最新中考“压轴题”精选教师

1、PAGE PAGE 78中考重点题选集 参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2020成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，A=C=90，BDBE，AD=BC（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答过程）考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据同角的余角相等求出1=E，再利用“角角边”证明ABD和C

2、EB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；（2）（i）过点Q作QFBC于F，根据BFQ和BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根据ADP和FPQ相似可得=，然后整理得到（APBF）（5AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得解；（ii）判断出DQ的中点的路径为BDQ的中位线MN求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长解答：（1）证明：BDBE，1+2=18090=90，C=90，2+E=18090=90，1=E，在ABD和CEB中，ABDCEB（AAS），

3、AB=CE，AC=AB+BC=AD+CE；（2）（i）如图，过点Q作QFBC于F，则BFQBCE，=，即=，QF=BF，DPPQ，ADP+FPQ=18090=90，FPQ+PQF=18090=90，ADP=FPQ，又A=PFQ=90，ADPFPQ，=，即=，5APAP2+APBF=3BF，整理得，（APBF）（AP5）=0，点P与A，B两点不重合，AP5，AP=BF，由ADPFPQ得，=，=；（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是BDQ的中位线MN由（2）（i）可知，QF=AP当点P运动至AC中点时，AP=4，QF=BF=QF=4在RtBFQ中，根据勾股定理得：BQ=MN=BQ=线段D

4、Q的中点所经过的路径（线段）长为点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件1=E是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键2（2020成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q（i）若点M在直线AC下方，且为平移

5、前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x5）与抛物线的交点，即为所求之M点；当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为此时，将直线

6、AC向右平移2个单位后所得直线（y=x3）与抛物线的交点，即为所求之M点ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段BF的长度解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得：b=2，c=1，抛物线的函数表达式为：y=x2+2x1（2）i）A（0，1），C（4，3），直线AC的解析式为：y=x1设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上点P在直线AC上滑动，可设P的

7、坐标为（m，m1），则平移后抛物线的函数表达式为：y=（xm）2+m1解方程组：，解得，P（m，m1），Q（m2，m3）过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，则PE=m（m2）=2，QE=（m1）（m3）=2PQ=AP0若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）由A（0，1），B（4，1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l1的解析式为：y=x+b1，B（4，1），1=4+b1，解得b1=5，直线l1的解析式为：y

8、=x5解方程组，得：，M1（4，1），M2（2，7）当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，1）由A（0，1），F（2，1），P0（2，1）可知：AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为过点F作直线l2AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l2的解析式为：y=x+b2，F（2，1），1=2+b2，解得b1=3，直线l2的解析式为：y=x3解方程组，得：，M3（1+，2+），M4（1，2）综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，1），M2（2，7），M3（1+，2+），M4（1，2）ii）存

9、在最大值理由如下：由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BQFB=当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为的最大值为=点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大3（2020绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C

10、的坐标为（0，2），交x轴于A、B两点，其中A（1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为2，即b=0，c=2，再将A（1，0）代入y=

11、ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；（2）设P点坐标为（m，n）由于PDB=BOC=90，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：OCBDBP；OCBDPB根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x22），使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形过点Q作QEl于点E利用AAS易证DBPEPQ，得出BD=PE，DP=EQ再分两种情况讨论：P（m，）；P（m，2（m1）都根据BD=PE，

12、DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x0且m1即可判断不存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，2），b=0，c=2；y=ax2+bx+c过点A（1，0），0=a+02，a=2，抛物线的解析式为y=2x22当y=0时，2x22=0，解得x=1，点B的坐标为（1，0）；（2）设P（m，n）PDB=BOC=90，当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：若OCBDBP，则=，即=，解得n=由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐标为（m，）或（m，）（

13、舍）；若OCBDPB，则=，即=，解得n=2m2由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，此时点P坐标为（m，2m2）或（m，22m），P在第一象限，m1，（m，2m2）或（m，22m）舍综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m2）（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x22），使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形如图，过点Q作QEl于点EDBP+BPD=90，QPE+BPD=90，DBP=QPE在DBP与EPQ中，DBPEPQ，BD=PE，DP=EQ分两种情况：当P（m，）时，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；当P（m

