基本不等式知识点归纳

1、根本不等式知识点总结|ab|a|b| | | | | | b ab|； 、ab0|ab|a|b|bb| | | |；a b a b0|a|b|ab|a|b|ab|a|b| |a|b| |ab|a,ba,b00；.|ab|a|b| |a|b| |ab| a a aa a a123123 bab a b a bm b bma bam0b bm .am a am0,m0 a ba amb bman a ， ， .a bmn1a ambn bb db bd d,b,c Raa c ；，则a ac c1nNnN1 n n1；，nn2 n11111,n 1，n n .1 n2 n1 nlnx 1x ( 1

2、 ( ).x x Rx,exb( )f x ax (0)、 a bxyb( ) a b 0、 f x xboxabx( ) f x a b 0、b2aba(,2 ab 2 ab,)；bbbaba,.(, ,) aa重要不等式a,bRab “ a b222 zaba baba b2222 ()a b = () 222222ab(a,bR ) ab (ab)2(a,bR)ab，22b 1*.假设0，则x(当且仅当 1时取“=; 2xxx1假设0，则xx(当且仅当 1时取“=x 2x假设0，则111(当且仅当时取“=xa b时取“=a bx 即x 或x -2xxx*.假设0，则(当且仅当aba b

3、2b aa ba ba b假设0 ，则ab(当且仅当时取a b22 即 或 b ab ab a“=a b cabc等式即可成立，ababc时取等33*ab 0a b 2ab2 2b a 2a bbab 得或 11。a*a2a,b, 2abbab (ab)2abba2b2a22 (； ) 2； 2222a21 142(ab) a b 2ab ；。22a b abb1 1411 1 1 1 ( )( ) ； ab022a babab2 a b22ba最值定理,yx y 2 xyxy P()x yx y2 px定值 ；1,yx y 2 xyyS(定值)s2.xxx yxy 4z) 22 x y x

4、y x.2 xy| x y| xy| xy| xy|,x,b,yR 1 (by ) abx yab2 ( a xy则和.应用根本不等式求最值的“八种变形技巧： 0y x(82x)51 x f(x) f42(xx1aba b2 ab2变用公式：根本不等式 ab 有几个常用变形,，2222() 2225 x)2a21x ,y 1 etx(2 )2 t xyxy2 a2 1t a b x y aa0 x acos,y asin, 22a0 .z15( , )f x y x ysincos2 a) 0, , ,2)在 aa4441 增函数，在 , 44113 57 g(x,y) xy asin20,

5、, , , ,2) 在上 是 增 函 数 ， 在244 441 35 74 41 1 x y , , , 4 4 ( , ) m x yt sincos 2a )，4x ya 2,1) (1,1) (1, 2 1 t 1tt22tt 1)2而 ( , )m x y在 2,1) (1,1) (1, 212aat )t和为定值x y bbb0y b.则bb ( , ) g x y xy x bx(, ,)在2221 1 x ym(x,y) x ybb0( ,0),(0, .当b x 22bbb ,b),(,)b(,b),(b, ,0),(0, )0 上222bbn(x,y) x y 2x bxb

6、(, ,)在222222积为定值cxccc0则y . c( , ) f x y x y xc 0c ,0),(0,c上 是 减 函 数 ， 在. 当时 ， 在xc0(, c, c,)( )1 1 x y 1cm(x,y) x y (x )c 0 c,0),(0, ccxc(, c, c,)()0 在cc2n(x,y) x y x (x ) c (, c),(0, c在2222x2x( c,0, c,)倒数和为定值1 1 21 1 1c. d , , 则y x y dx d y1 1x11 1dd z z, z, x,y .得zdx dy d1dz1dzz2d110时，在 (, ),( ,0 f(x) x y .当 d上是减函数，在1d zdd221 11 1d 0时 ， 在0, ),( ,)d d(, ),( ,0d d上 是 增 函 数 ； 当上 是 增 函 数 ， 在110, ),( ,)ddd1120时，在 (, ),( ,0 g(x,y) . .当 d上是减函数，在1d z2dd21 11 1(, ),( ,00 时 ， 在d0, ),( ,)d d上 是 增 函 数 ； 当上 是 减 函 数 ， 在d d110, ),( ,