第9周讲课提纲第二形曲面积分、公式斯托克斯

1、By 第 1 共 16 1（2（4（7）向量值函数在有向曲面上的积第二型曲面积单侧曲面的例子：MBy 第 1 共 16 1（2（4（7）向量值函数在有向曲面上的积第二型曲面积单侧曲面的例子：Mobius 带来百科 1861 年首先发现，4 年后莫比乌斯才对此作了描述AF Mobius ，17901868 定义：设SM是Sn(MSM设C是S中不过S边界的任意封闭曲线，且M C当M 沿C连续移动一周又返回原来位法向量仍是n(M ) ，则称曲面S 是一双侧曲面对于双侧曲面SS 上某一点M 指定一个法向量n 以后，由点M Sz f(xyf C11n,1xyBy 第 2 共 16 Sy g(xzgC11

2、n(x,1, z)1g2 gx 1By 第 2 共 16 Sy g(xzgC11n(x,1, z)1g2 gx 1n21hhy x x(u,Sy y(uv), x(uvy(uvz(uvC1z z(u,(y,z) ,B (z,(x, ,C 记 A(u,(u,(u, 1n(A,B,C) A2 B2 例 1：已知曲面S:z x2 y2 ，下侧为正，求其正xy因x2 x2 12xyn ,1)2zx2 x2 z1xyxRsincos2：若球面SyRsinsin, z RBy 第 3 共 16 RcosRsin解： AR2sin2cos0Rcos0RsinB R2sin2sinRcosRcosRsinRs

3、inBy 第 3 共 16 RcosRsin解： AR2sin2cos0Rcos0RsinB R2sin2sinRcosRcosRsinRsinC R2 sincos当0C0C0221 (A,B,C)A2 B2 1n (A,B,C)A2 B2 3：若柱面S x2 y2 1x 1 y2 1y2(1,0)；1 n1 y2 ， 1 y2,0)1 x cosz 001Acos，Bsin，C 00223A022 1(A,B,C) (cos,sin,0) A2 B2 C引例：定常流v X,YBy 第 4 共 16 设定常流流速为v(xyz) X(xyz),Y(xyzZ(xyz) 又设时间内通过的体积V n

4、(xyzBy 第 4 共 16 设定常流流速为v(xyz) X(xyz),Y(xyzZ(xyz) 又设时间内通过的体积V n(xyz第 1步（分割）将曲面分成m份k，每份的面积记为Sk 2步（取点）任取(k,k,kk第 3步（求和mk )n( k ,k ,k)Sk ,4步（取极限m , , )V v n( kk 0 k定义：设) F(xyz) X(xyz),Y(xyzZ(xyz在上有定义将任意分成m 份kk 面积为Sk ，任取(k,k,kk m , , ) ) ,SkF(x,y,z)dS 其中dS Note1F(xyz)dS F(xyz) n(xyz) dS n (coscoscos)dS n

5、dS(cos dS,cos dS,cos dS(dydz,dzdx,dxdy) By 第 5 共 16 F(x,y,X(xBy 第 5 共 16 F(x,y,X(x,y,z)dydz Y(x,y,z)dzdxZ(x,y,z)dxdyZ(xyz)dxdy称为函数Z(xyz在有向曲面xy Y(xyz)dzdx称为函数Y(xyz在有向曲面zxNote3：注意dydzdzdxdxdy与坐标面上的面积元素dydzdzdxdxdy（1）有向性F(xyz)dS F(xyz)dS （2）区域可加性：若有向光滑曲面分成1 ， 2 两部分F(x,y,z)dS F(x,y,z)dS F(x,y,z)dS （1）曲面

6、方程是显式方程 z f(x定理：设曲面z f(xy(xyDF(x,y,z) (X(x,y,z),Y(x, y,z),Z(x,y,在F(x,y,X(x,y,z)dy dz Y(x,y,z)dzdxZ(x,y,z)dxX(x,y, f(x,y)f(x,y) Y f(x,y) ZdxdyD 其中Y Y(xy, f (xy), Z Z(xy, f (xyBy 第 6 共 16 (f ,1n(x,y,z) 1xyydS 1xBy 第 6 共 16 (f ,1n(x,y,z) 1xyydS 1xF(x,y,z)dS F(x, y,z) n(x, y, (f ,f(X,Y,Z1xyX fY f ZdxdyD