14、，2（m1）时，B（1，0），D（m，0），E（m，2x22），解得，（均不合题意舍去）；综上所述，不存在满足条件的点Q点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解4（2020绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明

15、：；（2）若AD是ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，SAGH分别表示四边形BCHG和AGH的面积，试探究的最大值考点：相似形综合题；三角形的重心专题：压轴题分析：（1）如答图1，作出中位线DE，证明AOCDOE，可以证明结论；（2）如答图2，作ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为ABC的重心由（1）可知，=，而已知，故点O与点Q重合，即点O为ABC的重心；（3）如答图3，利用图形的面积

16、关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值解答：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E点O是ABC的重心，CE是中线，点E是AB的中点DE是中位线，DEAC，且DE=ACDEAC，AOCDOE，=2，AD=AO+OD，（2）答：点O是ABC的重心证明：如答图2，作ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为ABC的重心由（1）可知，=，而，点Q与点O重合（是同一个点），点O是ABC的重心（3）解：如答图3所示，连接DG设SGOD=S，由（1）知，即OA=2OD，SAOG=2S，SAGD=SGOD+SAGO=3S为简便起见，不妨设

17、AG=1，BG=x，则SBGD=3xSSABD=SAGD+SBGD=3S+3xS=（3x+3）S，SABC=2SABD=（6x+6）S设OH=kOG，由SAGO=2S，得SAOH=2kS，SAGH=SAGO+SAOH=（2k+2）SS四边形BCHG=SABCSAGH=（6x+6）S（2k+2）S=（6x2k+4）S= 如答图3，过点O作OFBC交AC于点F，过点G作GEBC交AC于点E，则OFGEOFBC，OF=CD=BC；GEBC，GE=；=，OFGE，=，k=，代入式得：=x2+x+1=（x）2+，当x=时，有最大值，最大值为点评：本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、

18、性质以及应用，考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点试题的难点在于第（3）问，如何求出的关系式是解题的关键；另外，第（3）问尚有多种不同的解法，同学们可以深入探究5（2020德宏州）如图，已知直线y=x与抛物线交于A、B两点（1）求交点A、B的坐标；（2）记一次函数y=x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2若y1y2，求x的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）根据题意可以列出关于x、y的方程组，通过解方程组可以求得点A、B的坐标；（2）根据函数图象可

19、以直接回答问题；（3）需要分类讨论：以AB为腰和以AB为底的等腰三角形解答：解：（1）如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，解得，或，A（0，0），B（2，2）；（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）一次函数y=x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2当y1y2时，根据图象可知x的取值范围是：0 x2；（3）该抛物线上存在4个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形理由如下：A（0，0），B（2，2），AB=2根据题意，可设P（x，x2）当PA=PB时，点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点易求线段AB的中垂线的解析式为y=x+2，则，解得，P1（1，3+），P2（1，3）；当PA=

20、AB时，根据抛物线的对称性知，点P与点B关于y轴对称，即P3（2，2）；当AB=PB时，点P4的位置如图所示综上所述，符号条件的点P有4个，其中P1（1，3+），P2（1，3），P3（2，2）点评：本题考查了二次函数综合题其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质解题时，利用了“分类讨论”和“数形结合”的数学思想6（2020泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（6，0），过点E（2，0）作EFAB，交BO于F；（1）求EF的长；（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；根据上述语句，在图1

21、上画出图形，并证明=；过点G作直线GDAB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：=，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；（3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值考点：圆的综合题专题：压轴题分析：（1）利用正方形与平行线的性质，易求线段EF的长度（2）首先依题意画出图形，如答图1所示证明OFHBFG，得；由EFAB，得所以；由OP=OH，则问题转化为证明=根据中的结论，易得=，故问题得证（3）本问为探究型问题，利用线段性质（两点之间线段最短）

