高中数学复习专题12 解三角形（学生版）

专题12解三角形一、解答题1．（2024新高考Ⅰ卷·15）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．2．（2024新高考Ⅱ卷·15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．一、解答题1．（2022新高考Ⅰ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．2．（2023新高考Ⅰ卷·17）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．3．（2022新高考Ⅱ卷·18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．4．（2023新高考Ⅱ卷·17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．一、基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式；；．常见变形（1），，；（2），，；；；．（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）二、相关应用（1）正弦定理的应用=1\*GB3①边化角，角化边=2\*GB3②大边对大角大角对大边=3\*GB3③合分比：（2）内角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列．三、实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．【解三角形常用结论】1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，，，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）在中，，且交于点，，则（

）A． B． C． D．3．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2024·山西太原·三模）已知中，是的中点，且，则面积的最大值（

）A． B． C．1 D．25．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（

）A． B． C． D．4二、多选题6．（2024·安徽·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（

）A．B．的外接圆面积为C．若，，则D．若，，则7．（2024·浙江·三模）已知的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（

）A．B．若，则有两解C．当时，为直角三角形D．若为锐角三角形，则的取值范围是8．（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（

）A． B．的最小值为3C．若为锐角三角形，则 D．若，，则三、填空题9．（2024·新疆·三模）在中，，.则.10．（2024·江西南昌·三模）在中，，则.11．（2024·重庆九龙坡·三模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则；的最大值为.12．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为.13．（2024·湖南邵阳·三模）已知分别为三个内角的对边，且，则；若，，，，则的取值范围是．四、解答题14．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，记角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角；(2)已知点在边上，且，，，求的面积．15．（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．(1)求角的大小；(2)若，边上的高为，求三角形的周长．16．（2024·天津滨海新·三模）在中，内角所对的边分别为，，，．(1)求角的大小：(2)求的值；(3)求的值．17．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)设函数．（ⅰ）求的定义域和最小正周期；（ⅱ）求的值．18．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，求面积的最大值．19．（2024·湖南衡阳·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且．(1)求A；(2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值．20．（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，所对的边分别是，已知_____．(1)求角；(2)若，点在边上，为的平分线，求边长的值．21．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，求的面积;(2)若，求使得恒成立时，实数的最小值.22．（2024·安徽六安·三模）在①，②，③这