7、 Dyz Dzx Dxy，F(x,y,z)dS F(x,y,z)n(x,y,z) X(g(y,z), y,z)dydz Y(x,h(x,z),Z(x,y, f(x,y)dxdy x x(u,（2）曲面方程是参数方程 y y(uv), (uvz z(u,x x(u,定理：设曲面y y(uv), (uvDz z(u,F(x,y,z) (X(x,y,z),Y(x, y,z),Z(x,y,在F(x,y,By 第 7 共 16 X(x,y,z)dy dz Y(x,y,z)dzdxZ(x,y,z)dxX AYBZCdudv By 第 7 共 16 X(x,y,z)dy dz Y(x,y,z)dzdxZ(x

8、,y,z)dxX AYBZCdudv DX X(x(u,v),y(u,v),z(u,v)，Y Y(x(u,v),y(u,v),z(u,v)Z Z(x(u,v),y(u,v),z(u,v) (y,(z, (x, A，B ，C (u,(u,(u,1n ABC) ，所A2 B2 CF(x,y,z)dS F(x, y,z) n(x, y, XAYB ZCdSA2 B2 CXAYBZCdudvD1：I xdydz ydzdx zdxdy，其中z 1x2 y2 (z0)z 2xz 2y解法 因为I xdydz ydzdxzdxx2 y22x22y2 (1x2 y2x2 y2(1x2 y231 (1r )r

9、dr 2200 x rcos2：令yrsinr,D0,10,2z 12A r2r2cos0By 第 8 共 16 0B 2r2sinC rrI xdydz ydzdxzdxBy 第 8 共 16 0B 2r2sinC rrI xdydz ydzdxzdxrcos2r2cosrsin2r2sin(1r2)rD31 (1r )rdr 2200例 2：I xydydz y2dzdx yzdxdy ，其中x2 y2 z2 R2解法 1：记前半球面为 ：x R2 y2 z2 ，y2 z2R2前后半球面为 ：x R2 y2 z2 y2 z2 R2后则xydydz xydydz xydyy R2y2 z2d

10、ydz 0y2 z2y2 z2y R2 y2 z2dydzy2dzdx y2dzdx+y2dzx2 z2R2 x2 z22 dxdz R2 x2 z22 dxdz x2 z2yzdxdy yzdxdy+yzdxy R2x2 y2dxdy0 x2 y2x2 y2y R2 x2 y2dxdy xRsincos解法2：令：yRsinsin(,) D 0,0,2，z RBy 第 9 共 16 RcosRsin0AR2sin2cosRcos0RsinB R2sin2sinRcosRBy 第 9 共 16 RcosRsin0AR2sin2cosRcos0RsinB R2sin2sinRcosRcosRsi

11、nRsinC R2 sincosI xydydz y2dzdx yzdx R2 sin2sincosR2 sin2DR2sin2sin2R2sin2R2sinsincosR2 sinR4 sin2sindd 0 D23：I yzdxdy，其中x y2 z2 1 1 y2 ，x2 11：zI yzdx1 x y dxdy0 x2 y 解法 2：令 ：y bsinsin(,)D0, 0,2，2z cA bcosbsin0bcsin2cos acos0asinB acsin2sin By 第 10 16 acosasinBy 第 10 16 acosasinbcosbsinC absincosI y

12、zdx acsinsincos absinDa2bcsin2cos2sindd0 DBy 第 11 16 .Gauss 公式、公By 第 11 16 .Gauss 公式、公定义：设R3是一空间区域，若对于中的任意封闭曲面S S 闭域S都包含于，则称 再如：球壳a2x2 y2 z2b2F(x,y,z) (X(x,y,z),Y(x, y,z),Z(x,y,z)C1() 则F(x,y,X(x,y,z)dydzY(x,y,z)dzdx Z(x,y,z)dxX(x,y,z) Y(x,y,z) Z(x,y,z)dxdydz By 第 12 16 正向 将 :x x (y,z),(By 第 12 16 正向