22、解决如答图2所示，构造矩形，将2PO+PM转化为NK+PM，由NK+PMNK+KM，NK+KMMN=8，可得当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8解答：（1）解：解法一：在正方形OABC中，FOE=BOA=COA=45EFAB，FEO=BAO=90，EFO=FOE=45，又E（2，0），EF=EO=2解法二：A（6，0），C（0，6），E（2，0），OA=AB=6，EO=2，EFAB，即，EF=6=2（2）画图，如答图1所示：证明：四边形OABC是正方形，OHBC，OFHBFG，；EFAB，；证明：半圆与GD交于点P，OP=OH由得：，又EO=2，EA=OAEO=62=4，通过

23、操作、观察可得，4BG12（3）解：由（2）可得：=，2OP+PM=BG+PM如答图2所示，过点M作直线MNAB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，NK=BG2OP+PM=BG+PM=NK+PMNK+KM，当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立又NK+KMMN=8，当点K在线段MN上时，等号成立当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8点评：本题是几何综合题，主要考查了相似三角形与圆的相关知识图中线段较多，注意理清关系第（1）（2）问考查几何基础知识，难度不大；第（3）问考查几何最值问题，有一定的难度需要注意的是：线段的性质（两点之间线段最短）是初中数学常见的

24、最值问题的基础，典型的展开图最短路线问题、轴对称最短路线问题，均是利用这一性质，希望同学们能够举一反三、触类旁通7（2020泉州）如图，直线y=x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（2，0），P是直线BC上的动点（1）求ABC的大小；（2）求点P的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使APO=30的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由考点：一次函数综合题专题：压轴题分析：（1）求得B、C的坐标，在直角BOC中，利用三角函数即可求解；（2）取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆Q，Q

25、与直线BC的两个交点，即为所求；（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使APO=30的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个如答图2所示解答：解：（1）在y=x+2中，令x=0，得y=2；令y=0，得x=2，C（0，2），B（2，0），OC=2，OB=2tanABC=，ABC=60（2）如答图1所示，连接AC由（1）知ABC=60，BC=2OB=4又AB=4，AB=BC，ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P1，P2QP1=2，QO=2，点P1与点C重合，且Q经过点OP1（0，2）QA=QO，CAB=60，AOQ为

26、等边三角形在Q中，AO所对的圆心角OQA=60，由圆周角定理可知，AO所对的圆周角APO=30，故点P1、P2符合条件QC=QP2，ACB=60，P2QC为等边三角形P2C=QP=2，点P2为BC的中点B（2，0），C（0，2），P2（1，）综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2），（1，）（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使APO=30的点P的个数情况有四种：1个、2个、0个如答图2所示，以AO为弦，AO所对的圆心角等于60的圆共有2个，记为Q，Q，点Q，Q关于x轴对称直线BC与Q，Q的公共点P都满足APO=AQO=AQO=30，点P的个数情况如下：有1个：直线BC与Q（或Q）

27、相切；有2个：直线BC与Q（或Q）相交；有2个：直线BC与Q（或Q）相切，同时与Q（或Q）相交；有2个：直线BC同时与两圆都相交，且不过两圆的交点有0个，直线与两个圆都相离时就不存在点P了点评：本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内直线与圆的位置关系难点在于第（3）问，所涉及的情形较多，容易遗漏8（2020盐城）阅读材料如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则BF=CD解决问题（1）将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并

28、证明你的结论；（2）如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角ACB=EDF=，请直接写出的值（用含的式子表示出来）考点：几何变换综合题专题：压轴题分析：（1）如答图所示，连接OC、OD，证明BOFCOD；（2）如答图所示，连接OC、OD，证明BOFCOD，相似比为；（3）如答图所示，连接OC、OD，证明BOFCOD，相似比为tan解答：解：（1）猜想：BF=CD理由如下：如答图所示，连接OC、ODABC为等

