辛不等式恒成立问题中的参数求解技巧

1、文档编码 : CW6L8C2E1O9 HR9U2S6U1M6 ZO8K9Y2F9U3学习必备 欢迎下载 辛不等式恒成立问题中的参数求解技巧 其方法大致有： 用一元二次方程根的判别式, 参数大于最大值或小于最小值, 变更主元利用函数与方程的思想求解；本文通过实例,从不同角度用常规方法 归纳； 一,用一元二次方程根的判别式 2例 1对于 xR,不等式 x 2x 3 m 0 恒成立,求实数 m 的取值范畴； 2解：不妨设 f x x 2x 3 m ,其函数图象是开口向上的抛物线,为了使 2f x 0 x R ,只需 0 ,即 2 43 m 0 ,解得 m 2 m ,2 ； 2变形：如对于 x R,不

2、等式 mx 2mx 3 0 恒成立,求实数 m 的取值范畴； 2此题需要对 m 的取值进行争论,设 f x mx 2mx 3 ；当 m=0 时, 30, 明显成立； 当 m0 时,就 0 0 m 3 ；当 m0 时,明显不等式不恒成立； 由知 m 0,3 ；2关键点拨：对于有关二次不等式 ax bx c 0 （或 0）的问题,可设函数 2f x ax bx c ,由 a 的符号确定其抛物线的开口方向, 再依据图象与 x 轴的交 点问题,由判别式进行解决； 例 2已知函数 f x 2 x 2kx 2 ,在 x 1 时恒有 f x k ,求实数 k 的取值范畴； k 2 x 2kx 2解：令 F

3、x f x k ,就 F x 0 对一切 x 1 恒成立,而 F x 是开口向上的抛物线； 2当图象与 x 轴无交点中意 0,即 4k 4 2 k 0 ,解得 2k0,可知 a+x1,所以 lg a x 0 ；原不等式变 形为 lg 2ax lg a x ； 2ax a x ,即 2x 1 a x ；又 x 1,2 ,可得 2x 1 0 x 1 1 1 1a 1 f x 12x 1 2 2x 1 恒成立；设 2 2x 1,在 x 1, 2上 2 2 2为减函数,可得 f x min f 2 3 ,知 a 3 ；综上知 0 a3 ； lg 2ax 1关键点拨：将参数 a 从不等式 lg a x

4、中分别出来是解决问题的关键； x y c x y 例 5是否存在常数 c 使得不等式 2x y x 2y x 2y 2x y ,对任意正 数 x,y 恒成立？试证明你的结论； c x y 解：第一,欲使 x 2y 2x y 恒成立（ x,y0）,进行换元令 x 2b ax 2y a,得 3 2b a 2a b2x y by 2a bc 3 33；上述不等式变为 a b,即 1 2b a 2a b 1 2b 2a 1 2b 2a c 2 23 a b 3 a b 恒成立；寻求 3 a b 的最小值,由 1 2b 2a 1 2b 2a 22 2 2a0,b0,利用基本不等式可得 3 a b 3 a

5、 b 3 ； 第 2 页,共 55 页c 同理欲使 x y x y 学习必备 欢迎下载 2x y a2x 2y 恒成立 x , y 0 ,令 x 2y b , 14x 2a b3得 y 2b a上述不等式变为 c 12a b2b a, 3ab3c 1 32b2a14ba14ba的最大值,易得 ab3ab；寻求 3a b即 ba142ba2c 23ab3ab3 ；综上知存在 3 使上述不等式恒成立 2 关键点拨：此题是两边夹的问题,利用基本不等式,右边查找最小值 3 ,左边 2 2 查找最大值 3 ,可得 c=3 三,变更主元 在解含参不等式时, 有时如能换一个角度, 变参数为主元, 可以得到意

6、想不到 的成效,使问题能更快速地得到解决； 例 6如不等式 2x 12 m x 1 ,对中意 2m2 全部的 x 都成立,求 x 的取值 范畴； 解：原不等式可化为 2 m x 1 2x 1 03令 f m 2 x 1m 2x 1 2m2 是关于 m 的一次函数； 由题意知 f 2 2 2x 1 2x 1 0 127x 12f 2 2 2x 1 2x 1 0解得 x 的取值范畴是 1271, 23关键点拨：利用函数思想,变换主元,通过直线方程的性质求解； 例 7已知 f x 是定义在 1, 1上的奇函数且 f 1 1,如 a,b 1,1, f a f b 0； a+b0,有 ab（1）判定函数

7、 f x 在 1,1上是增函数仍是减函数； （2）解不等式 f x 1f 2x 1； 22（ 3）如 fx m 22am 1 对全部 x 1,1 ,a 1, 1恒成立,求实数 m 的取值范畴； x 2 1 ,就 解：（ 1）设 1x 1 f x 1 f x 2 f x1 f x 2 x1 x 2 0, f x1 f x 2 x1 x 2 第 3 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 可知 f x 1 f x 2 ,所以 f x 在 1, 1上是增函数； 11 x 1211 2 x 12x 1 2 x 1（ 2）由 f x 在 1, 1上是增函数知 2 2解得 4 1x 12 ,故不等式的解集 x