13、 将 :x x (y,z),(y,z)D 1前 :x x (y,z),(y,z)D 2后Dyz是yz由于 是外侧为正X(x,y,z)dy X(x,y,z)dydzX(x,y,z)dy X(x1(y,z),y,z)dydz X(x2(y,z),y,z)dydz X(x,y,X(x,y,x (y,zdxdydz1x(y,DX(x1(y,z),y,z) X(x2(y,z),y,z)dydz X(x,y,z)dxdydz X(x,y,z)dy将 : y y (x,z),(x,z)D 1右 : y y (x,z),(x,z)D 2左Dxz是xzY(x,y,z)dxdydz Y(xyz)dz将 :z z

14、(x,y),(x,y)D 1上By 第 13 16 :z z (x,y),(x,y)，2下Dxy是xyZ(x,y,z)dxdydzZ(xyz)dx例 1：（By 第 13 16 :z z (x,y),(x,y)，2下Dxy是xyZ(x,y,z)dxdydzZ(xyz)dx例 1：（直接Gauss 公式）已知 (x, yz) x2 y2 10z 1，计算曲(x3 sin yz)dydz(y3 exz)dzdx3zln(x2 y2 1)dxdy (x3 sin yz)dydz(y3 exz)dzdx3zln(x2 y2 1)dx (3x2 3y2 3)dxdydz（Gauss公式 dr (r 1)

15、rdz 9（柱坐标系220ay2 I xy2dydz yz2dzdx zx2dxdyI xy2dy dz yz2dzdx zx2dx(y2 z2 x2)dxdydz 2dxdydzy dxdz acy2(1 y )dy ab3c 4bby22bdxdydzz dxdy abz2(1 z2 )dz 4 abc3 ccDz22z 4dxdydzx dydz bcx2(1 x )dxa3bcaax22aBy 第 14 16 4(x2 y2 z2)dxdydz abc(a2 b2 c2) 宑宲宷宨：也可以用广义球坐标计算本例中的三x arsincos令ybrsinsin则z crasinbsincBy

16、 第 14 16 4(x2 y2 z2)dxdydz abc(a2 b2 c2) 宑宲宷宨：也可以用广义球坐标计算本例中的三x arsincos令ybrsinsin则z crasinbsincar cosbr coscr sinarsin(x,y,abcr2sin(r,1x dxdydz2 (arsin) abcr 220001a sin 33cos 2d5001a sin 33(1 cos22500 1a3bc22a3bc 453 n (coscoscos) 是 的正法向量计算曲I x2 cos y2cos z2cosdS x2y2h2取zx2cosy2cosz2cos (2x2y 2z)d

17、xdydz（Gauss公式2zrdz （柱坐标系0h(h r )rdr h 420又因为 x2 cos y2cosz2cosx2 y2h2dxdy h4By 第 15 16 所以 I h4 h4 h422 I 3(x2 y2 z2解：当(xyz0,0,0)2x2 y2 z2 ，x2 2y2 By 第 15 16 所以 I h4 h4 h422 I 3(x2 y2 z2解：当(xyz0,0,0)2x2 y2 z2 ，x2 2y2 z2 ，x2 y2 ，5(x2 y2 z25(x2 y2 z25(x2 y2 z2X Y 0当不包围原点时，直接应用GaussI Y Z)dxdydz 0X当包围原点时，取 0，使得1: x2 y2 z2 2完全被包围设是与1 xdydz ydzdxzdx3(x2 y2 z2X Z)dxdydz0 所以 I 3(x2 y2 z2 3(x2 y2 z2 xdydz ydzdxzdxdy（点在曲面上1 (111)dxdydz3 43 4（Gauss公式3 35：x2 y2 z2R2V 1xdydzydzdxzdxdy（Gauss公式3 x x y y z z dS （第一型、第二型曲面积分的关系3R By 第 16 16 1RdS 4R3（点在曲面上、球面面积3 36：设R3f(x