29、腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，OB=OC，BOC=90DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，OF=OD，DOF=90BOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，BOFCOD（SAS），BF=CD（2）答：（1）中的结论不成立如答图所示，连接OC、ODABC为等边三角形，点O为边AB的中点，=tan30=，BOC=90DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，=tan30=，DOF=90=BOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，=，BOF=COD，B

30、OFCOD，=（3）如答图所示，连接OC、ODABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，=tan，BOC=90DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，=tan，DOF=90=tanBOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，=tan，BOF=COD，BOFCOD，=tan点评：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即BOFCOD或BOFCOD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承

31、，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究9（2020盐城）如图，若二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（3，0）两点，点A关于正比例函数y=x的图象的对称点为C（1）求b、c的值；（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；（3）如图，过点B作DBx轴交正比例函数y=x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y=x的图象于点E，连结AD、CD如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分AP

32、Q，同时QE平分PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）利用待定系数法求出b，c的值；（2）如答图1所示，关键是求出点C的坐标首先求出直线y=x与x轴所夹锐角为60，则可推出在RtCEK中，COK=60，解此直角三角形即可求出点C的坐标；（3）如答图2所示，关键是证明APECEQ根据DAC=DCA，AEP=CQE，证明APECEQ，根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间t的值解答：解：（1）点A（2，0），B（3，0）在抛物线y=x2+bx+c上，解得：b=，c=（2）设点F在直线y=x上，且F（2，）如答图1所示，过点F作FHx轴于点

33、H，则FH=，OH=2，tanFOB=，FOB=60AOE=FOB=60连接OC，过点C作CKx轴于点K点A、C关于y=x对称，OC=OA=2，COE=AOE=60COK=180AOECOE=60在RtCOK中，CK=OCsin60=2=，OK=OCcos60=2=1C（1，）抛物线的解析式为：y=x2x，当x=1时，y=，点C在所求二次函数的图象上（3）假设存在如答图1所示，在RtACK中，由勾股定理得：AC=如答图2所示，OB=3，BD=3，AB=OA+OB=5在RtABD中，由勾股定理得：AD=2点A、C关于y=x对称，CD=AD=2，DAC=DCA，AE=CE=AC=连接PQ、PE，Q

34、E，则APE=QPE，PQE=CQE在四边形APQC中，DAC+APQ+PQC+DCA=360，（四边形内角和等于360）即2DAC+2APE+2CQE=360，DAC+APE+CQE=180又DAC+APE+AEP=180，（三角形内角和定理）AEP=CQE在APE与CEQ中，DAC=DCA，AEP=CQE，APECEQ，即：，整理得：2t2t+3=0，解得：t=或t=（t，故舍去）存在某一时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC，此时t=点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、待定系数法、对称、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等

35、知识点试题的难点在于第（3）问，图形中线段较多关系复杂，难以从中发现有效的等量关系，证明APECEQ是解题关键10（2020随州）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2经过原点的抛物线y=mx2x+n的对称轴是直线x=2（1）求出该抛物线的解析式（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C现在利用图2进行如下探究：将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化

36、，说明理由；若不发生变化，求出的值设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在的旋转过程中，是否存在点F，使DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）根据过原点，对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式；（2）如答图1所述，证明RtPAERtPGF，则有=，的值是定值，不变化；若DMF为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解解答：解：（1）抛物线y=mx2x+n经过原点，n=0对称轴为直线x=2，=2，解得m=抛物线的解析式为：y=x2x（2）的值不变理由如下：如答图1所示，过点P作PGx轴于点G，则PG=AO=2PEPF，

37、PAPG，APE=GPF在RtPAE与RtPGF中，APE=GPF，PAE=PGF=90，RtPAERtPGF=存在抛物线的解析式为：y=x2x，令y=0，即x2x=0，解得：x=0或x=4，D（4，0）又y=x2x=（x2）21，顶点M坐标为（2，1）若DMF为等腰三角形，可能有三种情形：（I）FM=FD如答图2所示：过点M作MNx轴于点N，则MN=1，ND=2，MD=设FM=FD=x，则NF=NDFD=2x在RtMNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，即：（2x）2+1=x2，解得：x=，FD=，OF=ODFD=4=，F（，0）；（II）若FD=DM如答图3所示：此时FD=DM=，