8、 | 14 x 12（ 3）由于 x 在 1,1上是增函数,所以 f x f 1 1 ,即 1 是 f x 的 2 2最大值；依题意有 m 2am 1 1 ,对 a 1, 1恒成立,即 m 2am 0 恒 成立； 2令 ga 2ma m ,它的图象是一条线段,那么 g 1 m 2 2m 0 g1 m 2 2m 0 m , 2 0 2, ； 关键点拨：对于（ 1）,抽象函数单调性的证明往往借助定义,利用拼凑条件, 判定差的符号；对于（ 2）,后一步解不等式往往是上一步单调性的连续,通过单 调性,函数值的大小转化到自变量的大小上来；对于（ 3）,转换视角变更主元, 2把 m 2 2am 0 看作关

9、于 a 的一次函数,即 ga 2ma m 在 a 1,1上大 于等于 0,利用 ga 是一条直线这一图象特点,数形结合得关于 m 的不等式组, 从而求得 m 的范畴； 专题争论之二（不等式中恒成立问题的解法争论） 在不等式的综合题中,常常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取 值范畴内全部值都成立的恒成立问题； 恒成立问题的基本类型： 类型 1：设 f x ax2bx ca 0 ,（1） f x 0 在 x R 上恒成立 a00；（ 2） f x 0 在 x R 上恒成立 a00 ； 且 且 类型 2：设 f x 2 ax bx ca 0 （1）当 a 0 时, f x 0 在 x , 上恒

10、成立 bbb2a 或 2a 或 2a , f 00f 0f x x 0 在 , 上恒成立 f 0f 0f 0（2）当 a 0f x x 0 在 , 上恒成立 f 0时, 第 4 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 bbbf x x 0 在 , 上恒成立 2a 0或 02a 或 2a 0f f 类型 3： f x 对一切 x I 恒成f x min gx max 立 f x 对一切 x I 恒成f x max ； 立 类型 4： f x的图象在 g x的图象的上方或 f x min f x gx对一切 x I 恒成x I 立 恒成立问题的解题的基本思路是：依据已知条件将恒成立问题向基本类型转 化

11、,正确选用函数法,最小值法,数形结合等解题方法求解； 一,用一次函数的性质 对于一次函数 f x kx b, x m, n 有： mf m 0f x 0 恒成f m 0, f x 0 恒成f n 0f n 0立 立 例 1：如不等式 2 x 1m x21 对中意 2 2 的全部 m 都成立,求 x 的范 围； 解析：我们可以用转变主元的方法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为： m x21 2x 1 0,；令 f m m x21 2 x 1 ,就 20m2 时, f m 0 恒成立,所以只需 f 2 00即 2 2x 1 2 x 1 0,所以 x 的范 2 2x f 2 1 2 x 1 围是

12、 x 127 , 1 23 ； 二,利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数 f x 2 ax bx c 0a 0, x R 有： 00； R,求 m 的范畴； （1） f x x 0 在R 上恒成立 a且 （2） f x x 0 在R 上恒成立 a00且 例 2：如不等式 m 1x 2m 1 x 20 的解集是 解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数 含有参数 m,所以要争论 m-1 是否是 0； 第 5 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 （1）当 m-1=0 时,元不等式化为 20 恒成立,中意题意； （2） m 1 0 时,只需 m102 1 8m 1

13、0,所以, m 1,9 ； m 三,利用函数的最值（或值域） （1） f x m 对任意 x 都成立 f x min m ； （2） f x m 对任意 x 都成立 mf x max ；简洁计作：“大的大于最大的, 小的小于最小的”；由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题； 例 3：在 ABC 中,已f B 2 4sin Bsin 4 B 2 cos2B, 且 | f B m| 2 恒成 知 立,求实数 m 的范畴； 解析：由 f B 4 sin Bsin2 4B 2 cos2B 2 sin B 1, 0B , sin B 0,1 , 2恒 f B 1,3 , | f B m | 2

14、恒成立, 2f B m2 ,即 mf B mf B 2成立, m1,3 例 4：（1）求使不等式 asin x cos x, x 0, 恒成立的实数 a 的范畴； 解析：由于函 asin x cosx 2 sinx 4, x 4 4 , 3 4 ,明显函数有最 大值 2 , a2 ； 假如把上题略微改一点,那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式 asin x cos x, x 40, 恒成立的实数 2a 的范畴； 解析：我们第一要仔细对比上面两个例题的区分,主要在于自变量的取值范畴 的变化,这样使得 y sin x cos x 的最大值取不到 2 ,即 a 取 2 也中意条件, 所以

15、a2 ； 所以,我们对这类题要留意看看函数能否取得最值,由于这直接关系到最终 所求参数 a 的取值；利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也 叫分别参数法； 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解； 例 5：已知 a0, a 1, f x 2 x x a ,当 x 1,1时 ,有f 12恒成立 ,求实数 a x 的取值范畴； 第 6 页,共 55 页解析： 由 f x 2 x ax 12学习必备 欢迎下载 ,得 x212x a ,在同始终角坐标系中做出两个函 数的图象,假如两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交,就1 2 12 a 及 1 2 1

