线性代数A答案

1、宁波大学/学年第学期考试卷（ A/B/C ）课号：课名：阅卷教师：成绩一、单项选择题（每小题4 分，共 20 分）A,B,C,I 为同阶矩阵， I 为单位矩阵，若 ABC=I，则下列各式总是成立的是（ A ）(A) BCA=I(B) ACB=I(C) BAC=I (D) CBA=I2. 已知方阵 A 满足 A23A 4EO, 则矩阵 A 2E1（ C）（A）A E（B） 1(A E)2装（D） A 2E（C） 1(A E)2名姓3.设3阶矩阵 A有特征值1,2 , 31,2,3， 令，其对应的特征向量分别为d i a g321，则使得 P 1AP的可逆矩阵 P 可以是下面四个选项中的（ B）订

2、（ A ）123（B ）32 23 1（C）312 23（ D ）2314. 设向量 1(3,1,0),2 (2,0,4),(1,2, k) ，则 k=( D )时， 才能由 1， 2 线性表示。(A) 2(B) 4(C) 7(D) 10线5如果（ D），则矩阵 A 与矩阵 B 相似(A) AB(B)r(A)=r(B)(C)A 与 B 有相同的特征多项式(D)n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同号学二、填空题（每题4 分，共 20 分）2131行列式 012 中的元素 a23 的代数余子式 A23 的值为 8 .426313 .2设 A= 01 ,则 ATA= 1320

3、32a101003 设 3 阶方阵 A b20与对角矩阵 B 020相似，则 a 2,b 1002003101x104已知方程组 12kx20有非零解，则 k= -1 .211x30 设 3 阶方阵 A 的特征值为1,1,3, A 是A的伴随矩阵 ,则AA18/3.5二计算题（ 50 分）xaaaxa计算行列式aaxx aax ( n 1)a aa1aaa xax ( n 1)a xa( x (n1xa解：1)a)a axx ( n 1)a ax1ax100(x1xa0(n 1)a)( xa) n 1 8 分( n 1)a)( x10 x a第1页共4页宁波大学/学年第学期考试卷（ A/B/C

4、 ）课号：课名：阅卷教师：成绩1012已知两个三阶方阵A, B 满足 ABEA2B ，其中 A020 ,101求矩阵 B .（ 10 分）解：由ABEA2B装( AE) B( AE)( AE) 4 分因为 AE0， 6 分名201姓所以 BAE =030 10 分102订3. 求向量组TTTT1 (1,1,3,1) , 2( 1,1, 1,3) , 3(5, 2,8, 9) , 4( 1,3,1,7) ,的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。（10 分）解：把 1，2， ， 4组成矩阵并做行初等变换3115111511123027412343181027 4分4线1397041

5、481151115110312702740120172 8 分20000200000000000000000000号学因此1，2为极大线性无关组， 331- 72 , 41+2 2. 10 分22x1x2x304. 设有线性方程组x1x2x33问 取何值时，此方程组x1 x2x31（1）有惟一解；无解（2）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解。（ 12 分）解： 方程组的系数矩阵：11A11(2)(1)20解得1， -2时方程组有惟一解。11 3 分时，增广矩阵为11101110A b11130001方程组无解。 6 分11100000时，增广矩阵为111110102110222210113

6、3A b12 130 1120 11 20311232200000000333022原方程组与方程组x1x31x2x3通解，此时有无穷多解。此次方程组对应的基础解211系为 xC 1，非齐次方程的特解为x2 ，所以原方程组的通解为10第2页共4页宁波大学/学年第学期考试卷（ A/B/C ）课号：课名：阅卷教师：成绩11xC 12 12 分105.设 3阶对称阵 A的特征值为1 6,233,与特征值1 6 对应的特征向量为p1T， 求 A（10 分）(1,1,1)装11解： p1T xOx1x2x30 ，基础解系为1,0 4 分名01姓111P11010111111/ 31/ 31/ 3订P 1

7、1101/ 32 / 31/ 3 8 分1011/ 31/ 32 / 31116001114111A110030110= 14110 分101003101114三证明题（ 10 分）线1.设 Am n BnlO ，证明 R( A)R( B)n 。证：记方程Ax O的解集为 S，即 ()。 分R B Rs2R( A)Rsn ，R( A)Rs n 5 分号2.已知向量组 a1 , a2, a3 线性无关， b1a1a2 ,b2a2a3 ,b3a3a1 ，试证向量组学b1 ,b2 , b3 线性无关。证明：设有 x1, x2 , x3 使x1b1x2 b2x3b3 0即 x1 (a1 a2 ) x2 (a2a3 ) x3 (a3a1) 0亦即 a1( x1x3 ) a2 ( x2x1 )a3 (x2x3 ) 0 2 分因 a1, a2 , a3 线性无关，固有x1x30 x2x10 x1 x2x30 4 分x2x30所以，向量组 b1 ,b2 , b3线性无关。 5 分、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。第3页共