38、OF=ODFD=4F（4，0）；（III）若FM=MD由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O此种情形不存在综上所述，存在点F（，0）或F（4，0），使DMF为等腰三角形点评：本题是二次函数综合题型，难度不大试题的背景是图形的旋转，需要对旋转的运动过程有清楚的理解；第（3）问主要考查了分类讨论的数学思想，需要考虑全面，避免漏解11（2020永州）如图，已知二次函数y=（xm）24m2（m0）的图象与x轴交于A、B两点（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；

39、（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的M与y轴交于C、D两点，求CD的长考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）解关于x的一元二次方程（xm）24m2=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=AB，得出点P的坐标为（m，2m），又根据二次函数的顶点式为y=（xm）24m2（m0），得出顶点P的坐标为：（m，4m2），则2m=4m2，解方程求出m的值，再把m的值代入y=（xm）24m2，即可求出二次函数的解析式；（3）连接CM根

40、据（2）中的结论，先在RtOCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍解答：解：（1）y=（xm）24m2，当y=0时，（xm）24m2=0，解得x1=m，x2=3m，m0，A、B两点的坐标分别是（m，0），（3m，0）；（2）A（m，0），B（3m，0），m0，AB=3m（m）=4m，圆的半径为AB=2m，OM=AMOA=2mm=m，抛物线的顶点P的坐标为：（m，2m），又二次函数y=（xm）24m2（m0）的顶点P的坐标为：（m，4m2），2m=4m2，解得m1=，m2=0（舍去），二次函数的解析式为y=（x）21，即y=x2x；

41、（3）如图，连接CM在RtOCM中，COM=90，CM=2m=2=1，OM=m=，OC=，CD=2OC=点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，以及圆的半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，垂径定理等知识，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析求解便不难解决12（2020永州）如图，已知ABBD，CDBD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多

42、少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？考点：相似形综合题专题：压轴题分析：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或=时，

43、使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以

44、P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据B=D=90和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可解答：解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（10 x）=36，x210 x+36=0，=（10）241360，此方程无解，当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D

45、三点为顶点的三角形相似，存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（12x）=36，x212x+36=0，=（10）24136=0，此方程的解为x2=x3=6，当BP=或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在2个点P，使以P、A、B三点为

46、顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（15x）=36，x215x+36=0，=（15）24136=81，此方程的解为x2=3，x3=12，当BP=或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点

47、的三角形相似，此时BP的值为或3或12；（4）设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（lx）=mn，x2lx+mn=0，=（l）241mn=l24mn，当l24mn0时，方程没有实数根，即当l24mn0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；当l24mn=0时，方程有1个实数根，当l24mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；当l24mn0时，方程有2个实数根，当l24mn

48、0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式的应用，注意：ax2+bx+c=0（a0，a、b、c为常数），当=b24ac0时，方程无实数解，当=b24ac=0时，方程有两个相等的实数解，当=b24ac0时，方程有两个不等的实数解13（2020湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（5，4），B（3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒（1）当t为何值时，PCDB；（2）当t为何值时，PCBC；（3）以点

49、P为圆心，PO的长为半径的P随点P的运动而变化，当P与BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值考点：相似形综合题专题：压轴题分析：（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；（2）证PCOCBO，得出=，求出OP=即可；（3）设P的半径是R，分为三种情况：当P与直线DC相切时，过P作PMDC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；当P与BC相切时，根据COBPBM得出=，求出R=12即可；当P与DB相切时，证ADBMPB得出=，求出R即可解答：解：（1）D（5，4