16、2 a得到 a分别等于 2和 0.5,并作出函数 1 由 y 2 及y x 1 2 x 的图象, 所以,要想使函数 x 2 1a 在区间 x x 1,1 中恒成立, 只须 y 2 在 x 2区间 x 1,1 对应的图象在 y x 2 1 在区间 x 1,1 对应图象的上面即可； 当 21a 1时 ,只有 a 2 才能保证,而 0 a 1 时,只 a 才可以,所以 有 21a ,1 1,2 ； 2由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解； 利用函数图象解题时,思路是从边界处（从相等处）开头形成的； 2 2例 6：如当 Pm,n为圆 x y 1 1 上任意一点时,不等式 mn

17、 c 0 恒成立, 就 c 的取值范畴是（ ）A, 1 2 c 21 B, 21 c 21C, c 21 D, c 2 1解析：由 mn c 0 ,可以看作是点 Pm,n在直线 x y c 0 的右侧,而点 2 2 2 2Pm,n在圆 x y 1 1 上,实质相当于是 x y 1 1 在直线的右侧并与 0 1 c 0它相离或相切； | 0 1 c | c 2 1 ,应选 D； 2 2 11 1其实在习题中,我们也给出了一种解恒成立问题的方法,即求出不等式的解 集后再进行处理； 以上介绍了常用的五种解决恒成立问题；其实,对于恒成立问题,有时关键是 能否看得出来题就是关于恒成立问题；下面,给出一些

18、练习题,供同学们练习； 练习题： 1,对任意实数 x,不等式 a sin x b cos x c 0a,b,c R 恒成立的充 要条件是； c a 2 b 2 2,设 y lg lg 2x 3x 9a 在 ,1 上有意义,求实数 a 的取值范畴 . 5 , 9 ； 73,当 x 1 ,3时,| Log 3 ax | 1 恒成立,就实数 a 的范畴是； 0, 1 3, 3 第 7 页,共 55 页4,已知不等式： 11学习必备 n 欢迎下载 2对一切大于 1 的 . 1 n 1 Loga a 1 12 n1n23自然数 n 恒成立,求实数 a 的范畴； a 1 1, 25 高考数学中解决含参数不

19、等式的恒成立问题的基本方法 “含参数不等式的恒成立”的问题,是近几年高考的热点,它往往以函数, 数列,三角函数,解析几何为载体具有确定的综合性,解决这类问题,主要是运 用等价转化的数学思想：即一般的,如函数 f x 在定义域为 D,就当 xD 时,有 f x M 恒成立 f x min M； f x M恒成立 f x max M.因而 ,含参数不 等式的恒成立问题常依据不等式的结构特点 的函数的最值争论 ,恰当地构造函数 ,等价转化为含参数 例一 已知函数 f x x 12x 1 .求 f x 的反函数 f 1x ;x 1如不等式 1x f 1x a a x 对于 x 16 4 1 , 1 恒

20、成立 ,求实数 a 的取值范畴 .分析：此题的其次问将不等式 1x f 1x a a x 转化成为关于 t 的一次函数 g t 1 a t 1 a 2 在 t 1 1 , 4 2 恒成立的问题 . 那么,怎样完成这个转化呢？转 化之后又应当如何处理呢？ 【解析】 略解 f 1x 1 x 0 x 11 x 由题设有 1 x 1 x a a x , 1 x a 2a x ,1 x 1 1 即 1 a x 1 a 2 0 对于 x 16 4 , 恒成立 . 明显 ,a-11 1 1 1 令 t x ,由 x , 可知 t , 16 4 4 2 2 1 1 就 g t 1 a t 1 a 0 对于 t

21、 , 恒成立 .4 2 第 8 页,共 55 页由于 g t 1a t 1 学习必备 欢迎下载 1 1 , 4 2 的条件下 2 a 是关于 t 的一次函数 .（在 t 2g t 1 a t 1 a 表示一条线段,只要线段的两个端点在 x 轴上方就可以保证 g t 1 a t 1 a 2 0 恒成立） gg 1412 00 1412 1a1a 11 aa 2 200 1a 54例二 定义在 R 上的函数 f x 既是奇函数,又是减函数,且当 0, 时,有 22f cos 2m sin f 2m 2 0 恒成立,求实数 m 的取值范畴 .分析 : 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号 f,将“抽

22、象函数”问题转化为常 见的含参的二次函数在区间 0,1上恒为正的问题 .而对于 f x 0 在给定区间 a, b上恒成立问题可以转化成为 f x 在a,b上的最小值问题,如 f x 中含有参数, 就要求对参数进行争论； 【解析】由 f cos22 msin f 2 m 20 得到： t=mogt 图 t2 f cos 2m sin f 2m 2o由于 f x 为奇函数, 1故有 f cos 22 msin f 2m 2恒成立, gtt又由于 f x 为 R 减函数, 从而有 cos22msin 2 m 2 对 0, 2恒成立 设 sin 2 t ,就 t 2mt 2 m 10 对于 t 0,1

23、 恒成立, 1图 t=m在设函数 g t 2 t 2mt 2 m 1 ,对称轴为 t m .当 t m0 时, g 0 2m 10 , 即 m 1,又 m 02第 9 页,共 55 页 1 2m0 如图 1m1 时,学习必备 欢迎下载 gtt=mm0,1 ,即 0 当 t 2 4m 4m 2m 12 0 ,即 m 2m 10 ,0 恒成立 .o t 1 2m12 ,又 m 0,1 ,2图 1 0 m 1如图 2当 t m 1g 1 1 2m 2m 1时, m 1如图 31.故由可知： m2例三 定义在 R 上的单调函数 fx中意 f3=log2 3 且对任意 x, y R 都有 fx+y=fx

