为：u=ones(1,length(t); y,x=lsim(syse,u,t)图 12 极点配置单元阶跃响应从仿真效果来看，基本满足系统要求。附录1 .摆杆角度控制系统的传递函数，当输出是摆杆的角度时，用Matlab创建一个m文件，并复制以下表示传递函数的语句，它们表示比例系数：M = 1.096;米 = 0.109;b = 0.1；我 = 0.0034;g = 9.8;l = 0.25；q =(M+m)*(

45、I+m*l2) -(m*l)2; %简化输入数量 = m*l/q 0 0den = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0kd=1k=1ki=1numPID= kd k ki ；denPID= 1 0 ;numc = conv(num, denPID)denc = polyadd(conv(denPID, den), conv(numPID, num)t = 0：0.05：5；脉冲（ numc ， denc ， t ）函数polyadd是一个求两个多项式之和的函数。它不是Matlab工具，所以必须将它复制到polyadd.m文件中，并且必须使用ad

46、dpath命令将文件的目录添加到路径中。 Polyadd函数如下：函数poly=polyadd(poly1,poly2)如果长度（poly1）0聚=零（1，mz），短+长；别的聚=多头+空头；结尾这里我们假设比例、积分和微分控制都是必需的。可以进行系统脉冲响应的PID控制模拟。系统的脉冲响应仿真结果可以通过在前面的m文件中加入如下语句得到：运行结果和响应曲线如下：数 =2.3566 0 0窝=1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0kd =1k =1ki =1数字 =2.3566 0 0 0denc =1.0000 2.4449 -25.4720 0.0471 0 0图 17 初始PID参数摆角状态图，需要调整参数，直到得到满意的控制结果。首先增加比例因子，观察其对响应的影响，取=100 ， kd=1 。系统响应如下下：数 =2.3566 0 0窝=1.0000 0.0883 -27.8