50、），B（3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，DC=5，OC=4，OB=3，DCy轴，x轴y轴，DCBP，PCDC，四边形DBPC是平行四边形，DC=BP=5，OP=53=2，21=2，即当t为2秒时，PCBD；（2）PCBC，x轴y轴，COP=COB=BCP=90，PCO+BCO=90，CPO+PCO=90，CPO=BCO，PCOCBO，=，=，OP=，1=，即当t为秒时，PCBC；（3）设P的半径是R，分为三种情况：当P与直线DC相切时，如图1，过P作PMDC交DC延长线于M，则PM=OC=4=OP，41=4，即t=4；如图2，当P与BC相切时，BOC=9

51、0，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，PMB=COB=90，CBO=PBM，COBPBM，=，=，R=12，121=12，即t=12秒；根据勾股定理得：BD=2，如图3，当P与DB相切时，PMB=DAB=90，ABD=PBM，ADBMPB，=，=，R=6+12；（6+12）1=6+12，即t=（6+12）秒点评：本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力14（2020湘潭）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx2的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该

52、抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形AOBCDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据SCEF=SABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出PACB，然后证明点P在抛物线上即可解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD

53、=90OBA+OAB=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB与CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线y=x2+bx2上，1=9+3b2，解得：b=抛物线的解析式为：y=x2x2（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=设直线BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直线AC的解析式为：y=x如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（x+2）（x）=xCEF中，EF边上的高h=OD

54、x=3x由题意得：SCEF=SABC，即：EFh=SABC，（x）（3x）=，整理得：（3x）2=3，解得x=3或x=3+（不合题意，舍去），当直线l解析式为x=3时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（3）存在如答图2所示，过点C作CGy轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1过点A作APBC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形过点P作PHx轴于点H，则易证PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（2，1）抛物线解析式为：y=x2x2，当x=2时，y=1，即点P在抛物线上存在符合条件的点P，点P的坐标为（2，1）点评：本题是二次函

55、数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算15（2020荆州）如图，已知：如图，直线y=x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（xk）2+h（a0）始终经过点E，过E作EGOA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADE

56、F是菱形？判断此时AFG与AGB是否相似，并说明理由；（3）当ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）首先求出一次函数y=x+与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；（2）由EFAD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若ADEF是菱形，则DE=AD=t由DE=2OE，列方程求出t的值；如答图1所示，推出BAG=GAF，ABG=AGF=30，证明AFG与AGB相似（3）当ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：若ADF=90，如答图2所示首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标

57、，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；若AFD=90，如答图3所示解题思路与相同解答：解：（1）在直线解析式y=x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1A（1，0），B（0，），OA=1，OB=tanOAB=，OAB=60，AB=2OA=2EGOA，EFB=OAB=60EF=t，BF=2EF=2t，AF=ABBF=22t（2）EFAD，且EF=AD=t，四边形ADEF为平行四边形若ADEF是菱形，则DE=AD=t由DE=2OD，即：t=2（1t），解得t=t=时，四边形ADEF是菱形此时AFG与AGB相似理由如下：如答图1所示，

58、连接AE，四边形ADEF是菱形，DEF=DAF=60，AEF=30由抛物线的对称性可知，AG=AE，AGF=AEF=30在RtBEG中，BE=，EG=2，tanEBG=，EBG=60，ABG=EBGEBF=30在AFG与AGB中，BAG=GAF，ABG=AGF=30，AFGAGB（3）当ADF是直角三角形时，若ADF=90，如答图2所示：此时AF=2DA，即22t=2t，解得t=BE=t=，OE=OBBE=，E（0，），G（2，）设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）设抛物线解析式为y=a（x1）2+，点E（0，

59、）在抛物线上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+若AFD=90，如答图3所示：此时AD=2AF，即：t=2（22t），解得：t=BE=t=，OE=OBBE=，E（0，），G（2，）设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：，解得k=，b=，y=x+令x=1，得y=，M（1，）设抛物线解析式为y=a（x1）2+，点E（0，）在抛物线上，=a+，解得a=y=（x1）2+=x2+x+综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：y=x2+x+或y=x2+x+点评：本题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知

60、识点第（3）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解16（2020吉林）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）（1）当点P运动到点F时，CQ=5cm