24、+fy1求证 fx为奇函数； 2如 f k 3x f 3x 9x 2 0 对任意 xR 恒成立,求实数 k 的取值范畴 分析 : 问题 1欲证 fx为奇函数即要证对任意 x 都有 f-x=-fx成立在式子 fx+y=fx+fy 中 ,令 y=-x可得 f0=fx+f-x于是又提出新的问题, 求 f0的值令 x=y=0 可得 f0=f0+f0即 f0=0,fx是奇函数得到证明问 2的上述解法是根 据函数的性质 fx是奇函数且在 xR 上是增函数,把问题转化成二次函数 ft=t 2 -1+kt+2 0 对于任意 t0 恒成立对二次函数 ft进行争论求解 【解析】 1证明： fx+y=fx+fyx,

25、yR, 令 x=y=0,代入式,得 f0+0=f0+f0,即 f0=0 令 y=-x,代入式,得 fx-x=fx+f-x, 又 f0=0,就有 0=fx+f-x即 f-x=-fx对任意 x R 成立,所以 fx是奇函数 2解： f3=log2 30,即 f3 f0,又 fx在 R 上是单调函数, 所以 fx在 R 上是增函数,又由 1fx是奇函数 f k 3x x f 3 9x 2f 3x 9x 2, x k 3 3x 9x 20 对于任意 x R 恒成 立 .即 32 x 1k 3 x 2x 令 t=3 0, k t 20 对于任意 t 0 恒成立 .问题等价于 2 t 1第 10 页,共

26、55 页令 f t 学习必备 欢迎下载 2 t 1 k t 2 ,其对称轴为直线 x 1 k 2当 1 k 20 ,即 k 1 时 ,f 0 2 0 恒成立 ,符合题意 ,故 k 1 ;当 1 k 2 0 时,1 k 对于任意 t 0 ,f t 0 恒成立 2 0,解得 1 k 12 2 21 k 42 0综上所述 ,当 k 12 2 时, f k 3 x f 3 x 9 x 2 0 对于任意 x R 恒成立 .此题仍可以应用分别系数法 ,这种解法更简捷 .分别系数 ,由 k 3 x 3 x 9 x 2 得 k 3 x 3 2x 1.由于 x R ,所以 3 x0 ,故 u 3 x 2x 12

27、2 1,即 u 的最小值为 22 1 .3要使对于 x R 不等式 k 3 x 3 2x 1 恒成立 ,只要 k 221说明 : 上述解法是将 k 分别出来,然后用平均值定理求解,简捷,新奇 例四 已知向量 a = x 2 ,x+1,b = 1- x,t；如函数 f x a b 在区间（ -1,1） 上是增函数,求 t 的取值范畴；（ 2022 年湖北卷第 17 题） 分析：利用导数将“函数 f x 在区间（ -1,1）上是增函数”的问题转化为 “ f x f x 0 在（ -1,1）上恒成立”的问题,即转化成为“二次函数 2 3 x 2 x t 0 在区间（ -1,1）上恒成立” ,利用分别

28、系数法将 t 分别 出来,通过争论最值来解出 t 的取值范畴； 【解析】依定义 f x x 2 1 x tx 1 x3 x2 tx t ；就 f x 3 x 22 x t , 如 f x 在（ -1,1）上是增函数,就在（ -1, 1）上可设 f x 0 恒成立； y f x 0 t 3 x 22 x 在（ -1,1）上恒成立； x 1 g3 x考虑函数 g x 3 x 22x ,（如图 4） 由于 g x 的图象是对称轴为 x 开口向上的抛物线, 1 , 3 -o 1 x2故要使 t 3x 2 x 在（ -1, 1）上恒成立 t g 1 ,即 t 5； 第 11 页,共 55 页而当 t 5

29、 时, f 学习必备 欢迎下载 x 在（ -1,1）上中意 f x 0,即 f x 在（ -1,1）上是增函数； 故 t 的取值范畴是 t 5 .数学思想方法是解决数学问题的灵魂,同时它又离不开详细的数学学问在解 决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化因此,更要重视 转化的数学思想 不等式恒成立问题 重点难点：四种常见基本方法：利用一元二次函数的图像,分别参数,交换主元, 图象法 课前练习 1 如函数 fx=kx+1 在-1,1恒大于 0,就 k 的范畴是.2 2 函数 fx=a 2 1x a 1x 2的定义域为 R,就 a 的范畴是 a13 不等式 -3 x 2 +2x+t0

30、 在 -1,1上恒成立,就 t 的范畴是.归纳： 1.f x ax b, x , ,就： f x 0 恒成 立； f x 0 恒成立 .2.2 ax bx c 0 在 R 上恒成立的充分必要条件是： ； 2 ax bx c 0 在 R 上恒成立的充分必要条件是： .3.a f x 恒成立的充分必要条件是： ； a f x 恒成立的充分必要条件是： .例 1.不等式 x 2 px 22x p ,1当 x1, ）恒成立,求 p 的范畴 .2x 例 2.-2,2 恒成立,求 p 的范畴 .3p-2,2 恒成立,求 x 的范畴 .已知函数 fx=2 x 2 a ,x R,设方程 fx= 1 的两根分别

