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1、4.4 线性常系数齐次递推关系 4.4 线性常系数齐次递推关系 定义 如果序列 满足 及 是常数， ，则称为 的 阶常系数线性齐次递推关， 称为 的初始条件，称为 的特征多项式4.4 线性常系数齐次递推关系 设 为 的母函数，有4.4 线性常系数齐次递推关系将这些式子两边分别相加，得到即其中4.4 线性常系数齐次递推关系 令 ，多项式 的次数不大于 。特征多项式4.4 线性常系数齐次递推关系因此，是 次多项式，我们知道 在复数域中有 个根。设4.4 线性常系数齐次递推关系则 于是4.4 线性常系数齐次递推关系式是有理式，且分子的次数低于分母的次数，有分项表示，即：4.4 线性常系数齐次递推关系

2、承上页： 的系数是 。 是常数。4.4 线性常系数齐次递推关系以下分别各种情况讨论具体计算的问题。（1）特征多项式 无重根 设 可见化为4.4 线性常系数齐次递推关系 的系数是可由线性方程组解出。例1、求递归关系 4.4 常系数线性齐次例14.4 常系数线性齐次递推关系4.3.1 相异特征根的解法 例 题4.4 常系数线性齐次例24.4 常系数线性齐次递推关系4.4.1 相异特征根的解法 例 题例2、求递归关系 4.4 常系数线性齐次相同特征根定理4-14.4 常系数线性齐次递推关系4.4.2 相同特征根的解法 定理 4.5若q1,q2,qt分别为上述递推关系的特征方程C(x)=0相异的m1,

3、m2,mt重特征根， 为该递推关系的通解，其中cij由初始条件确定。4.4 常系数线性齐次相同特征根定理4-24.4 常系数线性齐次递推关系4.3.2 相同特征根的解法 证明：由定理4.4知， 表达式的右端每一项都是递推关系an=b1an-1+b2an-2+bkan-k的解。故an也是该递推关系的解。现只需证明该式满足递推关系式an=b1an-1+b2an-2+bkan-k的任意初值条件式a0=d0,a1=d1, ak-1 =dk-1所得的线性方程组有惟一解即可。 将初值条件式a0=d0,a1=d1,ak-1=dk-1代入式(A)得到下列方程组：这个方程组的系数行列式是Vandermonde行

4、列式的一个推广。其行列式之值为故方程组有惟一解。即cij(i=1,2,t; j=1,2,mi)是由初值惟一确定，定理得证。例3、求递归关系 4.4 常系数线性齐次例34.4 常系数线性齐次递推关系4.4.2 相同特征根的解法 例 题例4、求递归关系 4.4 常系数线性齐次例44.4 常系数线性齐次递推关系4.3.2 相同特征根的解法 例 题4.4 常系数线性齐次例54.4 常系数线性齐次递推关系4.3.2 相同特征根的解法 例 题例5、求递归关系4.4 常系数线性齐次例64.4 常系数线性齐次递推关系4.3.2 相同特征根的解法 例 题例6、计算n阶行列式的值：解：设具有以上形式的n阶行列式的值为

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