31、为 x , x ,是否存在 x 2 x 2 mR,使 m tm 1x1 x2 对一切 a,t-1,1恒成立？如存在, 求出 m 范畴, 否 就说明理由； 例 3（1） 已知 a0且 a1,当 x-1,1时 , x2 a x 1恒成立,就 a 的范畴 2是.（2）对一切的实数 x,不等式 x 1x 2a 恒成立,求实数 a 的取值范畴； 课后作业： 第 12 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 2 t 2at 1,对任意实数 a -1,11已知奇函数 fx在 -1,1为增函数,f-1= -1,fx都成立, 求 t 的取值范畴； 2. 不等式 x 1kx 对一切实x 恒成立,就 k 的范畴是.4.

32、 设函数 fx=x 数 ab ,对任意实数 a ,2 ,不等式 12fx 10 在 ,1恒成立, 求 14x b 的取值范畴； 2 5. 对一切实数 x,不等式 x log 2 4 a 1 2x log 22 a log 2a120 恒成立, aa12 4a 求 a 取值范畴； 解“恒成立问题”的基本策略 一,恒成立问题的基本类型 在数学问题争论中常常遇到在给定条件下某些结论 恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题 , 其表现形式通常有 : 在给定区间上某关系恒 成立; 某函数的定义域为全体实数 R; 某不等式的解为一切实数 ; 某表达式的 值恒大于 a 等等 恒成立问题,涉及到一次函

33、数,二次函数的性质,图象 , 渗透着换元,化归, 数形结合,函数与方程等思想方法,有利于考查同学的综合解题才能,在培育思 维的灵敏性,制造性等方面起到了积极的作用；因此也成为历年高考的一个热点； 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： 一次函数型； 二次函数型； 变量分别型； 依据函数的奇偶性,周期 性等性质； 直接依据函数的图象； 二,恒成立问题解决的基本策略 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路 1, m f x在 x D 上恒成m f x max 思路 2, m f x在 x 立 D 上恒成 m f x min 立 fx 的最大值或者最小值问题 , 我们可以通过习题的 如何

34、在区间 D 上求函实际, 实行合理有效的方法进行求解 , 通常可以考虑利用函数的单调性,函数的图 像,二次函数的配方法,三角函数的有界性,均值定理,函数求导等等方法求函 数 f （x）的最值； 这类问题在数学的学习涉及的学问比较广泛,在处理上也有很多特别性,也 是近年来高考中频频显现的试题类型,期望同学们在日常学习中留意积存； 二 ,赋值型利用特别值求解等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题,挑选题能 很快求得 . 例 1由等式 x +a1x +a2 x +a3x+a4= x+1 +b1x+1 + b2 x+1 +b3x+1+b 4 定义 映射 f ：a 1,a 2,a 3,

35、a 4 b1+b2+b3 +b4, 就 f ：4,3,2,1 略解：取 x=0,就 a 4=1+b1+b2+b3+b4, 又 a 4 =1, 所以 b1+b2+b3+b4 =0 , 应选 D 第 13 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 8对称, 那么 a= 例 2假如函数 y=fx=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= C . 2 D. - 2 . 略解：取 x=0 及 x= ,就 f0=f , 即 a=-1,应选 B. 4 4此法表达了数学中从一般到特别的转化思想 . （三）分清基本类型,运用相关基本学问,把握基本的解题策略 1,一次函数型： 如原题可化为一次函数型 , 就由数形

36、结合思想利用一次函数学问求解 , 特别简捷 给定一次函数 y=fx=ax+ba 0, 如 y=fx 在m,n 内恒有 fx0 ,就依据 函数的图象（直线）可得上述结论等价于 f m 0 f m 0同理,如在 m,n 内恒有 fx2a+x 恒成立的 x 的 取值范畴 . 分析：在不等式中显现了两个字母： x 及 a, 关键在于该把哪个字母看成是一 个变量,另一个作为常数 . 明显可将 a 视作自变量,就上述问题即可转化为在 -2 , 2 内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题 . 解：原不等式转化为 x-1a+x 2-2x+10 在|a| 2 时恒成立 , 设 fa= x-1a+x 2-2

37、x+1, 就 fa 在-2,2 上恒大于 0,故有： f 2 f 2 0 即 x x 2 21 4 x 0 3 0解得： x x x 1 3或 1 1 x3. 即 x , 1 3,+ 或 x 此类题本质上是利用了一次函数在区间 m,n 上的图象是一线段, 故只需保证 该线段两端点均在 x 轴上方（或下方）即可 . 2,二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点,同学们要加强学习,归纳,总结,提 炼出一些详细的方法,在今后的解题中自觉运用； 2（ 1）如二次函数 y=ax +bx+ca0 大于 0 恒成立,就有 a 00（ 2）如是二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的 分

38、布学问求解； 例 3 如函数 f x 2 a 2 1 x a 1x 2 的定义域为 R,求实数 a 的 a 1 取值范畴 . 分析：该题就转化为被开方数 2 a 2 1 x a 1x 20 在 R 上恒成立a1题,并且留意对二次项系数的争论 . 问 解：依题意,当 x R时, 2 a 2 1x a 1 x 20 恒成立, a1第 14 页,共 55 页所以,当 a2学习必备 欢迎下载 a 21 0,即当 a10, 时, a 0, 1, 1此时 a 21x 2a 1x 2 1 0, a 1. a122 a 1 0, 当 a 1 0 时,即当 a 1 24a 21 a1 20 时, 2有 2 a

39、1 1 a 9, a 10a 9 0, 综上所述, fx 的定义域为 R 时, 1,9 a 2例 4. 已知函数 f x x ax 3 a ,在 R 上 x 0 恒成立,求 a 的取值范畴 . f 分析： y f x 的函数图像都在 X 轴及其上方,如右 图所示： 略解： a 2 4 3 a a 2 4a 12 0 6 a 2变式 1：如 x 2,2 时, f x 0 恒成立,求 a 的取 值范畴 . 分析：要使 x 2,2 时, f x 0 恒成立,只需 f x 的最小值 g a 0 即可 . 2 2解： f x x a a a 3 ,令 f x 在 2,2 上的最小值为 ga . 2 4当

40、 a 2 ,即 a 4 时, g a f 2 7 3a 0 a 7 又 a 42 3a 不存在 . 当 2 a 2 ,即 4a 4 时, ga f a a 2a30 6 a 22 2 4又 4 a 4 4a2当 a 2 ,即 a 4 时, ga f 2 7a 0 a 7 又 a 427 a 4综上所述, 7 a 2 . 变式 2：如 x 2,2 时, f x 2 恒成立,求 a 的取值范畴 . 解法一：分析： 题目中要证明 f x 2 在 2,2 上恒成立, 如把 2 移到等号的 左边,就把原题转化成左边二次函数在区间 2,2 时恒大于等于 0 的 第 15 页,共 55 页学习必备 欢迎下载

41、 问题 . 略解： f x x2 ax 3a20 ,即 f x x2 ax 1a0 在 2,2 上成立 . a24 1 a0222a2222a241 a 02f 2 0 f 2 05a22 2 a 2 2或 a22综上所述, 5a222 . 解法二：（运用根的分布） 当 a2,即 a 4 时, ga f 2 7 3a 2a54, 23a 不存在 . 当 2a2 ,即 4a 4 时, g a a f 2 a2a32 , 24 2 2 2a2224a2222 , 当 a2 ,即 a 4 时, g a f 2 7a2a55a4综上所述 5a222 . 此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情

42、形,对轴与区间的位 置进行分类争论；仍有与其相反的,轴动区间定,方法一样 . 对于二次函数在 R 上恒成立问题往往接受判别式法（如 4,例 5）,而对于 二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 例 3,变量分别型 如在等式或不等式中显现两个变量,其中一个变量的范畴已知,另一个变量 的范畴为所求,且简洁通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边, 就可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解；运用不等式的相关学问不难推出 如下结论：如对于 x 取值范畴内的任何一个数都有 fxga 恒成立,就 gafx min; 如对于 x 取值范畴内的任何一个数,都有 fxfx m

43、ax. 其中 fx max和 min 分别为 fx 的最大值和最小值 fx 例 5. 已知三个不等式 x 2 4 x 3 0 , x 26x 8 0 , 2 x 29 x m 0 要 使同时中意的全部 x 的值中意,求 m 的取值范略解：由得 2x3; 数 对任意实数 x,不等式 x 1 x 2 a 恒成立,求实 a , 构造函数,画出图象,得 a3. 数 利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形, 再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参 数的范畴 . 三,在恒成立问题中,主要是求参数的取值范畴问题,是一种热点题型,介绍一 些基本的解题策

44、略,在学习中学会把问题分类,归类,娴熟基本方法； （一）换元引参,显露问题实质 1 ,对于全部实数 x,不等式 22 4 a 1 2 a a 1 x log 2 2 x log 2 log 2 2 0 恒成立,求 a 的取值范畴； a a1 4a 解：由于 log 2 2 a 的值随着参数 a 的变化而变化,如设 t log 2 2a , a 1 a 1就上述问题实质是“当 t 为何值时,不等式 3 t x 22 tx 2 t 0 恒成立”； 这是我们较为熟识的二次函数问题,它等价于 求解关于 t 的不等式组： 3 t 08t3 t 0； 解得 t 0 ,即有 2 2t log 2 2a 0

45、,易得 0a1； 4 上任意一点,如不等式 x+y+c 0 恒成 a12 2,设点 P（x,y）是圆 x 2 y 1 立,求实数 c 的取值范畴； （二）分别参数,化归为求值域问题 3 ,如对于任意角 总有 sin 22mcos 解：此式是可分别变量型,由原不等式得 4m 1 0 成立,求 m 的范m2 cos 畴； 4 cos 2, 又 cos 2学习必备 欢迎下载 2 cos 2恒成立； 0 ,就原不等式等价变形为 2m cos 依据边界原理知, 2m 必需小于 f 2 cos cos 2的最小值,这样问题化归为怎 2 样求 cos cos 2的最小值；由于 f 2 cos 0 时,有最小

46、值为 0,故 m0 ； cos 2cos 2 2 4 cos 2 4cos 2cos 2cos 424即 cos 440（三）变更主元,简化解题过程 4 ,如对于 0m1 ,方程 x 2 mx 2m 1 0 都有实根,求实根的范畴； 解：此题一般思路是先求出方程含参数 m 的根,再由 m 的范畴来确定根 x 的范 围,但这样会遇到很多麻烦,如以 m 为主元,mx 2 1 x 2 , 由原方程知 x 2 ,得 m1就 2 x 又 0 m1 ,即 0 1x 2 21x 2x 解之得 1213 x 1 或 1 x 1213 ； 5,当 a 1 时,如不等式 x 2 a 6 x 9 3a 0 恒成立,

47、求 x 的取值范畴； （四）图象解题,形象直观 6,设 x 0,4 ,如不等式 x4 x ax 恒成立,求 a 的取值范畴；解：如 设 2 2 y1 x 4 x ,就 x 2 y1 4 y1 0 为上半圆； 设 y2 ax ,为过原点, a 为斜率的直线； 在同一坐标系内 作出函数图象 依题意,半圆恒在直线上方时,只有 a 0 时成立,即 a 的取值范畴为 a 0 ； y y2 y1 04x 第 19 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 27,当 x 1,2 时,不等式 x-1 log ax 恒成立,求 a 的取值范畴； 解：设 y1=x-1 ,y 2=log ax, 就 y1 的图象为右图所

48、示的抛物线 要使对一切 x 1,2,y 11, 并且必需也只需当 x=2 时 y2 的函 数值大于等于 y1 的函数值； 故 log a21, 10, 留意 2 到如将等号两边看成是二次函数 y= x +4x 及一次函数 y=2x-6a-4 ,就只需考虑这 两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯独交点即可； （五）合理联想,运用平几性质 9 ,不论 k 为何实数,直线 y kx 1 与曲线 x2 y 2 2ax a 2 2a 4 0 恒有交 点,求 a 的范畴； 解： x a 2y2 42a, C（a,0）,当 a系,就有点 A（ 0, 1）必在圆上或圆内,即点 就有 a 2 12a 4a2 ,得

49、 1a3； 2 时,联想到直线与圆的位置关 A（0,1）到圆心距离不大于半径, 分析：由于题设中有两个参数,用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用 判别式来解题是比较困难的；如考虑到直线过定点 （六）分类争论,防止重复遗漏 A（0,1）,曲线为圆； 210 ,当 |m| 2 时,不等式 2 x 1 m x 1 恒成立,求 x 的范畴； 解：使用 当 x 21 0 时,要使不等式 |m| 2 的条件,必需将 m 分别出来,此时应2 x x 2 对 11 m 恒成立,只要 x2 x x 2 2 1 进行争论； 11 2 , 解得 1 x 1 3； 2当 x 21 0 时,要使不等式 2 x x

50、2 11 m 恒成立,只要 2 x x 2 11 2 ,解得 1 7 x 1； 2当 x 21 0 时,要使 2x 1 0 恒成立,只有 x 1 ； 综上得 第 20 页,共 55 页127x 123学习必备 欢迎下载 2 x 1 ,用一次函数学问来 解法 2：可设 f m 2 x 1m 解较为简洁； 11,当 1 x 3 时,不等式 x2 2ax 60 恒成立,求实数 a 的取值范畴； （七）构造函数,表达函数思想 12,（ 1990年全国高考题）设 f x lg 1x 2x 3x n x 1 x n a ,其中 a 为 n实数, n 为任意给定的自然数,且 n2 ,假如 f x 当 x ,

51、 1 时有意 义,求 a 的取值范畴； 解：此题即为对于 x , 1 ,有 1 x2 x n 1 x n a x 0 恒成立； 这里有三种元素交叉在一起,结构复杂,难以下手,如考虑到求 a 的范畴,可先 将 a 分别出来, 得 a 1 n x 2 n x n 1x n n 2 ,对于 x ,1 恒成立； 构造函数 g x 1 n x 2 n x n 1x n ,就问题转化为求函数 g x 在 x , 1 上的值域； k x 由于函数 u x k 1, 2, , n 1 在 x ,1 上是单调增函数, n就 g x 在 , 1 上为单调增函数； 于是有 g x 的最大值为： g1 1 n 1 ,

52、 2从而可得 a 1 n 2 1 ； 四,同步跟踪练习 1 ,对任意的实数 x ,如不等式 x 1 x 2 a 恒成立,求实数 a 的取值范畴 2,已知函数 f x x 12 x m R, lg2 2 m 对任意的 x R 都有意义,求实 m 的取值范数 畴； 3, 知 f x 是定义在 ,3 的单调减函数,且 f a 2sin x f a 1 cos 2x 对 一切实数 x 成立,求实数 a 的取值范畴； 4, 当 a,b 中意什么条件时,关于 x 的不等式 2 x 1 a x a 5 3b1 对 x2 x 1于一切实数 x 恒成立？ 5,已知 fx= x 3 ax 2bx c , 在 x=

53、1 与 x=-2 时,都取得极值； 第 21 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 1恒成立,求实数 c 的取值范 （1）求 a,b 的值；（2）如 x -3,2 都有 fx 1 c 2围； 解,（ 1）a=3,b=-6. （2）由 fx min=- 7 +c 1 - 1 得 2 c 2 3213 c 0 或 c 3213 26,定义在定义域 D 内的函 y 数 都有 | f x1 f x2 | 1 ,就称函数 y f x, 如对任意的 x1 , x2 D, f x 为“接近函数”,否就称“非接近函数” . 3函数 f x x x a x 1,1 , a R 是否为“接近函数” ？假如是, 请给

54、出 证明；假如不是,请说明理由 . 解：由于 | f x1 f x2 | | f max f min | 3 2函数 f x x x a x 1,1, a R导数是 f x 3 x 1当 21 0 时,即 3. 3x x 3当 x 3 时, f x 3x 21 0;当 3 时, f x 3x 21 0, 0 3 x 3故 f x在x 0,1内的微小值是 f 3 3 a 239同理, f x在 1,0内的极大值是 f 3 3 a 2 3 ; 93由于 f f 1 a,所以函数 f x x x ax 1,1, a R的最大值是 1 a 2 3 , 最小值是 a 23 ,故 | f x f x |

55、| f max f min | 4 2 19 9 9所以函数 f x x 3 x a x 1,1, a R 是“接近函数” 7,对于函数 f x ax 2b 1x b 2a 0 ,如存在实数 x ,使 f x x 成立, 就称 x0 为 f x 的不动点；（1）当 a=2,b= 2 时,求 f x 的不动点； （2）如对于任何实数 b,函数 f x 恒有两相异的不动点,求实数 a 的取值范畴； （3）在（ 2）的条件下,如 动点,且直线 y kx 2 12 2a 解 f x ax b 1 x b（1）当 a=2,b= 2 时, 2 x2x 4x. y f x 的图象上 A,B 两点的横坐标是函

56、数 f x 的不 是线段 AB 的垂直平分线,求实 b 的取值范畴； 1 数 2a 0, f x 2 x 2 x 4. 设 x 为其不动点,即 就 2 x 2 2x 4 0. x 1, x 2 2.即 f x 的不动点是 1, 2. （2）由 f x x 得： ax 2bx b 2 0 . 由已知,此方程有相异二实根, x 0 恒成立,即 b 24ab 2 0. 即 b 24ab 8a 0 对任意 b R 恒成立 . 第 22 页,共 55 页b0. 2 16a 32a 0学习必备 a欢迎下载 02. （3）设 A x1 , x1 , B x2 , x2 , 直线 y kx 2 1 是线段 A

57、B 的垂直平分2a 1 线, M x0 , x0 . 由（ 2）知 x0 b2a, k 12. 记 AB 的中点 11上, bb1 1. M 在 y kx 2 2a 2a 2a 2 2a 2 2时,等号成立）. 即 b a11化简得： b4 2 当a 2 2a 12a12 2a 14aa含参数不等式恒成立问题中参数范畴的确定 1 分别参数法 例 1 ：设 f x lg 12x n 1 x x n a ,其中 a 是实数, n 是任意给定的自 n然数且 n2,如 f x 当 x ,1 时有意义 , 求 a 的取值范畴； 分析： 当 x ,1 时, f x 有意义,故有 1x 12 x n1x n

58、x a 0a1x 2x 1nnn令 x 1x 2x 11x ,只要对 x 在 ,1 上的最大值,此不等 nnn式成立刻可；故我们可以利用函数的最值分别出参数 a； 11x ,由指数 解： 由 x ,1 时, f x 有意义得： 12 x n1x n x a 0a1x 2x nnn函数单调性知上式右边的函数 x 1x 2x 11x 的最 nnn大值是 112n1 121nnnn故 a 1 1 2n第 23 页,共 55 页学习必备 欢迎下载 0 , （ x D一般地,利用最值分别参数法来确定不等式 f x, 为实参数）恒成立中参数取值范畴的基本步骤 : （1） 将参数与变量分别,即化为 f1 f

59、 2 x 或 f 2 f2 x 的形式； （2） 求 f 2 x 在 x D 时的最大（或最小）值； （3） 解不等式 f1 f 2 max x 或 f2 min x 得 的取值范畴； 思想方法： 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题； 适用题型：（1） 参数与变量能分别；（ 2） 函数的最值易求出； 利用这种方法可以顺当解决很多含参数不等式中的取值问题,仍可以用来证明一 些不等式； 例 2 ： 已知定义在 R 上函数 fx为奇函数,且在 0, 上是增函数,对于任意 x R求实数 m 范畴,使 f cos 2 3f 4 m 2mcos 0恒成立； 解： fx在 R 上为奇函数,且在 0,

60、上是增函数, fx在 , 上为增函数 又 f c o2s 3f 4m 2mc o s 0 f cos 2 3 f 4m 2mcos f 2mcos 4m cos2 32mcos 4m 即 2m 2cos 3 cos 2 2 cos 1,3 , 2 m 3cos 2 422 2 cos 2cos cos m22 cos 2cos 222cos cos 4 2 cos 22 cos 令 2 cos t, t 1,3 m4 t 2t 即 4 mt 2在 t 1,3 上恒成立 t 第 24 页,共 55 页即求 g t t 学习必备 欢迎下载 21,3 成立 2 t 在 t 1,3 上的最小值 t 2